第6章　§6.4　数列中的构造问题[培优课]_2.2025数学总复习_2024年新高考资料_1.2024一轮复习_2024年高考数学一轮复习讲义（新高考版）_学生版在此文件夹_学生用书Word版文档_大一轮复习讲义

§6.4 数列中的构造问题 数列中的构造问题是历年高考的一个热点内容，主、客观题均可出现，一般通过构造新 的数列求数列的通项公式． 题型一 形如a ＝pa＋f(n)型 n＋1 n 命题点1 a ＝pa＋q(p≠0,1，q≠0) n＋1 n 例1 (1)数列{a}满足a＝4a ＋3(n≥2)且a＝0，则a 等于( ) n n n－1 1 2 024 A．22 023－1 B．42 023－1 C．22 023＋1 D．42 023＋1 (2)已知数列{a}的首项a＝1，且＝＋2，则数列{a}的通项公式为__________． n 1 n 听课记录：______________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 命题点2 a ＝pa＋qn＋c(p≠0,1，q≠0) n＋1 n 例2 已知数列{a}满足a ＝2a－n＋1(n∈N*)，a＝3，求数列{a}的通项公式． n n＋1 n 1 n ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 命题点3 a ＝pa＋qn(p≠0,1，q≠0,1) n＋1 n 例3 (1)已知数列{a}中，a＝3，a ＝3a＋2·3n＋1，n∈N*.则数列{a}的通项公式为( ) n 1 n＋1 n n A．a＝(2n＋1)·3n B．a＝(n－1)·2n n n C．a＝(2n－1)·3n D．a＝(n＋1)·2n n n (2)在数列{a}中，a＝1，且满足a ＝6a＋3n，则a＝________. n 1 n＋1 n n 听课记录：______________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 思维升华 形式 构造方法 a ＝pa＋q 引入参数c，构造新的等比数列{a－c} n＋1 n n a ＝pa＋qn＋c 引入参数x，y，构造新的等比数列{a＋xn＋y} n＋1 n n a ＝pa＋qn 两边同除以qn＋1，构造新的数列 n＋1 n 跟踪训练1 (1)在数列{a}中，a＝1，a ＝2a＋2n.则数列{a}的通项公式a 等于( ) n 1 n＋1 n n n A．n·2n－1 B．n·2nC．(n－1)·2n D．(n＋1)·2n (2)(2023·黄山模拟)已知数列{a}满足a＝1，(2＋a)·(1－a )＝2，设的前n项和为S，则a n 1 n n＋1 n 2 (S ＋2 023)的值为( ) 023 2 023 A．22 023－2 B．22 023－1 C．2 D．1 (3)已知数列{a}满足a ＝2a＋n，a＝2，则a＝________. n n＋1 n 1 n 题型二 相邻项的差为特殊数列(形如a ＝pa＋qa ) n＋1 n n－1 例4 (1)已知数列{a}满足：a＝a＝2，a＝3a ＋4a (n≥3)，则a＋a 等于( ) n 1 2 n n－1 n－2 9 10 A．47 B．48 C．49 D．410 (2)已知数列{a}满足a＝1，a＝2，且a ＝2a＋3a (n≥2，n∈N*)．则数列{a}的通项公 n 1 2 n＋1 n n－1 n 式为a＝________. n 听课记录：______________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 思维升华 可以化为a －xa ＝x(a －xa )，其中x ，x 是方程x2－px－q＝0的两个根， n＋1 1 n 2 n 1 n－1 1 2 若1是方程的根，则直接构造数列{a －a }，若1不是方程的根，则需要构造两个数列， n n－1 采取消元的方法求数列{a}． n 跟踪训练2 若x＝1是函数f(x)＝a x4－ax3－a x＋1(n∈N*)的极值点，数列{a}满足a＝ n＋1 n n＋2 n 1 1，a＝3，则数列{a}的通项公式a＝________. 2 n n 题型三 倒数为特殊数列 例5 (1)已知数列{a}满足a＝1，a ＝(n∈N*)，则满足a>的n的最大取值为( ) n 1 n＋1 n A．7 B．8 C．9 D．10 (2)(多选)数列{a}满足a ＝(n∈N*)，a＝1，则下列结论正确的是( ) n n＋1 1 A.＝＋ B. 是等比数列 C．(2n－1)a＝1 D．3aa ＝a n 5 17 49 听课记录：______________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 思维升华 两边同时取倒数转化为＝·＋的形式，化归为b ＝pb ＋q型，求出的表达式， n＋1 n 再求a. n 跟踪训练3 已知函数f(x)＝，数列{a}满足a ＝1，a ＝f(a)(n∈N*)，则数列{a}的通项公 n 1 n＋1 n n 式为____________．