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第二十六章 反比例函数
26.1 反比例函数
26.1.1 反比例函数
学习目标：
1. 理解并掌握反比例函数的概念. (重点)
2. 从实际问题中抽象出反比例函数的概念，能根据已知条件确定反比例函数的解析式. (重
点、难点)
自主学习
一、知识链接
下列问题中，变量间具有函数关系吗？如果有，请写出它们的解析式.
(1) 京沪线铁路全程为1463 km，某次列车的平均速度v (单位：km/h) 随此次列车的全程
运行时间t (单位：h)的变化而变化；
(2) 某住宅小区要种植一块面积为 1000 m2 的矩形草坪，草坪的长 y (单位：m) 随宽 x
(单位：m)的变化而变化；
(3) 已知北京市的总面积为1.68×104 km2 ，人均占有面积 S (km2/人) 随全市总人口 n (单
位：人) 的变化而变化.合作探究
一、要点探究
探究点1：反比例函数的概念
问题：观察以上三个解析式，你觉得它们有什么共同特点？
【要点归纳】一般地，形如 (k为常数，k≠0) 的函数，叫做反比例函数，其中x是
自变量，y是函数.
思考1：反比例函数 (k≠0) 的自变量x的取值范围是什么？
思考2：反比例函数除了可以用 (k≠0) 的形式表示，还有没有其他表达方式？
【要点归纳】反比例函数有三种表达方式：① (k≠0)；② (k≠0)；
③xy = k( k≠0).
【针对训练】下列函数是不是反比例函数？若是，请指出k的值.
① y = 3x - 1；② ；③ ；④ ；⑤ .
【典例精析】例1 已知函数 是反比例函数，求m的值.
【方法总结】已知某个函数为反比例函数，则自变量的次数为－1，且系数不等于0.
【针对训练】1. 当m = 时， 是反比例函数.
2. 已知函数 是反比例函数，则k必须满足 .
探究点2：确定反比例函数的解析式
例2 已知y是x的反比例函数，并且当 x = 2时，y = 6.
(1) 写出y关于x的函数解析式；
(2) 当 x = 4 时，求y的值.
【方法总结】用待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤：
①设出含有待定系数的反比例函数解析式，
②将已知条件(自变量与函数的对应值)代入解析式，得到关于待定系数的方程；
③解方程，求出待定系数； ④写出反比例函数解析式.
【针对训练】已知 y 与 x + 1 成反比例，并且当 x = 3 时，y = 4.
(1) 写出 y 关于 x 的函数解析式；
(2) 当 x = 7 时，求 y 的值．
探究点3：建立简单的反比例函数模型
例3 人的视觉机能受运动速度的影响很大，行驶中司机在驾驶室内观察前方物体是动态的，车速增加，视野变窄. 当车速为 50 km/h 时，视野为 80 度，如果视野 f (度) 是车
速 v (km/h) 的反比例函数，求 f 关于 v 的函数解析式，并计算当车速为100 km/h 时,
视野的度数.
例4 如图，已知菱形 ABCD 的面积为180平方厘米，设它的两条对角线 AC，BD的长
分别为x cm，y cm. 写出变量 y与 x 之间的函数关系式，并指出它是什么函数.
二、课堂小结
当堂检测
1. 下列函数中，y 是 x 的反比例函数的是 ( )A. B. C. D.
2. 下列实例中，x 和 y 成反比例函数关系的有 ( )
① x人共饮水10 kg，平均每人饮水 y kg；②底面半径为 x m，高为 y m的圆柱形水桶
的体积为10 m³；③用铁丝做一个圆，铁丝的长为 x cm，做成圆的半径为 y cm；④在水
龙头前放满一桶水，出水的速度为 x L/s，放满一桶水的时间 y s.
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
3. 填空：
(1) 若 是反比例函数，则 m 的取值范围是 .
(2) 若 是反比例函数，则m的取值范围是 .
(3) 若 是反比例函数，则m的值是 .
4. 已知变量 y 与 x 成反比例，且当 x = 3时，y =－4.
(1) 写出 y 关于 x 的函数解析式；
(2) 当 y = 6 时，求 x 的值.
5. 小明家离学校 1000 m，每天他往返于两地之间，有时步行，有时骑车．假设小明每天
上学时的平均速度为 v ( m/min )，所用的时间为 t ( min )．
(1) 求变量 v 和 t 之间的函数关系式；
(2) 小明星期二步行上学用了 25 min，星期三骑自行车上学用了 8 min，那么他星期三
上学时的平均速度比星期二快多少？
能力提升：6. 已知 y = y + y，y 与 (x－1) 成正比例，y 与 (x + 1) 成 反比例，当 x = 0 时，y =
1 2 1 2
－3；当 x =1 时，y = －1，求：
(1) y 关于 x 的关系式；
(2) 当 x = 时，求y 的值.
参考答案
自主学习
一、知识链接
解：(1) (2) (3)
合作探究
一、要点探究
探究点1：反比例函数的概念
【针对训练】
解：②是，k = 3；④是 .
【典例精析】
例1 解：因为 是反比例函数，所以 解得m =－3.
【针对训练】1. ±1 2. k≠2且k≠-1 .
探究点2：确定反比例函数的解析式例2 解：（1）设 . 因为当 x = 2时，y = 6，所以有 ，解得 k =12. 因此
.
（2）把 x = 4 代入 ，得 .
【针对训练】解：(1) 设 ，因为当 x = 3 时，y = 4 ，
所以有 ，解得 k = 16，因此 .
(2) 当 x = 7 时， .
探究点3：建立简单的反比例函数模型
例3 解：设 . 由题意知，当 v = 50时，f = 80，所以 解得 k = 4000.
因此 ，当 v = 100 时，f = 40. 所以当车速为100 km/h 时视野为40度.
例4 解:因为菱形的面积等于两条对角线长乘积的一半，所以 .
所以变量 y与 x 之间的关系式为 ，它是反比例函数.
当堂检测
1. A 2.①④
3.(1) m≠1 (2) m≠0且m≠-2 (3) -14. 解：(1) 设 . 因为当 x = 3时，y =－4，所以有 ，解得 k =－12.
因此，y 关于 x 的函数解析式为
(2) 把 y = 6 代入 ，得 ，解得 x =－2.
5. 解：（1） (t>0)．
（2）当 t＝25 时， ；当 t＝8 时， ，
125－40＝85 ( m/min )．
答：他星期三上学时的平均速度比星期二快 85 m/min.
能力提升：
6. 解：（1）设 y = k(x－1) (k≠0)， (k≠0)，
1 1 1 2
则 y = k(x－1) + ， .
1
∵ x = 0 时，y =－3；x = 1 时，y = －1，∴ ，
∴ k = 1，k =－2. ∴ y = x－1
1 2
（2）把 x = 代入 (1) 中函数关系式，得 y = .
