文档内容
§9.3 一元线性回归模型及其应用
考试要求 1.了解样本相关系数的统计含义.2.了解最小二乘法原理，掌握一元线性回归模
型参数的最小二乘估计方法.3.针对实际问题，会用一元线性回归模型进行预测．
知识梳理
1．变量的相关关系
(1)相关关系：两个变量 ，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程
度，这种关系称为相关关系．
(2)相关关系的分类： 和 ．
(3)线性相关：一般地，如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在
附近，我们就称这两个变量线性相关．
2．样本相关系数
(1)r＝.
(2)当r>0时，称成对样本数据 ；当r<0时，称成对样本数据 ．
(3)|r|≤1；当|r|越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越 ；当|r|越接近0时，成对
样本数据的线性相关程度越 ．
3．一元线性回归模型
(1)我们将y＝bx＋a称为Y关于x的经验回归方程，
其中
(2)残差：观测值减去 称为残差．
常用结论
1．经验回归直线过点(，)．
2．求b时，常用公式b＝.
3．回归分析和独立性检验都是基于成对样本观测数据进行估计或推断，得出的结论都可能
犯错误．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)相关关系是一种非确定性关系．( )
(2)散点图是判断两个变量相关关系的一种重要方法和手段．( )
(3)经验回归直线y＝bx＋a至少经过点(x，y)，(x，y)，…，(x，y)中的一个点．( )
1 1 2 2 n n(4)样本相关系数的绝对值越接近1，成对样本数据的线性相关程度越强．( )
教材改编题
1．在对两个变量x，y进行回归分析时有下列步骤：
①对所求出的经验回归方程作出解释；②收集数据(x，y)，i＝1,2，…，n；③求经验回归方
i i
程；④根据所收集的数据绘制散点图．
则下列操作顺序正确的是( )
A．①②④③ B．③②④①
C．②③①④ D．②④③①
2．对于x，y两变量，有四组成对样本数据，分别算出它们的样本相关系数r如下，则线性
相关性最强的是( )
A．－0.82 B．0.78 C．－0.69 D．0.87
3．某单位为了了解办公楼用电量y(度)与气温x(℃)之间的关系，随机统计了四个工作日的
用电量与当天平均气温，并制作了对照表：
气温(℃) 18 13 10 －1
用电量(度) 24 34 38 64
由表中数据得到经验回归方程y＝－2x＋a，当气温为－4 ℃时，预测用电量约为( )
A．68度 B．52度
C．12度 D．28度
题型一 成对数据的相关性
例1 (1)(2023·保定模拟)已知两个变量x和y之间有线性相关关系，经调查得到如下样本数
据：
x 3 4 5 6 7
y 3.5 2.4 1.1 －0.2 －1.3
根据表格中的数据求得经验回归方程为y＝bx＋a，则下列说法中正确的是( )
A.a>0，b>0 B.a>0，b<0
C.a<0，b>0 D.a<0，b<0
(2)(2022·大同模拟)如图是相关变量x，y的散点图，现对这两个变量进行线性相关分析，方
案一：根据图中所有数据，得到经验回归方程y＝bx＋a ，样本相关系数为r ；方案二：剔
1 1 1
除点(10,21)，根据剩下的数据得到经验回归方程y＝bx＋a，样本相关系数为r.则( )
2 2 2A．00时，正相关；当r<0时，负相关；|r|越接近1，相关性越强．
(3)经验回归方程：当b>0时，正相关；当b<0时，负相关．
跟踪训练1 (1)某公司2017～2022年的年利润x(单位：百万元)与年广告支出y(单位：百万
元)的统计资料如表所示：
年份 2017 2018 2019 2020 2021 2022
利润x 12.2 14.6 16 18 20.4 22.3
支出y 0.62 0.74 0.81 0.89 1 1.11
根据统计资料，则利润中位数( )
A．是16，x与y有正相关关系
B．是17，x与y有正相关关系
C．是17，x与y有负相关关系
D．是18，x与y有负相关关系
(2)已知相关变量x和y的散点图如图所示，若用y＝b·ln(kx)与y＝kx＋b 拟合时的样本相关
1 1 2 2
系数分别为r，r 则比较r，r 的大小结果为( )
1 2 1 2
A．r>r B．r＝r
1 2 1 2
C．r
