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§3.2 导数与函数的单调性
考试要求 1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.2.能利用导数研究
函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).3.会利用函数的单调
性判断大小，求参数的取值范围等简单应用．
知识梳理
1．函数的单调性与导数的关系
条件 恒有 结论
f′(x)>0 f(x)在区间(a，b)上________
函数y＝f(x)在区间(a，
f′(x)<0 f(x)在区间(a，b)上________
b)上可导
f′(x)＝0 f(x)在区间(a，b)上是________
2.利用导数判断函数单调性的步骤
第1步，确定函数的 ；
第2步，求出导数f′(x)的 ；
第3步，用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正
负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性．
常用结论
1．若函数f(x)在(a，b)上单调递增，则当x∈(a，b)时，f′(x)≥0恒成立；若函数f(x)在(a，
b)上单调递减，则当x∈(a，b)时，f′(x)≤0恒成立．
2．若函数f(x)在(a，b)上存在单调递增区间，则当x∈(a，b)时，f′(x)>0有解；若函数f(x)
在(a，b)上存在单调递减区间，则当x∈(a，b)时，f′(x)<0有解．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)在此区间内没有单调性．( )
(2)在(a，b)内f′(x)≤0且f′(x)＝0的根有有限个，则f(x)在(a，b)内单调递减．( )
(3)若函数f(x)在定义域上都有f′(x)>0，则f(x)在定义域上一定单调递增．( )
(4)函数f(x)＝x－sin x在R上是增函数．( )
教材改编题
1．f′(x)是f(x)的导函数，若f′(x)的图象如图所示，则f(x)的图象可能是( )2．函数f(x)＝x2－2ln x的单调递减区间是( )
A．(0,1) B．(1，＋∞)
C．(－∞，1) D．(－1,1)
3．已知函数f(x)＝xsin x，x∈R，则f ，f(1)，f 的大小关系为________________．(用“<”
连接)
题型一 不含参函数的单调性
例1 (1)函数f(x)＝xln x－3x＋2的单调递减区间为________．
(2)若函数f(x)＝，则函数f(x)的单调递增区间为________．
听课记录：______________________________________________________________
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思维升华 确定不含参数的函数的单调性，按照判断函数单调性的步骤即可，但应注意两点，
一是不能漏掉求函数的定义域，二是函数的单调区间不能用并集，要用“逗号”或“和”隔
开．
跟踪训练1 已知函数f(x)＝x－ln x－.判断函数f(x)的单调性．
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题型二 含参数的函数的单调性
例2 已知函数f(x)＝(2－a)x－ln x－1，a∈R.
(1)当a＝1时，求函数y＝f(x)的单调递增区间；
(2)若a<0，设g(x)＝f(x)＋ax2，求函数g(x)的单调区间．
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思维升华 (1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论．
(2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为零的点和函数的间断
点．
跟踪训练2 已知函数g(x)＝(x－a－1)ex－(x－a)2，讨论函数g(x)的单调性．
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题型三 函数单调性的应用
命题点1 比较大小或解不等式
例3 (1)(多选)下列不等式成立的是( )
A．2ln eln π
(2)已知函数f(x)＝cos x＋ex＋e－x－x2，则关于x的不等式f(2x－1)0 (或f′(x)<0)在该区间上存在解
集．
跟踪训练3 (1)已知函数f(x)＝－ex＋2x－x3，若f(3a2)＋f(2a－1)≥0，则实数a的取值范围
是________．
(2)已知函数f(x)＝－x2－3x＋4ln x在(t，t＋2)上不单调，则实数t的取值范围是________．
