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§10.3 二项式定理
考试要求 能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理，会用二项式定理解决与二项
展开式有关的简单问题．
知识梳理
1．二项式定理
二项式定理 (a＋b)n＝ (n∈N*)
二项展开式的通项 T ＝ ，它表示展开式的第 项
k＋1
二项式系数 (k＝0,1，…，n)
2.二项式系数的性质
(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数 ．
(2)增减性与最大值：当n是偶数时，中间的一项 取得最大值；当n是奇数时，中间
的两项 与 相等，且同时取得最大值．
(3)各二项式系数的和：(a＋b)n的展开式的各二项式系数的和为C＋C＋C＋…＋C＝ .
常用结论
1．C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1.
2．C＝C＋C.
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)Can－kbk是(a＋b)n的展开式中的第k项．( )
(2)(a＋b)n的展开式中每一项的二项式系数与a，b无关．( )
(3)通项公式T ＝Can－kbk中的a和b不能互换．( )
k＋1
(4)二项式的展开式中的系数最大项与二项式系数最大项是相同的．( )
教材改编题
1.10的展开式中x2的系数等于( )
A．45 B．20 C．－30 D．－90
2．已知C＋2C＋22C＋23C＋…＋2nC＝243，则C＋C＋C＋…＋C等于( )
A．31 B．32 C．15 D．16
3．若n的展开式中二项式系数之和为64，则展开式的常数项为________．
题型一 通项公式的应用命题点1 形如(a＋b)n(n∈N*)的展开式的特定项
例1 (1)二项式10的展开式中的常数项是( )
A．－45 B．－10 C．45 D．65
(2)已知5的展开式中x5的系数为A，x2的系数为B，若A＋B＝11，则a＝__________.
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命题点2 形如(a＋b)m(c＋d)n (m，n∈N*)的展开式问题
例2 (1)(1＋x)8(1＋y)4的展开式中x2y2的系数是( )
A．56 B．84 C．112 D．168
(2)在(2x＋a)6的展开式中，x2的系数为－120，则该二项展开式中的常数项为( )
A．3 204 B．－160 C．160 D．－320
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思维升华 (1)求二项展开式中的特定项，一般是化简通项后，令字母的指数符合要求(求常
数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数k＋1，代回通项即可．
(2)对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般可以根据因式连乘的规律，结合组合
思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏．
跟踪训练1 (1)(2022·新高考全国Ⅰ)(x＋y)8的展开式中x2y6的系数为________(用数字作答)．
(2)在二项式(＋x)9的展开式中，常数项是________；系数为有理数的项的个数是________．
题型二 二项式系数与项的系数问题
命题点1 二项式系数和与系数和
例3 (1)在n的展开式中，各项系数和与二项式系数和之和为128，则( )
A．二项式系数和为32
B．各项系数和为128
C．常数项为－135
D．常数项为135
(2)若(1＋x)10＝a＋ax＋ax2＋…＋a x10，则a＋a＋a＝________；a＋2a＋3a＋…＋10a
0 1 2 10 2 6 8 1 2 3 10
＝________.
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命题点2 系数与二项式系数的最值问题
例4 (多选)(2023·唐山模拟)下列关于6的展开式的说法中正确的是( )
A．常数项为－160
B．第4项的系数最大
C．第4项的二项式系数最大
D．所有项的系数和为1听课记录：______________________________________________________________
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思维升华 赋值法的应用
一般地，对于多项式(a＋bx)n＝a ＋ax＋ax2＋…＋axn，令g(x)＝(a＋bx)n，则(a＋bx)n的展
0 1 2 n
开式中各项的系数和为g(1)，(a＋bx)n的展开式中奇数项的系数和为[g(1)＋g(－1)]，(a＋bx)n
的展开式中偶数项的系数和为[g(1)－g(－1)]．
跟踪训练2 (1)(多选)对于6的展开式，下列说法正确的是( )
A．所有项的二项式系数和为64
B．所有项的系数和为64
C．常数项为1 215
D．系数最大的项为第3项
(2)设10＝a ＋ax＋ax2＋…＋a x10，则(a ＋a ＋a ＋…＋a )2 －(a ＋a ＋a ＋…＋a)2的值为
0 1 2 10 0 2 4 10 1 3 5 9
________．
题型三 二项式定理的综合应用
例5 (1)设a∈Z，且0≤a≤13，若512 023＋a能被13整除，则a等于( )
A．0 B．1 C．11 D．12
(2)利用二项式定理计算1.056，则其结果精确到0.01的近似值是( )
A．1.23 B．1.24
C．1.33 D．1.34
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思维升华 二项式定理应用的题型及解法
(1)在证明整除问题或求余数问题时要进行合理的变形，使被除式(数)展开后的每一项都含有
除式的因式．
(2)二项式定理的一个重要用途是做近似计算：当n不是很大，|x|比较小时，(1＋x)n≈1＋nx.
跟踪训练3 (1)设n为奇数，那么11n＋C·11n－1＋C·11n－2＋…＋C·11－1除以13的余数是(
)
A．－3 B．2 C．10 D．11
(2)0.996的计算结果精确到0.001的近似值是( )
A．0.940 B．0.941
C．0.942 D．0.943
