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§3.3 导数与函数的极值、最值
考试要求 1.借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要和充分条件.2.会用导数求函
数的极大值、极小值.3.掌握利用导数研究函数最值的方法.4.会用导数研究生活中的最优化问
题．
知识梳理
1．函数的极值
(1)函数的极小值
函数y＝f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点处的函数值都小，f′(a)＝
0；而且在点x＝a附近的左侧 ，右侧 ，则a叫做函数y＝f(x)的极小值
点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．
(2)函数的极大值
函数y＝f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点处的函数值都大，f′(b)＝
0；而且在点x＝b附近的左侧 ，右侧 ，则b叫做函数y＝f(x)的极大值
点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．
(3)极小值点、极大值点统称为 ，极小值和极大值统称为 ．
2．函数的最大(小)值
(1)函数f(x)在区间[a，b]上有最值的条件：
如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条 的曲线，那么它必有最大值和最
小值．
(2)求函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤：
①求函数y＝f(x)在区间(a，b)内的 ；
②将函数y＝f(x)的各极值与 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个
是最小值．
常用结论
对于可导函数f(x)，“f′(x)＝0”是“函数f(x)在x＝x 处有极值”的必要不充分条件．
0 0
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数的极值可能不止一个，也可能没有．( )
(2)函数的极小值一定小于函数的极大值．( )
(3)函数的极小值一定是函数的最小值．( )
(4)函数的极大值一定不是函数的最小值．( )
教材改编题1．如图是f(x)的导函数f′(x)的图象，则f(x)的极小值点的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
2．函数f(x)＝x3－ax2＋2x－1有极值，则实数a的取值范围是________________．
3．若函数f(x)＝x3－4x＋m在[0,3]上的最大值为4，则m＝________.
题型一 利用导数求解函数的极值问题
命题点1 根据函数图象判断极值
例1 (多选)(2023·华南师大附中模拟)如图是y＝f(x)的导函数f′(x)的图象，对于下列四个判
断，其中正确的判断是( )
A．当x＝－1时，f(x)取得极小值
B. f(x)在[－2,1]上单调递增
C．当x＝2时，f(x)取得极大值
D. f(x)在[－1,2]上不具备单调性
听课记录：______________________________________________________________
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命题点2 求已知函数的极值
例2 (2022·西南大学附中模拟)已知函数f(x)＝ln x＋2ax2＋2(a＋1)x(a≠0)，讨论函数f(x)的
极值．
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命题点3 已知极值(点)求参数
例3 (1)(2023·福州质检)已知函数f(x)＝x(x－c)2在x＝2处有极小值，则c的值为( )
A．2 B．4 C．6 D．2或6
(2)(2023·威海模拟)若函数f(x)＝ex－ax2－2ax有两个极值点，则实数a的取值范围为( )
A. B.
C. D.听课记录：______________________________________________________________
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思维升华 根据函数的极值(点)求参数的两个要领
(1)列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解；
(2)验证：求解后验证根的合理性．
跟踪训练1 (1)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx－a2－7a在x＝1处取得极大值10，则a＋b的值
为( )
A．－1或3 B．1或－3
C．3 D．－1
(2)(2022·哈师大附中模拟)已知函数f(x)＝＋2kln x－kx，若 x＝2 是函数 f(x) 的唯一极值点，
则实数 k 的取值范围是 ( )
A．(0,2] B．[2，＋∞)
C. D.
题型二 利用导数求函数最值
命题点1 不含参函数的最值
例4 (2022·全国乙卷)函数f(x)＝cos x＋(x＋1)sin x＋1在区间[0,2π]的最小值、最大值分别
为( )
A．－， B．－，
C．－，＋2 D．－，＋2
听课记录：______________________________________________________________
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命题点2 含参函数的最值
例5 已知函数f(x)＝－ln x(a∈R)．
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)求f(x)在上的最大值g(a)．
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思维升华 求含有参数的函数的最值，需先求函数的定义域、导函数，通过对参数分类讨论，
判断函数的单调性，从而得到函数f(x)的最值．
跟踪训练2 (1)(2021·新高考全国Ⅰ)函数f(x)＝|2x－1|－2ln x的最小值为________．
(2)已知函数h(x)＝x－aln x＋(a∈R)在区间[1，e]上的最小值小于零，求a的取值范围．
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