文档内容
§10.4 随机事件与概率
考试要求 1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义以及频率与
概率的区别.2.理解事件间的关系与运算.3.掌握古典概型及其计算公式，能计算古典概型中简
单随机事件的概率．
知识梳理
1．样本空间和随机事件
(1)样本点和有限样本空间
①样本点：随机试验E的每个可能的 称为样本点，常用ω表示．
全体样本点的集合称为试验E的 ，常用Ω表示．
②有限样本空间：如果一个随机试验有n个可能结果ω ，ω ，…，ω ，则称样本空间Ω＝
1 2 n
{ω，ω，…，ω}为有限样本空间．
1 2 n
(2)随机事件
①定义：将样本空间Ω的 称为随机事件，简称事件．
②表示：一般用大写字母A，B，C，…表示．
③随机事件的极端情形： 、 ．
2．两个事件的关系和运算
含义 符号表示
包含关系 若A发生，则B一定发生
相等关系 B⊇A且A⊇B
并事件(和事件) A∪B或A＋B
交事件(积事件) A与B同时发生
互斥(互不相容) A与B不能同时发生 A∩B＝∅
互为对立 A与B有且仅有一个发生
3．古典概型的特征
(1)有限性：样本空间的样本点只有 ；
(2)等可能性：每个样本点发生的可能性 ．
4．古典概型的概率公式
一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，
则定义事件A的概率P(A)＝ ＝.
其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数．
5．概率的性质性质1：对任意的事件A，都有P(A)≥0；
性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝1，P(∅)＝0；
性质3：如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝ ；
性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝ ；
性质5：如果A⊆B，那么P(A)≤P(B)，由该性质可得，对于任意事件 A，因为∅⊆A⊆Ω，
所以0≤P(A)≤1；
性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事件，有P(A∪B)＝ ．
6．频率与概率
(1)频率的稳定性
一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率f(A)会
n
逐渐 事件A发生的概率P(A)，我们称频率的这个性质为频率的稳定性．
(2)频率稳定性的作用
可以用频率f(A)估计概率P(A)．
n
常用结论
1．当随机事件A，B互斥时，不一定对立；当随机事件A，B对立时，一定互斥，即两事件
互斥是对立的必要不充分条件．
2．若事件A，A，…，A 两两互斥，则P(A∪A∪…∪A)＝P(A)＋P(A)＋…＋P(A)．
1 2 n 1 2 n 1 2 n
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)事件发生的频率与概率是相同的．( )
(2)两个事件的和事件发生是指这两个事件至少有一个发生．( )
(3)从－3，－2，－1,0,1,2中任取一个数，取到的数小于0与不小于0的可能性相同．(
)
(4)若A∪B是必然事件，则A与B是对立事件．( )
教材改编题
1．一个人打靶时连续射击两次，事件“至多有一次中靶”的互斥事件是( )
A．至少有一次中靶
B．两次都中靶
C．只有一次中靶
D．两次都不中靶
2．从某班学生中任意找出一人，如果该同学的身高小于 160 cm的概率为0.2，该同学的身
高在[160,175](单位：cm)内的概率为0.5，那么该同学的身高超过175 cm的概率为( )
A．0.2 B．0.3 C．0.7 D．0.8
3．(2022·全国乙卷)从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选
的概率为________．题型一 随机事件
命题点1 随机事件间关系的判断
例1 (1)(多选)对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设事件A＝{两弹都击
中飞机}，事件B＝{两弹都没击中飞机}，事件C＝{恰有一弹击中飞机}，事件D＝{至少有
一弹击中飞机}，则下列关系正确的是( )
A．A∩D＝∅ B．B∩D＝∅
C．A∪C＝D D．A∪B＝B∪D
(2)从装有十个红球和十个白球的罐子里任取两球，下列情况中是互斥而不对立的两个事件
的是( )
A．至少有一个红球；至少有一个白球
B．恰有一个红球；都是白球
C．至少有一个红球；都是白球
D．至多有一个红球；都是红球
听课记录：______________________________________________________________
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命题点2 利用互斥、对立事件求概率
例2 某商场进行有奖销售，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1 000张奖券为一个开
奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等
奖的事件分别为A，B，C，求：
(1)P(A)，P(B)，P(C)；
(2)1张奖券的中奖概率；
(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．
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思维升华 事件关系的运算策略
进行事件的运算时，一是要紧扣运算的定义，二是要全面考虑同一条件下的试验可能出现的
全部结果，必要时可列出全部的试验结果进行分析．当事件是由互斥事件组成时，运用互斥
事件的概率加法公式．
跟踪训练1 (1)(多选)抛掷一枚质地均匀的骰子，有如下随机事件：
C＝“点数为i”，其中i＝1,2,3,4,5,6；
i
D＝“点数不大于2”，D＝“点数不小于2”，D＝“点数大于5”；
1 2 3
E＝“点数为奇数”；F＝“点数为偶数”．
下列结论正确的是( )
A．C 与C 对立 B．D 与D 不互斥
1 2 1 2
C．D⊆F D．E⊇(D∩D)
3 1 2
(2)某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物
的100位顾客的相关数据，如下表所示．
一次购物量 1至4件 5至8件 9至12件 13至16件 17件及以上
顾客数(人) x 30 25 y 10
结算时间
1 1.5 2 2.5 3
(分钟/人)
已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.
①确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；
②估计一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率．
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题型二 古典概型
例3 (1)(2023·南通质检)我国数学家张益唐在“孪生素数”研究方面取得突破，孪生素数也
称为孪生质数，就是指两个相差2的素数，例如5和7.在大于3且不超过20的素数中，随
机选取2个不同的数，恰好是一组孪生素数的概率为( )
A. B. C. D.
(2)在一次比赛中某队共有甲、乙、丙等5位选手参加，赛前用抽签的方法决定出场顺序，
则乙、丙都不与甲相邻出场的概率是( )
A. B. C. D.
听课记录：______________________________________________________________
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思维升华 利用公式法求解古典概型问题的步骤跟踪训练2 (1)(2022·全国甲卷)从分别写有1,2,3,4,5,6的6张卡片中无放回地随机抽取2张，
则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为( )
A. B. C. D.
(2)(2022·宜宾质检)2022年冬奥会在北京、延庆、张家口三个区域布置赛场，北京承办所有
冰上项目，延庆和张家口承办所有雪上项目．组委会招聘了包括甲在内的4名志愿者，准备
分配到上述3个赛场参与赛后维护服务工作，要求每个赛场至少分到一名志愿者，则志愿者
甲正好分到北京赛场的概率为 ________.
题型三 概率与统计的综合问题
例4 北京冬奥会顺利闭幕后，某学校团委组织了一次“奥运会”知识讲座活动，活动结束
后随机抽取120名学生对讲座情况进行调查，其中男生与女生的人数之比为1∶1，抽取的
学生中男生有40名对讲座活动满意，女生中有30名对讲座活动不满意．
(1)完成下面2×2列联表，并依据小概率值α＝0.10的独立性检验，能否推断对讲座活动是
否满意与性别有关？
满意 不满意 合计
男生
女生
合计 120
(2)从被调查的对讲座活动满意的学生中，利用比例分配的分层随机抽样方法抽取7名学生，
再在这7名学生中抽取3名学生谈谈自己听讲座的心得体会，求其中恰好抽中2名男生与1
名女生的概率．
参考数据：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.
α 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001
x 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
α
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思维升华 求解古典概型的综合问题的步骤
(1)将题目条件中的相关知识转化为事件；
(2)判断事件是否为古典概型；
(3)选用合适的方法确定样本点个数；
(4)代入古典概型的概率公式求解．
跟踪训练3 从参加环保知识竞赛的学生中抽出40名，将其成绩(均为整数)整理后画出频率
分布直方图如图所示，观察图形，回答下列问题．(1)成绩在[80,90)这一组的频数、频率分别是多少？
(2)估计这次环保知识竞赛成绩的平均数、众数、中位数；(不要求写过程)
(3)从成绩是80分以上(包括80分)的学生中选2人，求他们在同一分数段的概率．
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