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§4.5 三角函数的图象与性质
考试要求 1.能画出三角函数的图象.2.了解三角函数的周期性、奇偶性、最大(小)值.3.借助
图象理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上，正切函数在上的性质．
知识梳理
1．用“五点法”作正弦函数和余弦函数的简图
(1)在正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，， ， ，
(2π，0)．
(2)在余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，， ， ，
(2π，1)．
2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)
函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
图象
定义域 R R
值域
周期性
奇偶性 奇函数
单调递增区间
单调递减区间
对称中心
对称轴方程
常用结论
1．对称性与周期性(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是个周期，相邻的对称
中心与对称轴之间的距离是个周期．
(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是个周期．
2．奇偶性
若f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω≠0)，则
(1)f(x)为偶函数的充要条件是φ＝＋kπ(k∈Z)．
(2)f(x)为奇函数的充要条件是φ＝kπ(k∈Z)．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)y＝cos x在第一、二象限内单调递减．( )
(2)若非零常数T是函数f(x)的周期，则kT(k是非零整数)也是函数f(x)的周期．( )
(3)函数y＝sin x图象的对称轴方程为x＝2kπ＋(k∈Z)．( )
(4)函数y＝tan x在整个定义域上是增函数．( )
教材改编题
1．若函数y＝2sin 2x－1的最小正周期为T，最大值为A，则( )
A．T＝π，A＝1 B．T＝2π，A＝1
C．T＝π，A＝2 D．T＝2π，A＝2
2．函数y＝－tan的单调递减区间为________．
3．函数y＝3－2cos的最大值为________，此时x＝________.
题型一 三角函数的定义域和值域
例1 (1)函数y＝的定义域为( )
A. B.(k∈Z)
C.(k∈Z) D．R
(2)函数f(x)＝sin－3cos x的最小值为________．
(3)函数y＝sin x－cos x＋sin xcos x的值域为________．
听课记录：______________________________________________________________
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思维升华 三角函数值域的不同求法
(1)把所给的三角函数式变换成y＝Asin(ωx＋φ)的形式求值域．
(2)把sin x或cos x看作一个整体，转换成二次函数求值域．
(3)利用sin x±cos x和sin xcos x的关系转换成二次函数求值域．
跟踪训练1 (1)(2021·北京)函数f(x)＝cos x－cos 2x，试判断函数的奇偶性及最大值( )
A．奇函数，最大值为2 B．偶函数，最大值为2C．奇函数，最大值为 D．偶函数，最大值为
(2)函数y＝lg sin x＋的定义域为________________．
题型二 三角函数的周期性与对称性
例2 (1)(2023·武汉模拟)已知函数f(x)＝3sin，则下列说法正确的是( )
A．图象关于点对称
B．图象关于点对称
C．图象关于直线x＝对称
D．图象关于直线x＝对称
(2)函数f(x)＝3sin＋1，φ∈(0，π)，且f(x)为偶函数，则φ＝________，f(x)图象的对称中心为
________．
听课记录：______________________________________________________________
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思维升华 (1)奇偶性的判断方法：三角函数中奇函数一般可化为 y＝Asin ωx或y＝Atan ωx
的形式，而偶函数一般可化为y＝Acos ωx的形式．
(2)周期的计算方法：利用函数y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acos(ωx＋φ)(ω>0)的周期为，函数y＝
Atan(ωx＋φ)(ω>0)的周期为求解．
跟踪训练2 (1)(2022·新高考全国Ⅰ)记函数f(x)＝sin＋b(ω>0)的最小正周期为T.若0)，且在上单调递增，则满足条件的ω
的最大值为________．
听课记录：______________________________________________________________
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思维升华 (1)已知三角函数解析式求单调区间
求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中ω>0)的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个
整体，通过解不等式求解．但如果ω<0，可先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性
弄错．
(2)已知三角函数的单调区间求参数
先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解．
跟踪训练3 (1)(2022·北京)已知函数f(x)＝cos2x－sin2x，则( )
A．f(x)在上单调递减
B．f(x)在上单调递增
C．f(x)在上单调递减
D．f(x)在上单调递增
(2)已知函数f(x)＝sin(ω>0)，则“函数f(x)在上单调递增”是“0<ω<2”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
