文档内容
§7.3 空间点、直线、平面之间的位置关系
考试要求 1.借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽象出
空间点、直线、平面的位置关系的定义.2.了解四个基本事实和一个定理，并能应用定理解决
问题．
知识梳理
1．基本事实1：过 的三个点，有且只有一个平面．
基本事实2：如果一条直线上的 在一个平面内，那么这条直线在这个平面内．
基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有 过该点的公
共直线．
基本事实4：平行于同一条直线的两条直线 ．
2．“三个”推论
推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面．
推论2：经过两条 直线，有且只有一个平面．
推论3：经过两条 直线，有且只有一个平面．
3．空间中直线与直线的位置关系
4．空间中直线与平面、平面与平面的位置关系
图形语言 符号语言 公共点
相交 个
直线与平面
平行 个
在平面内 个
平行 个
平面与平面
相交 个
5.等角定理
如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角 ．
6．异面直线所成的角
(1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，我们把直线a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．
(2)范围： .
常用结论
1．过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线．
2．分别在两个平行平面内的直线平行或异面．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)没有公共点的两条直线是异面直线．( )
(2)直线与平面的位置关系有平行、垂直两种．( )
(3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．( )
(4)两两相交的三条直线共面．( )
教材改编题
1．(多选)如图是某正方体的平面展开图，则在这个正方体中，下列说法正确的是( )
A．BM与ED平行
B．CN与BM成60°角
C．CN与BE是异面直线
D．DM与BN是异面直线
2．已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b( )
A．一定是异面直线
B．一定是相交直线
C．不可能是平行直线
D．不可能是相交直线
3. 如图，在三棱锥A－BCD中，E，F，G，H分别是棱AB，BC，CD，DA的中点，则
(1)当AC，BD满足条件________时，四边形EFGH为菱形；
(2)当AC，BD满足条件________时，四边形EFGH为正方形．
题型一 基本事实的应用例1 已知在正方体ABCD－ABC D 中，E，F分别为DC ，C B 的中点，AC∩BD＝P，
1 1 1 1 1 1 1 1
AC ∩EF＝Q.
1 1
求证：(1)D，B，F，E四点共面；
(2)若AC交平面DBFE于点R，则P，Q，R三点共线；
1
(3)DE，BF，CC 三线交于一点．
1
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思维升华 共面、共线、共点问题的证明
(1)共面：先确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内．
(2)共线：先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上．
(3)共点：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点．
跟踪训练1 (1)如图，α∩β＝l，A，B∈α，C∈β，且A，B，C∉l，直线AB∩l＝M，过A，
B，C三点的平面记作γ，则γ与β的交线必经过( )
A．点A
B．点B
C．点C但不过点M
D．点C和点M
(2)如图所示，平面 ABEF⊥平面ABCD，四边形ABEF与ABCD都是直角梯形，∠BAD＝
∠FAB＝90°，BC∥AD且BC＝AD，BE∥AF且BE＝AF，G，H分别为FA，FD的中点．
①证明：四边形BCHG是平行四边形；
②C，D，F，E四点是否共面？为什么？
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________________________________________________________________________题型二 空间位置关系的判断
命题点1 空间位置关系的判断
例2 (1)(多选)下列推断中，正确的是( )
A．M∈α，M∈β，α∩β＝l⇒M∈l
B．A∈α，A∈β，B∈α，B∈β⇒α∩β＝AB
C．l⊄α，A∈l⇒A∉α
D．A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共线⇒α，β重合
(2)(2023·龙岩模拟)若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是( )
A．异面或平行 B．异面或相交
C．异面 D．相交、平行或异面
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命题点2 异面直线所成的角
例3 (1)如图所示，圆柱OO 的底面半径为1，高为2，AB是一条母线，BD是圆O 的直径，
1 2 1
C是上底面圆周上一点，∠CBD＝30°，则异面直线AC与BD所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
(2)(2023·长治模拟)如图，在直三棱柱ABC－ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝CC ＝2，E
1 1 1 1
为BB 上一点，平面AEC 将三棱柱分为上、下体积相等的两部分，则 AE与BC 所成角的
1 1 1 1
余弦值为( )
A. B. C. D.
听课记录：______________________________________________________________
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思维升华 (1)点、直线、平面位置关系的判定，注意构造几何体(长方体、正方体)模型来判
断，常借助正方体为模型．
(2)求异面直线所成角的方法
方法 解读将异面直线中的某一条平移，使其与另一条相交，一般采用图中已有的
平移法
平行线或者作平行线， 形成三角形求解
在该几何体的某侧补接上同样一个几何体，在这两个几何体中找异面直
补形法
线相应的位置，形成三角形求解
跟踪训练2 (1)(多选)如图所示，在正方体ABCD－ABC D 中，M，N分别为棱C D ，C C
1 1 1 1 1 1 1
的中点，以下四个选项正确的是( )
A．直线AM与CC 是相交直线
1
B．直线AM与BN是平行直线
C．直线BN与MB 是异面直线
1
D．直线AM与DD 是异面直线
1
(2)如图，在圆锥SO中，AB，CD为底面圆的两条直径，AB∩CD＝O，且AB⊥CD，SO＝
OB＝3，SE＝SB，则异面直线SC与OE所成角的正切值为( )
A. B. C. D.
(3)平面α过正方体ABCD－ABC D 的顶点A，α∥平面CB D ，α∩平面ABCD＝m，α∩平
1 1 1 1 1 1
面ABBA＝n，则m，n所成角的正弦值为( )
1 1
A. B. C. D.
题型三 空间几何体的切割(截面)问题
例4 (1)(多选)用一个平面α截正方体，把正方体分为体积相等的两部分，则下列结论正确
的是( )
A．这两部分的表面积一定不相等
B．截面不会是三角形
C．截面不会是五边形
D．截面可以是正六边形
(2)已知直四棱柱ABCD－ABC D 的棱长均为2，∠BAD＝60°，以D 为球心，为半径的球
1 1 1 1 1
面与侧面BCC B 的交线长为________．
1 1
听课记录：______________________________________________________________________________________________________________________________________
思维升华 (1)作截面应遵循的三个原则：①在同一平面上的两点可引直线；②凡是相交的
直线都要画出它们的交点；③凡是相交的平面都要画出它们的交线．
(2)作交线的方法有如下两种：①利用基本事实3作交线；
②利用线面平行及面面平行的性质定理去寻找线面平行及面面平行，然后根据性质作出交线．
跟踪训练3 (1)(多选)在正方体ABCD－ABC D 中，E，F分别在BB和C C上(异于端点)，
1 1 1 1 1 1
则过三点A，F，E的平面被正方体截得的图形(截面)可能是( )
A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．梯形
(2)如图，在正方体ABCD－ABC D 中，E是BC的中点，平面α经过直线BD且与直线C E
1 1 1 1 1
平行，若正方体的棱长为2，则平面α截正方体所得的多边形的面积为________．
