文档内容
§1.1 集 合
考试要求 1.了解集合的含义，了解全集、空集的含义.2.理解元素与集合的属于关系，理
解集合间的包含和相等关系.3.会求两个集合的并集、交集与补集.4.能用自然语言、图形语言、
集合语言描述不同的具体问题，能使用Venn图表示集合间的基本关系和基本运算．
知识梳理
1．集合与元素
(1)集合中元素的三个特性：____________、____________、____________.
(2)元素与集合的关系是________或________，用符号______或________表示．
(3)集合的表示法：__________、____________、____________.
(4)常见数集的记法
非负整数集
集合 正整数集 整数集 有理数集 实数集
(或自然数集)
符号 N*(或N )
＋
2.集合的基本关系
(1)子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中____________都是集合B中的元素，
就称集合A为集合B的子集，记作________(或B⊇A)．
(2)真子集：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且________，就称集合A是集合B的真子集，
记作________(或BA)．
(3)相等：若A⊆B，且________，则A＝B.
(4)空集：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅.空集是________________的子集，是
________________________的真子集．
3．集合的基本运算表示
集合语言 图形语言 记法
运算
并集
交集
补集
常用结论
1．若集合A有n(n≥1)个元素，则集合A有2n个子集，2n－1个真子集．
2．A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝A⇔B⊆A.
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)集合{x∈N|x3＝x}，用列举法表示为{－1,0,1}．( )
(2){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}．( )
(3)若1∈{x2，x}，则x＝－1或x＝1.( )
(4)对任意集合A，B，都有(A∩B)⊆(A∪B)．( )
教材改编题
1．(2022·新高考全国Ⅱ)已知集合A＝{－1,1,2,4}，B＝{x||x－1|≤1}，则A∩B等于( )
A．{－1,2} B．{1,2} C．{1,4} D．{－1,4}
2．下列集合与集合A＝{2 022,1}相等的是( )
A．(1,2 022)
B．{(x，y)|x＝2 022，y＝1}
C．{x|x2－2 023x＋2 022＝0}
D．{(2 022,1)}
3．设全集 U＝R，集合 A＝{x|－1≤x<3}，B＝{x|2x－4≥x－2}，则 A∪B＝________，
∁U
(A∩B)＝________.
题型一 集合的含义与表示
例1 (1)(2022·衡水模拟)设集合A＝{(x，y)|y＝x}，B＝{(x，y)|y＝x2}，则集合A∩B的元素个
数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
(2)已知集合A＝{1，a－2，a2－a－1}，若－1∈A，则实数a的值为( )
A．1 B．1或0C．0 D．－1或0
听课记录：______________________________________________________________
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思维升华 解决集合含义问题的关键有三点：一是确定构成集合的元素；二是确定元素的限
制条件；三是根据元素的特征(满足的条件)构造关系式解决相应问题．
跟踪训练1 (1)(多选)若集合M＝{x|x－2<0，x∈N}，则下列四个命题中，错误的命题是(
)
A．0∉M B．{0}∈M
C．{1}⊆M D．1⊆M
(2)(2023·聊城模拟)已知集合A＝{0,1,2}，B＝{ab|a∈A，b∈A}，则集合B中元素的个数为(
)
A．2 B．3 C．4 D．5
题型二 集合间的基本关系
例2 (1)(2022·宜春质检)已知集合A＝{x|y＝ln(x－2)}，B＝{x|x≥－3}，则下列结论正确的是
( )
A．A＝B B．A∩B＝∅
C．AB D．B⊆A
(2)设集合A＝{x|－1≤x＋1≤2}，B＝{x|m－1≤x≤2m＋1}，当x∈Z时，集合A的真子集有
________个；当B⊆A时，实数m的取值范围是________．
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思维升华 (1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系问题时，必须考虑空集的情况，否则
易造成漏解．
(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而
转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题．
跟踪训练2 (1)(多选)已知非空集合M满足：①M⊆{－2，－1,1,2,3,4}，②若x∈M，则
x2∈M.则集合M可能是( )
A．{－1,1} B．{－1,1,2,4}
C．{1} D．{1，－2,2}
(2)函数f(x)＝的定义域为A，集合B＝{x|－a≤x≤4－a}，若B⊆A，则实数a的取值范围是
________________．
题型三 集合的基本运算
命题点1 集合的运算
例3 (1)(2021·全国乙卷)已知集合S＝{s|s＝2n＋1，n∈Z}，T＝{t|t＝4n＋1，n∈Z}，则S∩T等于( )
A．∅ B．S C．T D．Z
(2)设全集U＝R，A＝{x|－2≤x<4}，B＝{x|y＝}，则图中阴影部分表示的集合为( )
A．{x|x≤－2} B．{x|x>－2}
C．{x|x≥4} D．{x|x≤4}
听课记录：______________________________________________________________
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命题点2 利用集合的运算求参数的值(范围)
例4 (2023·衡水模拟)已知集合A＝{x|y＝ln(1－x2)}，B＝{x|x≤a}，若(∁R A)∪B＝R，则实数
a的取值范围为( )
A．(1，＋∞) B．[1，＋∞)
C．(－∞，1) D．(－∞，1]
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思维升华 对于集合的交、并、补运算，如果集合中的元素是离散的，可用Venn图表示；如
果集合中的元素是连续的，可用数轴表示，此时要注意端点的情况．
跟踪训练3 (1)(2022·全国甲卷)设全集U＝{－2，－1，0,1,2,3}，集合A＝{－1,2}，B＝{x|x2
－4x＋3＝0}，则 ∁U (A∪B)等于( )
A．{1,3} B．{0,3}
C．{－2,1} D．{－2,0}
(2)(2023·驻马店模拟)已知集合A＝{x|(x－1)·(x－4)<0}，B＝{x|x>a}，若A∪B＝{x|x>1}，则
a的取值范围是( )
A．[1,4) B．(1,4)
C．[4，＋∞) D．(4，＋∞)
题型四 集合的新定义问题
例5 (1)(多选)当一个非空数集F满足条件“若a，b∈F，则a＋b，a－b，ab∈F，且当b≠0
时，∈F”时，称F为一个数域，以下说法正确的是( )
A．0是任何数域的元素
B．若数域F有非零元素，则2 023∈F
C．集合P＝{x|x＝3k，k∈Z}为数域
D．有理数集为数域
(2)已知集合M＝{1,2,3,4}，A⊆M，集合A中所有元素的乘积称为集合A的“累积值”，且
规定：当集合A只有一个元素时，其累积值即为该元素的数值，空集的累积值为0.设集合A的累积值为n.
①若n＝3，则这样的集合A共有________个；
②若n为偶数，则这样的集合A共有________个．
听课记录：______________________________________________________________
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思维升华 解决集合新定义问题的关键
解决新定义问题时，一定要读懂新定义的本质含义，紧扣题目所给定义，结合题目所给定义
和要求进行恰当转化，切忌同已有概念或定义相混淆．
跟踪训练4 设集合U＝{2,3,4}，对其子集引进“势”的概念：①空集的“势”最小；②非
空子集的元素越多，其“势”越大；③若两个子集的元素个数相同，则子集中最大的元素越
大，子集的“势”就越大．最大的元素相同，则第二大的元素越大，子集的“势”就越大，
依此类推．若将全部的子集按“势”从小到大的顺序排列，则排在第6位的子集是________．
