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§7.5 空间直线、平面的垂直
考试要求 1.理解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系.2.掌握直线与
平面、平面与平面垂直的判定与性质，并会简单应用．
知识梳理
1．直线与平面垂直
(1)直线和平面垂直的定义
一般地，如果直线l与平面α内的 直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直．
(2)判定定理与性质定理
文字语言 图形表示 符号表示
如果一条直线与一个
判定 平面内的__________
⇒l⊥α
定理 垂直，那么该直线与
此平面垂直
性质 垂直于同一个平面的
⇒a∥b
定理 两条直线平行
2.直线和平面所成的角
(1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的________所成的角，叫做这条直线和这个平面所
成的角．一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是________；一条直线和平面平行，或
在平面内，我们说它们所成的角是________．
(2)范围：________.
3．二面角
(1)定义：从一条直线出发的 所组成的图形叫做二面角．
(2)二面角的平面角：如图，在二面角α－l－β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平
面α和β内分别作 的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面
角的平面角．
(3)二面角的范围： ．
4．平面与平面垂直
(1)平面与平面垂直的定义一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是 ，就说这两个平面互相垂直．
(2)判定定理与性质定理
文字语言 图形表示 符号表示
如果一个平面过另一个平
判定
面的________，那么这两 ⇒α⊥β
定理
个平面垂直
两个平面垂直，如果一个
平面内有一直线垂直于这
性质
两个平面的________，那 ⇒l⊥α
定理
么这条直线与另一个平面
垂直
常用结论
1．三垂线定理
平面内的一条直线如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这
条斜线垂直．
2．三垂线定理的逆定理
平面内的一条直线如果和穿过该平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在该平面内的射
影垂直．
3．两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若直线l与平面α内的两条直线都垂直，则l⊥α.( )
(2)若直线a⊥α，b⊥α，则a∥b.( )
(3)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面．( )
(4)若α⊥β，a⊥β，则a∥α.( )
教材改编题
1．(多选)下列命题中不正确的是( )
A．如果直线a不垂直于平面α，那么平面α内一定不存在直线垂直于直线a
B．如果平面α垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线平行于平面β
C．如果直线a垂直于平面α，那么平面α内一定不存在直线平行于直线a
D．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β
2. 如图，在正方形SGGG 中，E，F分别是GG ，GG 的中点，D是EF的中点，现在沿
1 2 3 1 2 2 3
SE，SF及EF把这个正方形折成一个四面体，使 G ，G ，G 三点重合，重合后的点记为
1 2 3
G，则在四面体S－EFG中必有( )A．SG⊥△EFG所在平面
B．SD⊥△EFG所在平面
C．GF⊥△SEF所在平面
D．GD⊥△SEF所在平面
3．已知PD垂直于正方形ABCD所在的平面，连接PB，PC，PA，AC，BD，则一定互相垂
直的平面有________对．
题型一 直线与平面垂直的判定与性质
例1 (1)已知l，m是平面α外的两条不同直线．给出下列三个论断：
①l⊥m；②m∥α；③l⊥α.
以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题________．
听课记录：______________________________________________________________
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(2)(2023·娄底模拟)如图，在三棱柱ABC－ABC 中，点B 在底面ABC内的射影恰好是点C.
1 1 1 1
①若点D是AC的中点，且DA＝DB，证明：AB⊥CC .
1
②已知BC ＝2，BC＝2，求△BCC 的周长．
1 1 1 1
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思维升华 证明线面垂直的常用方法及关键
(1)证明直线和平面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的传递性(a∥b，
a⊥α⇒b⊥α)；③面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)；④面面垂直的性质．
(2)证明线面垂直的关键是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质．
跟踪训练1 如图，在正方体ABCD－ABC D 中，E，F分别是棱CD，AD 的中点．
1 1 1 1 1 1(1)求证：AB⊥BF；
1
(2)求证：AE⊥BF；
(3)棱CC 上是否存在点P，使BF⊥平面AEP？若存在，确定点P的位置，若不存在，说明
1
理由．
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题型二 平面与平面垂直的判定与性质
例2 (2023·桂林模拟)如图所示，已知在四棱锥 P－ABCD中，底面ABCD是矩形，平面
PAD⊥底面ABCD且AB＝1，PA＝AD＝PD＝2，E为PD的中点．
(1)求证：平面PCD⊥平面ACE；
(2)求点B到平面ACE的距离．
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思维升华 (1)判定面面垂直的方法
①面面垂直的定义．②面面垂直的判定定理．
(2)面面垂直性质的应用
①面面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依据，运用时要注意“平面内的直
线”．②若两个相交平面同时垂直于第三个平面，则它们的交线也垂直于第三个平面．
跟踪训练2 (2022·邯郸模拟)如图，在四棱锥 P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝
2AB，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥AD，E和F分别是CD和PC的中点，求证：(1)PA⊥平面ABCD；
(2)平面BEF∥平面PAD；
(3)平面BEF⊥平面PCD.
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题型三 垂直关系的综合应用
例3 如图，已知ABCD－ABC D 是底面为正方形的长方体，∠ADA ＝60°，AD ＝4，点
1 1 1 1 1 1 1
P是AD 上的动点．
1
(1)试判断不论点P在AD 上的任何位置，是否都有平面BPA⊥平面AADD，并证明你的结
1 1 1
论；
(2)当P为AD 的中点时，求异面直线AA 与BP所成的角的余弦值；
1 1 1
(3)求PB 与平面AADD所成的角的正切值的最大值．
1 1 1
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思维升华 (1)三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转
化．
(2)对于线面关系中的存在性问题，首先假设存在，然后在该假设条件下，利用线面关系的
相关定理、性质进行推理论证．
跟踪训练3 (2023·柳州模拟)如图，在三棱锥P－ABC中，AB＝BC＝2，PA＝PB＝PC＝AC
＝2，O为AC的中点．(1)证明：PO⊥平面ABC；
(2)若点M在棱BC上，且PM与平面ABC所成角的正切值为，求二面角M－PA－C的平面
角的余弦值．
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