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§10.2 排列与组合
考试要求 1.理解排列、组合的概念.2.能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式.3.能
利用排列、组合解决简单的实际问题．
知识梳理
1．排列与组合的概念
名称 定义
排列 从n个不同元素中取 按照 排成一列
组合 出m(m≤n)个元素 作为一组
2.排列数与组合数
(1)排列数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有 的个数，用符号 表示．
(2)组合数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有 的个数，用符号 表示．
3．排列数、组合数的公式及性质
(1)A＝ ＝ (n，m∈N*，且m≤n)．
公式
(2)C＝＝ (n，m∈N*，且m≤n)．特别地，C＝1
(1)0！＝ ；A＝ .
性质
(2)C＝C；C＝
常用结论
1．排列数、组合数常用公式
(1)A＝(n－m＋1)A.
(2)A＝nA.
(3)(n＋1)！－n！＝n·n！.
(4)kC＝nC.
(5)C＋C＋…＋C＋C＝C.
2．解决排列、组合问题的十种技巧
(1)特殊元素优先安排．
(2)合理分类与准确分步．
(3)排列、组合混合问题要先选后排．
(4)相邻问题捆绑处理．
(5)不相邻问题插空处理．
(6)定序问题倍缩法处理．(7)分排问题直排处理．
(8)“小集团”排列问题先整体后局部．
(9)构造模型．
(10)正难则反，等价转化．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列．( )
(2)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同．( )
(3)若组合式C＝C，则x＝m成立．( )
(4)A＝n(n－1)(n－2)…(n－m)．( )
教材改编题
1．A＋C等于( )
A．35 B．47 C．45 D．57
2．从4名男同学和3名女同学中选出3名参加某项活动，则男、女生都有的选法种数是(
)
A．18 B．24 C．30 D．36
3．将4名学生分别安排到甲、乙、丙三地参加社会实践活动，每个地方至少安排一名学生
参加，则不同的安排方案共有________种．
题型一 排列问题
例1 (1)中国国家滑雪队将开展自由式滑雪项目中的空中技巧、雪上技巧、障碍追逐和U型
场地技巧四个项目表演，现安排两名男队员和两名女队员组队参演，参演选手每人展示其中
一个不同的项目，雪上技巧项目必须由女队员展示，则所有不同出场顺序与项目展示方案种
数为( )
A．576 B．288 C．144 D．48
(2)用0,1,2,3,4,5这六个数字可以组成________个无重复数字且不大于4 310的四位偶数．
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思维升华 对于有限制条件的排列问题，分析问题时，有位置分析法、元素分析法，在实际
进行排列时，一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，
对于分类过多的问题可以采用间接法．
跟踪训练1 (1)(2023·武汉模拟)源于探索外太空的渴望，航天事业在21世纪获得了长足的
发展．太空中的环境为某些科学实验提供了有利条件，宇航员常常在太空旅行中进行科学实
验．在某次太空旅行中，宇航员们负责的科学实验要经过 5道程序，其中A，B两道程序既不能放在最前，也不能放在最后，则该实验不同程序的顺序安排共有( )
A．18种 B．36种 C．72种 D．108种
(2)8人站成前后两排，每排4人，其中甲、乙两人必须在前排，丙在后排，则共有________
种排法．
题型二 组合问题
例2 (1)(多选)从6名男生和4名女生中选出4人去参加一项创新大赛，则下列说法正确的
有( )
A．如果4人全部为男生，那么有30种不同的选法
B．如果4人中男生、女生各有2人，那么有30种不同的选法
C．如果男生中的甲和女生中的乙必须在内，那么有28种不同的选法
D．如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内，那么有140种不同的选法
(2)在某场新闻发布会上，主持人要从5名国内记者与4名国外记者中依次选出3名来提问，
要求3人中既有国内记者又有国外记者，且不能连续选国内记者，则不同的选法有( )
A．80种 B．180种 C．260种 D．420种
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思维升华 组合问题常有以下两类题型
(1)“含有”或“不含有”问题：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不
含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．
(2)“至少”或“最多”问题：用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法，分类复杂时，
考虑逆向思维，用间接法处理．
跟踪训练2 (1)从4名男生和3名女生中选派4人去参加课外活动，要求至少有一名女生参
加，则不同的选派种数为( )
A．12 B．24 C．34 D．60
(2)如图，从上往下读(不能跳读，即念完标号为②的国字后只能念下一行标号为③或④的荣
字，又如标号为⑤的校字只能接在标号为④的荣字后念)，构成句子“爱国荣校做市西卓越
学生”的不同读法总数为________．
题型三 排列与组合的综合问题
命题点1 相邻、相间问题
例3 (多选)有3名男生，4名女生，在下列不同条件下，正确的是( )
A．全体站成一排，女生必须站在一起有144种排法B．全体站成一排，男生互不相邻有1 440种排法
C．任选其中3人相互调整座位，其余4人座位不变，则不同的调整方案有70种
D．全体站成一排，甲不站排头，乙不站排尾有3 720种排法
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命题点2 定序问题
例4 有4名男生，3名女生，其中3名女生高矮各不相同，将7名学生排成一行，要求从
左到右，女生从矮到高排列(不一定相邻)，不同的排法共有________种.
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命题点3 分组、分配问题
例5 (1)(2023·岳阳模拟)中国书法历史悠久，源远流长，书法作为一门艺术，以文字为载体，
不断地反映着和丰富着华夏民族的自然观、宇宙观和人生观，谈到书法艺术，就离不开汉字，
汉字是书法艺术的精髓，汉字本身具有丰富的意象和可塑的规律性，使汉字书写成为一门独
特的艺术，我国书法大体可分为篆、隶、楷、行、草五种书体，如图，以“国”字为例，现
有5张分别写有一种书体的临摹纸，将其全部分给3名书法爱好者，每人至少1张，则不同
的分法种数为( )
A．60 B．90 C．120 D．150
(2)中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱．假设中国空间站要
安排6名航天员开展实验，其中每个舱安排2人．若甲、乙两人不被安排在同一个舱内做实
验，则不同的安排方案共有( )
A．20种 B．36种
C．72种 D．84种
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思维升华 求解排列、组合应用问题的常用方法
捆绑法 把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列
对于不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面
插空法
元素排列的空档中
定序问题 对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列
跟踪训练3 (1)(多选)已知A，B，C，D，E五个人并排站在一起，则下列说法正确的有(
)
A．若A，B不相邻，共有72种排法B．若A不站在最左边，B不站在最右边，有72种排法
C．若A在B右边有60种排法
D．若A，B两人站在一起有48种排法
(2)某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，同类
节目不相邻的排法种数是( )
A．72 B．120 C．144 D．168
(3)将9名大学生志愿者安排在星期五、星期六及星期日3天参加社区公益活动，每天分别安
排3人，每人参加一次，则不同的安排方案共有________种．(用数字作答)
