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§6.1 数列的概念
考试要求 1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).2.了解数列是
自变量为正整数的一类特殊函数．
知识梳理
1．数列的有关概念
概念 含义
数列 按照 排列的一列数
数列的项 数列中的__________
如果数列{a}的第n项a 与它的 之间的对应关系可以
n n
通项公式
用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式
如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来
递推公式
表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式
数列{a}的 把数列{a}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{a}的
n n n
前n项和 前n项和，记作S，即S＝____________
n n
2.数列的分类
分类标准 类型 满足条件
有穷数列 项数______
项数
无穷数列 项数______
递增数列 a a
n＋1 n
递减数列 a a 其中n∈N*
n＋1 n
项与项间的
常数列 a ＝a
n＋1 n
大小关系
从第二项起，有些项大于它的前一项，
摆动数列
有些项小于它的前一项的数列
3.数列与函数的关系
数列{a}是从正整数集N*(或它的有限子集{1,2，…，n})到实数集R的函数，其自变量是
n，对应的函数值是 ，记为a＝f(n)．
n
常用结论
1．已知数列{a}的前n项和S，则a＝
n n n
2．在数列{a}中，若a 最大，则(n≥2，n∈N*)；若a 最小，则(n≥2，n∈N*)．
n n n
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)数列的项与项数是同一个概念．( )
(2)数列1,2,3与3,2,1是两个不同的数列．( )
(3)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列．( )
(4)若数列用图象表示，则从图象上看是一群孤立的点．( )
教材改编题
1．(多选)已知数列{a}的通项公式为a＝9＋12n，则在下列各数中，是{a}的项的是( )
n n n
A．21 B．33 C．152 D．153
2．已知数列{a}的前n项和为S，且S＝n2＋n，则a 的值是( )
n n n 2
A．2 B．4 C．5 D．6
3．在数列1,1,2,3,5,8,13,21，x,55，…中，x＝________.
题型一 由a 与S 的关系求通项公式
n n
例1 (1)已知数列{a}的前n项和为S，a＝2，S ＝2S－1，则a 等于( )
n n 1 n＋1 n 10
A．128 B．256 C．512 D．1 024
(2)已知数列{a}的前n项和为S，且满足S＝2n＋2－3，则a＝________.
n n n n
听课记录：______________________________________________________________
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思维升华 S 与a 的关系问题的求解思路
n n
(1)利用a＝S－S (n≥2)转化为只含S，S 的关系式，再求解．
n n n－1 n n－1
(2)利用S－S ＝a(n≥2)转化为只含a，a 的关系式，再求解．
n n－1 n n n－1
跟踪训练1 (1)已知正项数列{a}中，＋＋…＋＝，则数列{a}的通项公式为( )
n n
A．a＝n B．a＝n2
n n
C．a＝ D．a＝
n n
(2)设S 是数列{a}的前n项和，且a＝－1，a ＝SS ，则S＝__________.
n n 1 n＋1 n n＋1 n
题型二 由数列的递推关系求通项公式
命题点1 累加法
例2 设[x]表示不超过x的最大整数，如[－3.14]＝－4，[3.14]＝3.已知数列{a}满足：a ＝
n 1
1，a ＝a＋n＋1(n∈N*)，则等于( )
n＋1 n
A．1 B．2 C．3 D．4听课记录：______________________________________________________________
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命题点2 累乘法
例3 在数列{a}中，a＝1，a＝a (n≥2，n∈N*)，则数列{a}的通项公式为________．
n 1 n n－1 n
听课记录：______________________________________________________________
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思维升华 (1)形如a －a＝f(n)的数列，利用累加法．
n＋1 n
(2)形如＝f(n)的数列，利用a＝a···…·(n≥2)即可求数列{a}的通项公式．
n 1 n
跟踪训练2 (1)在数列{a}中，a＝2，a ＝a＋ln，则a 等于( )
n 1 n＋1 n n
A．2＋ln n B．2＋(n－1)ln n
C．2＋nln n D．1＋n＋ln n
(2)已知数列a，，…，，…是首项为1，公比为2的等比数列，则log a＝________.
1 2 n
题型三 数列的性质
命题点1 数列的单调性
例4 设数列{a
n
}的前n项和为S
n
，且∀n∈N*，a
n＋1
>a
n
，S
n
≥S
6
.请写出一个满足条件的数列
{a}的通项公式a＝________.
n n
听课记录：______________________________________________________________
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命题点2 数列的周期性
例5 若数列{a}满足a＝2，a ＝，则a 的值为( )
n 1 n＋1 2 024
A．2 B．－3 C．－ D.
听课记录：______________________________________________________________
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命题点3 数列的最值
例6 已知数列{a}的通项公式为a＝，其最大项和最小项的值分别为( )
n n
A．1，－ B．0，－ C.，－ D．1，－
听课记录：______________________________________________________________
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思维升华 (1)解决数列的单调性问题的方法
用作差比较法，根据a －a 的符号判断数列{a}是递增数列、递减数列还是常数列．
n＋1 n n
(2)解决数列周期性问题的方法
先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值．
跟踪训练3 (1)观察数列1，ln 2，sin 3,4，ln 5，sin 6,7，ln 8，sin 9，…，则该数列的第11
项是( )
A．1 111 B．11 C．ln 11 D．sin 11(2)已知数列{a}的通项 a ＝，n∈N*，则数列{a}前 20 项中的最大项与最小项分别为
n n n
________．
