文档内容
§9.4 列联表与独立性检验
考试要求 1.通过实例，理解2×2列联表的统计意义.2.通过实例，了解独立性检验及其应
用．
知识梳理
1．分类变量
为了表述方便，我们经常会使用一种特殊的随机变量，以区别不同的现象或性质，这类随机
变量称为分类变量．分类变量的取值可以用实数表示．
2．列联表与独立性检验
(1)关于分类变量X和Y的抽样数据的2×2列联表：
Y
X 合计
Y＝0 Y＝1
X＝0 a b a＋b
X＝1 c d c＋d
合计 a＋c b＋d n＝a＋b＋c＋d
(2)计算随机变量χ2＝，利用χ2的取值推断分类变量X和Y 的方法称为χ2独立性检验．
如表为5个常用的小概率值和相应的临界值．
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
x 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
α
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)2×2列联表中的数据是两个分类变量的频数．( )
(2)事件A和B的独立性检验无关，即两个事件互不影响．( )
(3)χ2的大小是判断事件A和B是否相关的统计量．( )
(4)在2×2列联表中，若|ad－bc|越小，则说明两个分类变量之间关系越强．( )
教材改编题
1．某机构为调查网游爱好者是否有性别差异，通过调研数据统计：在500名男生中有200
名爱玩网游，在400名女生中有50名爱玩网游．若要确定网游爱好是否与性别有关时，用
下列最适合的统计方法是( )
A．均值 B．方差
C．独立性检验 D．回归分析2．如表是2×2列联表，则表中a，b的值分别为( )
y y 合计
1 2
x a 8 35
1
x 11 34 45
2
合计 b 42 80
A.27,38 B．28,38
C．27,37 D．28,37
3．已知P(χ2≥6.635)＝0.01，P(χ2≥10.828)＝0.001.在检验喜欢某项体育运动与性别是否有关
的过程中，某研究员搜集数据并计算得到χ2＝7.235，则根据小概率值α＝________的χ2独立
性检验，分析喜欢该项体育运动与性别有关．
题型一 列联表与χ2的计算
例1 (1)为了解某大学的学生是否喜欢体育锻炼，用简单随机抽样方法在校园内调查了 120
位学生，得到如下2×2列联表：
男 女 合计
喜欢 a b 73
不喜欢 c 25
合计 74
则a－b－c等于( )
A．7 B．8 C．9 D．10
(2)为加强素质教育，使学生各方面全面发展，某学校对学生文化课与体育课的成绩进行了
调查统计，结果如表：
体育课不及格 体育课及格 合计
文化课及格 57 221 278
文化课不及格 16 43 59
合计 73 264 337
在对体育课成绩与文化课成绩进行独立性检验时，根据以上数据可得到χ2的值为( )
A．1.255 B．38.214
C．0.003 7 D．2.058
听课记录：______________________________________________________________
________________________________________________________________________
思维升华 2×2列联表是4行4列，计算时要准确无误，关键是对涉及的变量分清类别．
跟踪训练1 某次国际会议为了搞好对外宣传工作，会务组选聘了50名记者担任对外翻译工作，在如表“性别与会外语”的2×2列联表中，a＋b＋d＝________.
会外语 不会外语 合计
男 a b 20
女 6 d
合计 18 50
题型二 列联表与独立性检验
例2 (2022·全国甲卷改编)甲、乙两城之间的长途客车均由A和B两家公司运营．为了解这
两家公司长途客车的运行情况，随机调查了甲、乙两城之间的500个班次，得到下面列联表：
准点班次数 未准点班次数
A 240 20
B 210 30
(1)根据上表，分别估计这两家公司在甲、乙两城之间长途客车准点的概率；
(2)能否根据小概率值α＝0.1的独立性检验，分析甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客
车所属公司有关？
附：χ2＝，n＝a＋b＋c＋d.
α 0.1 0.05 0.01
x 2.706 3.841 6.635
α
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
思维升华 独立性检验的一般步骤
(1)根据样本数据制成2×2列联表．
(2)根据公式χ2＝计算．
(3)比较χ2与临界值的大小关系，作统计推断．
跟踪训练2 为了减少自身消费的碳排放，“绿色消费”等绿色生活方式渐成风尚．为获得
不同年龄段的人对“绿色消费”意义的认知情况，某地研究机构将“90后与00后”作为A
组，将“70后与80后”作为B组，并从A，B两组中各随机选取了100人进行问卷调查，
整理数据后获得如下列联表：
单位：人
认知情况
年龄段 合计
知晓 不知晓
A组(90后与00后) 75 25 100
B组(70后与80后) 45 55 100合计 120 80 200
(1)若从样本内知晓“绿色消费”意义的120人中用比例分配的分层随机抽样方法随机抽取
16人，问应在A组、B组中各抽取多少人？
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
(2)能否依据小概率值α＝0.001的独立性检验，分析对“绿色消费”意义的认知情况与年龄
有关？
附：χ2＝，n＝a＋b＋c＋d.
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
x 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
α
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
题型三 独立性检验的综合应用
例3 体育运动是强身健体的重要途径，《中国儿童青少年体育健康促进行动方案(2020－
2030)》(下面简称“体育健康促进行动方案”)中明确提出青少年学生每天在校内参与不少于
60分钟的中高强度身体活动的要求．随着“体育健康促进行动方案”的发布，体育运动受
到各地中小学的高度重视，众多青少年的体质健康得到很大的改善．某中学教师为了了解体
育运动对学生的数学成绩的影响情况，现从该中学高三年级的一次月考中随机抽取 1 000名
学生，调查他们平均每天的体育运动情况以及本次月考的数学成绩情况，得到如表数据：
[130，
数学成绩(分) [30，50) [50，70) [70，90) [90，110) [110，130)
150]
人数(人) 25 125 350 300 150 50
运动达标
10 45 145 200 107 43
的人数(人)
约定：平均每天进行体育运动的时间不少于60分钟的为“运动达标”，数学成绩排在年级
前50%以内(含50%)的为“数学成绩达标”．
(1)求该中学高三年级本次月考数学成绩的65%分位数；
(2)请估计该中学高三年级本次月考数学成绩的平均分(同一组中的数据用该组区间的中点值
作代表)；(3)请根据已知数据完成下列列联表，并根据小概率值 α＝0.001的独立性检验，分析“数学
成绩达标”是否与“运动达标”相关．
数学成绩达标人数 数学成绩不达标人数 合计
运动达标人数
运动不达标人数
合计
附：χ2＝(n＝a＋b＋c＋d)．
α 0.010 0.005 0.001
x 6.635 7.879 10.828
α
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
思维升华 独立性检验的考查，往往与概率和抽样统计图等一起考查，这类问题的求解往往
按各小题及提问的顺序，一步步进行下去，是比较容易解答的，考查单纯的独立性检验往往
用小题的形式，而且χ2的公式一般会在原题中给出．
跟踪训练3 某网红奶茶品牌公司计划在W市某区开设加盟分店，为了确定在该区开设分店
的个数，该公司对该市已开设分店的5个区域的数据作了初步处理后得到下列表格，记x表
示在5个区域开设分店的个数，y表示这x个分店的年收入之和．
x(个) 2 3 4 5 6
y(十万元) 2.5 3 4 4.5 6
(1)该公司经过初步判断，可用经验回归模型拟合y与x的关系，求y关于x的经验回归方程；
(2)如果该公司最终决定在该区选择两个合适的地段各开设一个分店，根据市场调查得到如
下统计数据，第一分店每天的顾客平均为 30人，其中5人会购买该品牌奶茶，第二分店每
天的顾客平均为80人，其中20人会购买该品牌奶茶．依据小概率值α＝0.1的独立性检验，
分析两个店的顾客下单率有无差异．
参考公式：b＝，a＝－b；χ2＝，x ＝2.706.
0.1
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
