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24.3 正多边形和圆
正多边形的概念
各边相等，各角也相等的多边形是正多边形．
正多边形的有关概念
(1)一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心．
(2)正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径．
(3)正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．
(4)正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．
注意：
判断一个多边形是否是正多边形，必须满足两个条件：(1)各边相等；(2)各角相等；缺一不可.如菱
形的各边都相等，矩形的各角都相等，但它们都不是正多边形(正方形是正多边形).
题型1：正多边形的相关概念
1.下列关于正多边形的叙述，正确的是（ ）
A．正九边形既是轴对称图形又是中心对称图形
B．存在一个正多边形，它的外角和为720°
C．任何正多边形都有一个外接圆
D．不存在每个外角都是对应每个内角两倍的正多边形
【变式1-1】已知：如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，点P是劣弧上不同于点C的任意一点，则
∠BPC的度数是（ ）
A．45° B．60° C．75° D．90°
【变式1-2】如图，⊙O是正方形ABCD的外接圆，点P在⊙O上，则∠APB等于（ ）A．30° B．45° C．55° D．60°
正多边形的有关计算
(1)正ｎ边形每一个内角的度数是 ；
(2)正ｎ边形每个中心角的度数是 ；
(3)正ｎ边形每个外角的度数是 .
注意：要熟悉正多边形的基本概念和基本图形，将待解决的问题转化为直角三角形
题型2：正多边形与圆有关的计算-角度
2.如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，连接AC，则∠BAC的度数是（ ）
A．45° B．38° C．36° D．30°
【变式2-1】如图，⊙O是正六边形ABCDEF的外接圆，点P在⊙O上（P不与A，B重合），则
∠APB的度数为（ ）
A．60° B．60°或120° C．30° D．30°或150°
【变式2-2】如图，以正六边形ABCDEF的边AB为边，在形内作正方形ABMN，连接MC．求
∠BCM的大小．题型3：正多边形与圆有关的计算-长度
3.如图，正六边形ABCDEF内接于圆O，半径为4，则这个正六边形的边心距OM为（ ）
A．2 B．2√3 C．√3 D．1
【变式3-1】如图，正六边形与正方形有两个顶点重合，且中心都是点O．若∠AOB是某正n边形的一
个外角，则n的值为（ ）
A．16 B．12 C．10 D．8
【变式3-2】如图，⊙O与正六边形OABCDE的边OA、OE分别交于点F、G，点M为劣弧FG的中
点．若FM＝2 √2 ，则⊙O的半径为（ ）
A．2 B．√6 C．2 √2 D．2√6
【变式3-3】如图，正方形ABCD的外接圆为⊙O，点P在劣弧 C´D 上（不与C点重合）．（1）求∠BPC的度数；
（2）若⊙O的半径为8，求正方形ABCD的边长．
题型4：正多边形与圆有关的计算-面积
4.如图，已知圆O内接正六边形 ABCDEF 的边长为 6cm ，求这个正六边形的边心距n，面积
S．
【变式4-1】已知在正六边形ABCDEF中，P是EF的中点，若阴影部分四边形ABPE的面积为9，则
五边形BCDEP的面积是（ ）
A．12 B．12√3 C．18 D．18√3
【变式4-2】如图，内接正八边形ABCDEFGH，若ΔADE的面积为10，则正八边形ABCDEFGH的面
积为 .正多边形的画法
1.用量角器等分圆
由于在同圆中相等的圆心角所对的弧也相等，因此作相等的圆心角(即等分顶点在圆心的周角)可以等
分圆；根据同圆中相等弧所对的弦相等，依次连接各分点就可画出相应的正n边形.
2.用尺规等分圆
对于一些特殊的正ｎ边形，可以用圆规和直尺作图.
①正四、八边形.
在⊙O中，用尺规作两条互相垂直的直径就可把圆分成4等份，从而作出正四边形. 再逐次平分各边所
对的弧(即作∠AOB的平分线交 于 E) 就可作出正八边形、正十六边形等，边数逐次倍增的正多边形.
②正六、三、十二边形的作法.
通过简单计算可知，正六边形的边长与其半径相等，所以，在⊙O中，任画一条直径AB，分别以A、
B为圆心，以⊙O的半径为半径画弧与⊙O相交于C、D和E、F，则A、C、E、B、F、D是⊙O的6等分点.
显然，A、E、F(或C、B、D)是⊙O的3等分点.
同样，在图(3)中平分每条边所对的弧，就可把⊙O 12等分…….
注意：画正n边形的方法：（1）将一个圆n等份，（2）顺次连结各等分点.
题型5：作圆的正三角形、正方形、正六边形
5.尺规作图：如图，AD为⊙O的直径。
（1）求作：⊙O的内接正六边形ABCDEF.(要求：不写作法,保留作图痕迹)；
（2）已知连接DF，⊙O的半径为4，求DF的长。
【变式5-1】尺规作图：如图，AC为⊙O的直径．（1）求作：⊙O的内接正方形ABCD．（要求：不写作法，保留作图痕迹）；
（2）当直径AC=4时，求这个正方形的边长．
题型6：规律性问题
6.如图，边长为1的正六边形ABCDEF放置于平面直角坐标系中，边AB在x轴正半轴上，顶点F
在y轴正半轴上，将正六边形ABCDEF绕坐标原点O顺时针旋转，每次旋转60°，那么经过第2022
次旋转后，顶点D的坐标为 ．
【变式6-1】如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正六边形OABCDE绕点O顺时针旋转i个45°，得
到正六边形OAB DE，则正六边形OAB DE（i＝4）的顶点 的坐标是（ ）
i i i i i i i i i i i
∁ ∁ ∁
A．（1，−√3） B．（1，√3） C．（1，﹣2） D．（2，1）
【变式6-2】如图，边长为 4的正六边形 ABCDEF的中心与坐标原点 O重合，AF∥x轴，将正六边形
ABCDEF绕原点O顺时针旋转n次，每次旋转60°，当n＝2020时，顶点A的坐标为（ ）
A．（﹣2，2√3） B．（﹣2，﹣2√3） C．（2，﹣2√3） D．（2，2√3）题型7：正多边形的旋转问题
7.一个适当大的正六边形，它的一个顶点与一个边长为定值的小正六边形ABCDEF的中心O重
合，且与边AB、CD相交于G、H（如图）.图中阴影部分的面积记为S，三条线段GB、BC、CH的长
度之和记为l，大正六边形在绕点O旋转过程中，下列说法正确的是（ ）
A．S变化，l不变 B．S不变，l变化
C．S变化，l变化 D．S与l均不变
【变式7-1】五角星可以看成由一个四边形旋转若干次而生成的，则每次旋转的度数可以是（ ）
A．36° B．60° C．72° D．90°
【变式7-2】下列正多边形中，绕其中心旋转72°后，能和自身重合的是（ ）
A．正方形 B．正五边形 C．正六边形 D．正八边形
【变式7-3】如图，边长为1的正五边形ABCDE，顶点A、B在半径为1的圆上，其它各点在圆内，
将正五边形ABCDE绕点A逆时针旋转，当点E第一次落在圆上时，则点C转过的度数为
．
一、单选题
1．如图，ABCD为⊙O内接四边形，若∠D=85°，则∠B=（ ）A．85° B．95° C．105° D．115°
2．半径为 a 的圆的内接正六边形的边心距是（ ）
a √2a √3a
A． B． C． D．a
2 2 2
3．如图，正六边形ABCDEF内接于于⊙O,连接BD，则∠CBD的度数是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
4．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若它的一个外角∠DCE=70°，则∠BOD=( )
A．35° B．70° C．110° D．140°
5．若一个圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距分别为r，r，r，则r：r：r 等于
1 2 3 1 2 3
（ ）
A．1：2：3 B．√3：√2：1 C．1：√2：√3 D．3：2：1
二、填空题
6．如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，∠C=100°，则∠BOD= 度．7．如图， AB 是⊙O的弦， OC⊥AB ，交⊙O于点 C ．连接 OA ， OB ， BC ．若 AB 是
⊙O的内接正六边形的一边，则 ∠ABC 的度数为 ．
8．一个正多边形的每个内角都等于140°，则它是正 边形．
9．平面内有四个点A、O、B、C，其中∠AOB=1200，∠ACB=600，AO=BO=2，则满足题意的OC长
度为整数的值可以是 ．
三、作图题
10．如图，已知 ⊙O ，点 A 在圆上，请以 A 为一顶点作圆内接正方形 ABCD .（保留作图痕迹，
不写作法）
四、解答题
11．一个正多边形的每一个外角都等于36°，求这个多边形的边数.
12．四边形 ABCD 内接于⊙O，CB=CD，∠A=100°，点 E在 A´D 上，求∠E 的度数.13．如图，已知A、B、C、D是⊙O上的四点，延长DC、AB相交于点E．若BC=BE．求证：
△ADE是等腰三角形．
14．如图，有一个圆O和两个正六边形T，T．T 的6个顶点都在圆周上，T 的6条边都和圆O相切
1 2 1 2
（我们称T，T 分别为圆O的内接正六边形和外切正六边形）．
1 2
（1）设T，T 的边长分别为a，b，圆O的半径为r，求r：a及r：b的值；
1 2
（2）求正六边形T，T 的面积比S：S 的值．
1 2 1 2
15．如图，六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形.
（1）求证：在六边形ABCDEF中，过顶点A的三条对角线四等分∠BAF.S
（2）设⊙O的面积为S ，六边形ABCDEF的面积为S ，求 1 的值.
1 2 S
2
16．如图M、N分别是⊙O的内接正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE、…、正n边形
ABCDEFG…的边AB、BC上的点，且BM＝CN，连接OM、ON
（1）求图1中∠MON的度数
（2）图2中∠MON的度数是 ，图3中∠MON的度数是
（3）试探究∠MON的度数与正n边形边数n的关系是
