文档内容
§8.7 抛物线
考试要求 1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程.2.掌握抛物线的简单几何性质(范围、
对称性、顶点、离心率).3.了解抛物线的简单应用．
知识梳理
1．抛物线的概念
把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离 的点的轨迹叫做抛
物线．点F叫做抛物线的 ，直线l叫做抛物线的 ．
2．抛物线的标准方程和简单几何性质
标准
y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0)
方程
图形
范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R
焦点
准线
方程
对称轴
顶点
离心率 e＝_____
常用结论
1．通径：过焦点与对称轴垂直的弦长等于2p.
2．抛物线y2＝2px(p>0)上一点P(x，y)到焦点F的距离|PF|＝x＋，也称为抛物线的焦半径．
0 0 0
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹是抛物线．( )
(2)方程y＝4x2表示焦点在x轴上的抛物线，焦点坐标是(1,0)．( )
(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．( )
(4)以(0,1)为焦点的抛物线的标准方程为x2＝4y.( )
教材改编题
1．抛物线x2＝y的准线方程为( )
A．y＝－ B．x＝－C．y＝ D．x＝
2．过抛物线y2＝4x的焦点的直线l交抛物线于P(x ，y)，Q(x ，y)两点，如果x ＋x ＝6，
1 1 2 2 1 2
则|PQ|等于( )
A．9 B．8 C．7 D．6
3．抛物线y2＝2px(p>0)上一点M(3，y)到焦点F的距离|MF|＝4，则抛物线的方程为( )
A．y2＝8x B．y2＝4x C．y2＝2x D．y2＝x
题型一 抛物线的定义及应用
例1 (1)(2022·全国乙卷)设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，点A在C上，点B(3,0)，若|AF|
＝|BF|，则|AB|等于( )
A．2 B．2 C．3 D．3
(2)已知点M(20,40)不在抛物线C：y2＝2px(p>0)上，抛物线C的焦点为F.若对于抛物线上的
一点P，|PM|＋|PF|的最小值为41，则p的值等于________．
听课记录：______________________________________________________________
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思维升华 “看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”，许多抛物线问题均可根据定义获得
简捷、直观的求解．“由数想形，由形想数，数形结合”是灵活解题的一条捷径．
跟踪训练1 (1)已知抛物线y＝mx2(m>0)上的点(x,2)到该抛物线焦点F的距离为，则m等于(
0
)
A．4 B．3 C. D.
(2)若P是抛物线y2＝8x上的动点，P到y轴的距离为d ，到圆C：(x＋3)2＋(y－3)2＝4上动
1
点Q的距离为d，则d＋d 的最小值为________．
2 1 2
题型二 抛物线的标准方程
例2 分别求满足下列条件的抛物线的标准方程．
(1)准线方程为2y＋4＝0；
(2)过点(3，－4)；
(3)焦点在直线x＋3y＋15＝0上．
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思维升华 求抛物线的标准方程的方法
(1)定义法．
(2)待定系数法：当焦点位置不确定时，分情况讨论．
跟踪训练2 (1)如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A，B，C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则抛物线的方程为( )
A．y2＝x B．y2＝9x
C．y2＝x D．y2＝3x
(2)(2022·烟台模拟)已知点F为抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，点P在抛物线上且横坐标为8，
O为坐标原点，若△OFP的面积为2，则该抛物线的准线方程为( )
A．x＝－ B．x＝－1
C．x＝－2 D．x＝－4
题型三 抛物线的几何性质
例3 (1)在抛物线y2＝8x上有三点A，B，C，F为其焦点，且F为△ABC的重心，则|AF|＋|
BF|＋|CF|等于( )
A．6 B．8 C．9 D．12
(2)(多选)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，直线l的斜率为且经过点F，与抛物线C
交于A，B两点(点A在第一象限)，与抛物线C的准线交于点D.若|AF|＝8，则以下结论正确
的是( )
A．p＝4 B.DF＝FA
C．|BD|＝2|BF| D．|BF|＝4
听课记录：______________________________________________________________
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思维升华 应用抛物线的几何性质解题时，常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物
线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性．
跟踪训练3 (1)(2021·新高考全国Ⅰ)已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为
F，P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQ⊥OP.若|FQ|＝6，则C的准线方
程为______．
(2)已知F是抛物线y2＝16x的焦点，M是抛物线上一点，FM的延长线交y轴于点N，若
3FM＝2MN，则|FN|＝________.
