第7章　§7.9　空间动态问题突破[培优课]_2.2025数学总复习_2024年新高考资料_1.2024一轮复习_2024年高考数学一轮复习讲义（新高考版）_学生版在此文件夹_学生用书Word版文档_大一轮复习讲义

§7.9 空间动态问题突破 空间动态问题，是高考常考题型，常以客观题出现．常见题型有空间位置关系判定、 轨迹问题、最值问题、范围问题等． 题型一 空间位置关系的判定 例1 (1)(2023·昆明模拟)已知P，Q分别是正方体ABCD－ABC D 的棱BB ，CC 上的动点 1 1 1 1 1 1 (不与顶点重合)，则下列结论错误的是( ) A．AB⊥PQ B．平面BPQ∥平面ADD A 1 1 C．四面体ABPQ的体积为定值 D．AP∥平面CDD C 1 1 (2)(多选)已知等边△ABC的边长为6，M，N分别为边AB，AC的中点，将△AMN沿MN折 起至△A′MN，在四棱锥A′－MNCB中，下列说法正确的是( ) A．直线MN∥平面A′BC B．当四棱锥A′－MNCB体积最大时，平面A′MN⊥平面MNCB C．在折起过程中存在某个位置使BN⊥平面A′NC D．当四棱锥A′－MNCB体积最大时，它的各顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为 听课记录：______________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 思维升华 解决空间位置关系的动点问题 (1)应用“位置关系定理”转化． (2)建立“坐标系”计算． 跟踪训练1 (2022·杭州质检)如图，点P在正方体ABCD－ABC D 的面对角线BC 上运动， 1 1 1 1 1 则下列结论一定成立的是( ) A．三棱锥A－APD的体积大小与点P的位置有关 1 B．AP与平面ACD 相交 1 1 C．平面PDB ⊥平面ABC 1 1 1 D．AP⊥DC 1 题型二 轨迹问题 例2 (1)(2023·韶关模拟)设正方体ABCD－ABC D 的棱长为1，P为底面正方形ABCD内 1 1 1 1的一动点，若△APC 的面积S＝，则动点P的轨迹是( ) 1 A．圆的一部分 B．双曲线的一部分 C．抛物线的一部分 D．椭圆的一部分 (2)如图所示，正方体ABCD－ABC D 的棱长为2，E，F分别为AA ，AB的中点，M点是 1 1 1 1 1 正方形ABBA 内的动点，若C M∥平面CDEF，则M点的轨迹长度为________． 1 1 1 1 听课记录：______________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 思维升华 解决与几何体有关的动点轨迹问题的方法 (1)几何法：根据平面的性质进行判定． (2)定义法：转化为平面轨迹问题，用圆锥曲线的定义判定，或用代替法进行计算． (3)特殊值法：根据空间图形线段长度关系取特殊值或位置进行排除． 跟踪训练2 (1)(2022·滨州模拟)如图，斜线段AB与平面α所成的角为，B为斜足．平面α 上的动点P满足∠PAB＝，则点P的轨迹为( ) A．圆 B．椭圆 C．双曲线的一部分 D．抛物线的一部分 (2)已知动点P在棱长为1的正方体ABCD－ABC D 的表面上运动，且PA＝r(0＜r＜)，记点 1 1 1 1 P的轨迹长度为f(r)，则f(1)＋f() ＝________. 题型三 最值、范围问题 例 3 (1)如图所示，菱形 ABCD 的边长为 2，现将△ACD 沿对角线 AC 折起，使平面 ACD′⊥平面ACB，则此时空间四面体ABCD′体积的最大值为( ) A. B. C．1 D. (2)在三棱锥P－ABC中，PA，AB，AC两两垂直，D为棱PC上一动点，PA＝AC＝2，AB＝ 3.当BD与平面PAC所成角最大时，AD与平面PBC所成角的正弦值为________． 听课记录：______________________________________________________________ ________________________________________________________________________思维升华 在动态变化过程中产生的体积最大、距离最大(小)、角的范围等问题，常用的思 路是 (1)直观判断：在变化过程中判断点、线、面在何位置时，所求的量有相应最大、最小值， 即可求解． (2)函数思想：通过建系或引入变量，把这类动态问题转化为目标函数，从而利用代数方法 求目标函数的最值． 跟踪训练3 (1)在四面体ABCD中，若AD＝DB＝AC＝CB＝1，则四面体ABCD体积的最大 值是( ) A. B. C. D. (2)如图，正方体ABCD－ABC D 的棱长为1，E，F分别为BC ，C D 的中点，P是底面 1 1 1 1 1 1 1 1 ABC D 上一点．若AP∥平面BEF，则AP长度的最小值是________，最大值是________． 1 1 1 1