文档内容
§8.3 圆的方程
考试要求 1.理解确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，掌握圆的标准方程与一般方
程.2.能根据圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题．
知识梳理
1．圆的定义和圆的方程
定义 平面上到 的距离等于 的点的集合叫做圆
圆心C_______
标准 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)
半径为_______
方程
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 圆心C_______
一般
(D2＋E2－4F>0) 半径r＝_______
2.点与圆的位置关系
平面上的一点M(x，y)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之间存在着下列关系：
0 0
(1)|MC|>r⇔M在 ，即(x－a)2＋(y－b)2>r2⇔M在圆外；
0 0
(2)|MC|＝r⇔M在 ，即(x－a)2＋(y－b)2＝r2⇔M在圆上；
0 0
(3)|MC|0.( )
(4)若点M(x，y)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则x＋y＋Dx＋Ey＋F>0.( )
0 0 0 0
教材改编题
1．圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是( )
A．(x－1)2＋(y－1)2＝1
B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1
C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2D．(x－1)2＋(y－1)2＝2
2．若曲线C：x2＋y2＋2ax－4ay－10a＝0表示圆，则实数a的取值范围为( )
A．(－2,0) B．(－∞，－2)∪(0，＋∞)
C．[－2,0] D．(－∞，－2]∪[0，＋∞)
3．(多选)下列各点中，在圆(x－1)2＋(y＋2)2＝25的内部的是( )
A．(0,2) B．(3,3)
C．(－2,2) D．(4,1)
题型一 圆的方程
例1 (1)(2022·全国乙卷)过四点(0,0)，(4,0)，(－1,1)，(4,2)中的三点的一个圆的方程为
________________________________________________________________________.
(2)(2022·全国甲卷)设点M在直线2x＋y－1＝0上，点(3,0)和(0,1)均在⊙M上，则⊙M的方
程为________．
听课记录：______________________________________________________________
________________________________________________________________________
思维升华 求圆的方程的常用方法
(1)直接法：直接求出圆心坐标和半径，写出方程．
(2)待定系数法
①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，求出a，b，r的值；
②选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值．
跟踪训练1 (1)圆心在y轴上，半径长为1，且过点A(1,2)的圆的方程是( )
A．x2＋(y－2)2＝1 B．x2＋(y＋2)2＝1
C．(x－1)2＋(y－3)2＝1 D．x2＋(y－3)2＝4
(2)若圆C经过坐标原点，且圆心在直线y＝－2x＋3上运动，当半径最小时，圆的方程为
____________．
题型二 与圆有关的轨迹问题
例2 已知Rt△ABC的斜边为AB，且A(－1,0)，B(3,0)．求：
(1)直角顶点C的轨迹方程；
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
(2)直角边BC的中点M的轨迹方程．
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________________________________________________________
思维升华 求与圆有关的轨迹问题的常用方法
(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程．
(2)定义法：根据圆、直线等定义列方程．
(3)相关点代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式．
跟踪训练2 (2023·宜昌模拟)已知定点M(1,0)，N(2,0)，动点P满足|PN|＝|PM|.
(1)求动点P的轨迹C的方程；
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
(2)已知点B(6,0)，点A在轨迹C上运动，求线段AB上靠近点B的三等分点Q的轨迹方程．
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
题型三 与圆有关的最值问题
命题点1 利用几何性质求最值
例3 (2022·泉州模拟)已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.求：
(1)的最大值和最小值；
(2)y－x的最小值；
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
(3)x2＋y2的最大值和最小值．
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
命题点2 利用函数求最值
例4 (2023·湘潭质检)设点P(x，y)是圆x2＋(y－3)2＝1上的动点，定点A(2,0)，B(－2,0)．则
PA·PB的最大值为________．
延伸探究 若将本例改为“设点P(x，y)是圆(x－3)2＋y2＝4上的动点，定点A(0,2)，B(0，
－2)”，则|PA＋PB|的最大值为________．
听课记录：______________________________________________________________
________________________________________________________________________
思维升华 与圆有关的最值问题的求解方法(1)借助几何性质求最值：形如μ＝，t＝ax＋by，(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题．
(2)建立函数关系式求最值：列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征
选用配方法、判别式法、基本不等式法等求最值．
(3)求解形如|PM|＋|PN|(其中M，N均为动点)且与圆C有关的折线段的最值问题的基本思路：
①“动化定”，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离；②“曲化直”，即将折线段之和
转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决．
跟踪训练3 (1)设P(x，y)是圆(x－2)2＋y2＝1上的任意一点，则(x－5)2＋(y＋4)2的最大值是(
)
A．6 B．25 C．26 D．36
(2)若点P(x，y)在圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0上，则的最大值为________．
