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§9.3 一元线性回归模型及其应用
考试要求 1.了解样本相关系数的统计含义.2.了解最小二乘法原理，掌握一元线性回归模
型参数的最小二乘估计方法.3.针对实际问题，会用一元线性回归模型进行预测．
知识梳理
1．变量的相关关系
(1)相关关系：两个变量 ，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程
度，这种关系称为相关关系．
(2)相关关系的分类： 和 ．
(3)线性相关：一般地，如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在
附近，我们就称这两个变量线性相关．
2．样本相关系数
(1)r＝.
(2)当r>0时，称成对样本数据 ；当r<0时，称成对样本数据 ．
(3)|r|≤1；当|r|越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越 ；当|r|越接近0时，成对
样本数据的线性相关程度越 ．
3．一元线性回归模型
(1)我们将y＝bx＋a称为Y关于x的经验回归方程，
其中
(2)残差：观测值减去 称为残差．
常用结论
1．经验回归直线过点(，)．
2．求b时，常用公式b＝.
3．回归分析和独立性检验都是基于成对样本观测数据进行估计或推断，得出的结论都可能
犯错误．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)相关关系是一种非确定性关系．( )
(2)散点图是判断两个变量相关关系的一种重要方法和手段．( )
(3)经验回归直线y＝bx＋a至少经过点(x，y)，(x，y)，…，(x，y)中的一个点．( )
1 1 2 2 n n(4)样本相关系数的绝对值越接近1，成对样本数据的线性相关程度越强．( )
教材改编题
1．在对两个变量x，y进行回归分析时有下列步骤：
①对所求出的经验回归方程作出解释；②收集数据(x，y)，i＝1,2，…，n；③求经验回归方
i i
程；④根据所收集的数据绘制散点图．
则下列操作顺序正确的是( )
A．①②④③ B．③②④①
C．②③①④ D．②④③①
2．对于x，y两变量，有四组成对样本数据，分别算出它们的样本相关系数r如下，则线性
相关性最强的是( )
A．－0.82 B．0.78 C．－0.69 D．0.87
3．某单位为了了解办公楼用电量y(度)与气温x(℃)之间的关系，随机统计了四个工作日的
用电量与当天平均气温，并制作了对照表：
气温(℃) 18 13 10 －1
用电量(度) 24 34 38 64
由表中数据得到经验回归方程y＝－2x＋a，当气温为－4 ℃时，预测用电量约为( )
A．68度 B．52度
C．12度 D．28度
题型一 成对数据的相关性
例1 (1)(2023·保定模拟)已知两个变量x和y之间有线性相关关系，经调查得到如下样本数
据：
x 3 4 5 6 7
y 3.5 2.4 1.1 －0.2 －1.3
根据表格中的数据求得经验回归方程为y＝bx＋a，则下列说法中正确的是( )
A.a>0，b>0 B.a>0，b<0
C.a<0，b>0 D.a<0，b<0
(2)(2022·大同模拟)如图是相关变量x，y的散点图，现对这两个变量进行线性相关分析，方
案一：根据图中所有数据，得到经验回归方程y＝bx＋a ，样本相关系数为r ；方案二：剔
1 1 1
除点(10,21)，根据剩下的数据得到经验回归方程y＝bx＋a，样本相关系数为r.则( )
2 2 2A．0<r<r<1 B．0<r<r<1
1 2 2 1
C．－1<r<r<0 D．－1<r<r<0
1 2 2 1
听课记录：______________________________________________________________
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思维升华 判定两个变量相关性的方法
(1)画散点图：若点的分布从左下角到右上角，则两个变量正相关；若点的分布从左上角到
右下角，则两个变量负相关．
(2)样本相关系数：当r>0时，正相关；当r<0时，负相关；|r|越接近1，相关性越强．
(3)经验回归方程：当b>0时，正相关；当b<0时，负相关．
跟踪训练1 (1)某公司2017～2022年的年利润x(单位：百万元)与年广告支出y(单位：百万
元)的统计资料如表所示：
年份 2017 2018 2019 2020 2021 2022
利润x 12.2 14.6 16 18 20.4 22.3
支出y 0.62 0.74 0.81 0.89 1 1.11
根据统计资料，则利润中位数( )
A．是16，x与y有正相关关系
B．是17，x与y有正相关关系
C．是17，x与y有负相关关系
D．是18，x与y有负相关关系
(2)已知相关变量x和y的散点图如图所示，若用y＝b·ln(kx)与y＝kx＋b 拟合时的样本相关
1 1 2 2
系数分别为r，r 则比较r，r 的大小结果为( )
1 2 1 2
A．r>r B．r＝r
1 2 1 2
C．r<r D．不确定
1 2
题型二 回归模型
命题点1 一元线性回归模型
例2 (2023·蚌埠模拟)某商业银行对存款利率与日存款总量的关系进行调研，发现存款利率每上升一定的百分点，日均存款总额就会发生一定的变化，经过统计得到下表：
利率上升百分点x 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
日均存款总额y(亿元) 0.2 0.35 0.5 0.65 0.8
(1)在给出的坐标系中画出上表数据的散点图；
(2)根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的经验回归方程y＝bx＋a；
(3)已知现行利率下的日均存款总额为0.625亿元，试根据(2)中的经验回归方程，预测日均存
款总额为现行利率下的2倍时，利率需上升多少个百分点？
参考公式及数据：①b＝，a＝－b，② y＝0.9，＝0.55.
i i
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命题点2 非线性回归模型
例3 (2023·保山模拟)某印刷企业为了研究某种图书每册的成本费y(单位：元)与印刷数量
x(单位：千册)的关系，收集了一些数据并进行了初步整理，得到了如图所示的散点图及一
些统计量的值．
(x－)2 (x－)·(y－) (u－)2 (u－)·(y－)
i i i i i i
5 3.5 0.2 2 30 0.7 7
表中u＝，＝.
i i
(1)根据散点图判断y＝a＋bx与y＝c＋哪一个模型更适合作为该图书每册的成本费y与印刷
数量x的经验回归方程？(只要求给出判断，不必说明理由)
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(2)根据(1)的判断结果及表中数据求出y关于x的经验回归方程；
(3)若该图书每册的售价为9元，则预测至少应该印刷多少册，才能使销售利润不低于 80
000元(假设能够全部售出)．
附：对于一组数据(ω ，v)，(ω ，v)，…，(ω ，v)，其经验回归方程v＝βω＋α的斜率和截
1 1 2 2 n n
距的最小二乘估计分别为β＝，α＝－β.
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思维升华 求经验回归方程的步骤
跟踪训练2 (2022·南充模拟)某特色餐馆开通了某APP的外卖服务，在一周内的某特色菜外
卖份数x(单位：份)与收入y(单位：元)之间有如下的对应数据：
外卖份数x(份) 2 4 5 6 8
收入y(元) 30 40 60 50 70
(1)在给出的坐标系中画出数据散点图；
(2)请根据以上数据用最小二乘法求出收入y关于份数x的经验回归方程；
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(3)据此估计外卖份数为12时，收入为多少元．
参考数据公式：＝145，y＝1 380，
i i
b＝＝，a＝－b.
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题型三 残差分析
例4 (1)(多选)下列说法正确的是( )
A．在经验回归方程y＝－0.85x＋2.3中，当解释变量x每增加1个单位时，响应变量y平均减
少2.3个单位
B．在经验回归方程y＝－0.85x＋2.3中，相对于样本点(1,1.2)的残差为－0.25
C．在残差图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，其模型的拟合效果越好
D．若两个变量的决定系数R2越大，表示残差平方和越小，即模型的拟合效果越好
(2)新能源汽车的核心部件是动力电池，电池占了新能源整车成本的很大一部分，而其中的
原材料碳酸锂又是电池的主要成分．从2020年底开始，碳酸锂的价格不断升高，如表是
2022年某企业的前5个月碳酸锂的价格与月份的统计数据：
月份代码x 1 2 3 4 5
碳酸锂价格y(万元/kg) 0.5 0.6 1 m 1.5
根据表中数据，得出y关于x的经验回归方程为y＝0.28x＋a，根据数据计算出在样本点
(5,1.5)处的残差为－0.06，则表中m＝________.
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思维升华 检验回归模型的拟合效果的两种方法
(1)残差分析：通过残差分析发现原始数据中的可疑数据，判断所建立模型的拟合效果．
(2)R2分析：通过公式计算R2，R2越大，残差平方和越小，模型的拟合效果越好；R2越小，
残差平方和越大，模型的拟合效果越差．
跟踪训练3 (1)下列命题是真命题的为( )
A．经验回归方程y＝bx＋a一定不过样本点
B．可以用样本相关系数r来刻画两个变量x和y线性相关程度的强弱，r的值越小，说明两
个变量线性相关程度越弱
C．在回归分析中，决定系数R2＝0.80的模型比决定系数R2＝0.98的模型拟合的效果要好
D．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好
(2)两个线性相关变量x与y的统计数据如表：
x 9 9.5 10 10.5 11
y 11 10 8 6 5其经验回归方程是y＝bx＋40，则相应于点(9,11)的残差为________．
