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§2.1 函数的概念及其表示
考试要求 1.了解函数的含义.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象
法、列表法、解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数，并会简单的应用．
知识梳理
1．函数的概念
一般地，设A，B是 ，如果对于集合A中的 一个数x，按照某种
确定的对应关系f，在集合B中都有 的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集
合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.
2．函数的三要素
(1)函数的三要素： 、 、 ．
(2)如果两个函数的 相同，并且 完全一致，则这两个函数为同一
个函数．
3．函数的表示法
表示函数的常用方法有 、图象法和 ．
4．分段函数
若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函
数称为分段函数．
常用结论
1．直线x＝a与函数y＝f(x)的图象至多有1个交点．
2．在函数的定义中，非空数集A，B，A即为函数的定义域，值域为B的子集．
3．分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．分段函数的定义域等于各段函数
的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集．
思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若两个函数的定义域和值域相同，则这两个函数是同一个函数．( )
(2)函数y＝f(x)的图象可以是一条封闭曲线．( )
(3)y＝x0与y＝1是同一个函数．( )
(4)函数f(x)＝的定义域为R.( )
教材改编题
1．(多选)下列所给图象是函数图象的是( )
2．下列各组函数表示同一个函数的是( )
A．y＝x－1与y＝
B．y＝x－1与y＝－
C．y＝2与y＝2x
D．y＝与v＝
3．已知函数f(x)＝则函数f 等于( )
A．3 B．－3 C. D．－
题型一 函数的定义域
例1 (1)函数y＝的定义域为( )
A．(－4，－1) B．(－4,1)
C．(－1,1) D．(－1,1]
(2)已知函数f(x)的定义域为(－4，－2)，则函数g(x)＝f(x－1)＋的定义域为________．
听课记录：______________________________________________________________
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跟踪训练1 (1)函数f(x)＝＋的定义域为( )
A．(1,3] B．(1,2)∪(2,3]
C．(1,3)∪(3，＋∞) D．(－∞，3)
(2)(2023·南阳检测)已知函数f(x)＝lg ，则函数g(x)＝f(x－1)＋的定义域是( )
A．{x|x>2或x<0} B.
C．{x|x>2} D.
题型二 函数的解析式
例2 (1)已知f(1－sin x)＝cos2x，求f(x)的解析式；
(2)已知f ＝x2＋，求f(x)的解析式；(3)已知f(x)是一次函数且3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求f(x)的解析式．
(4)已知f(x)满足2f(x)＋f(－x)＝3x，求f(x)的解析式．
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思维升华 函数解析式的求法
(1)配凑法；(2)待定系数法；(3)换元法；(4)解方程组法．
跟踪训练2 (1)已知f(x－1)＝x2＋4x－5，则f(x)的解析式是( )
A．f(x)＝x2＋6x B．f(x)＝x2＋8x＋7
C．f(x)＝x2＋2x－3 D．f(x)＝x2＋6x－10
(2)若f ＝，则f(x)＝________.
(3)已知函数f(x)满足f(x)＋2f ＝3x，则f(2)等于( )
A．－3 B．3 C．－1 D．1
题型三 分段函数
例3 (1)已知函数f(x)＝则f(2 024)的值为( )
A．－1 B．0 C．1 D．2
(2)已知函数f(x)＝若f(a)＝4，则实数a的值是________；若f(a)≥2，则实数a的取值范围是
________．
听课记录：______________________________________________________________
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思维升华 分段函数求值问题的解题思路
(1)求函数值：当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．
(2)求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的
值，切记要代入检验．
跟踪训练3 (1)已知函数f(x)＝若f(f(a))＝2，则a等于( )
A．0或1 B．－1或1
C．0或－2 D．－2或－1
(2)(2023·重庆质检)已知函数f(x)＝则f(x)
