第7章　§7.2　球的切、接问题[培优课]_2.2025数学总复习_2024年新高考资料_1.2024一轮复习_2024年高考数学一轮复习讲义（新高考版）_学生版在此文件夹_学生用书Word版文档_大一轮复习讲义

§7.2 球的切、接问题 球的切、接问题，是历年高考的热点内容，经常以客观题出现．一般围绕球与其他几何 体的内切、外接命题，考查球的体积与表面积，其关键点是确定球心． 题型一 定义法 例1 (1)(2023·宣城模拟)在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝2，AB＝2，AC＝4， ∠BAC＝45°，则三棱锥P－ABC外接球的表面积是( ) A．14π B．16π C．18π D．20π (2)(2022·新高考全国Ⅱ)已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为3和4，其顶点都在 同一球面上，则该球的表面积为( ) A．100π B．128π C．144π D．192π 听课记录：______________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 思维升华 到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心， 找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据到其他顶点距离也是半径，列关系式求解即可． 跟踪训练1 已知直三棱柱ABC－ABC 的6个顶点都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝ 1 1 1 4，AB⊥AC，AA＝12，则球O的半径为( ) 1 A. B．2 C. D．3 题型二 补形法 例2 (1)(2023·大庆模拟)在正方形ABCD中，E，F分别为线段AB，BC的中点，连接DE， DF，EF，将△ADE，△CDF，△BEF分别沿DE，DF，EF折起，使A，B，C三点重合， 得到三棱锥O－DEF，则该三棱锥的外接球半径R与内切球半径r的比值为( ) A.2 B．4 C．2 D. (2)如图，在多面体中，四边形ABCD为矩形，CE⊥平面ABCD，AB＝2，BC＝CE＝1，通 过添加一个三棱锥可以将该多面体补成一个直三棱柱，那么添加的三棱锥的体积为________， 补形后的直三棱柱的外接球的表面积为________．听课记录：______________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 思维升华 (1)补形法的解题策略 ①侧面为直角三角形，或对棱均相等的模型和正四面体，可以还原到正方体或长方体中去求 解；②直三棱锥补成三棱柱求解． (2)正方体与球的切、接问题的常用结论 正方体的棱长为a，球的半径为R， ①若球为正方体的外接球，则2R＝a； ②若球为正方体的内切球，则2R＝a； ③若球与正方体的各棱相切，则2R＝a. (3)若长方体的共顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝. 跟踪训练2 (1)在三棱锥A－BCD中，侧棱AB，AC，AD两两垂直，△ABC，△ACD， △ADB的面积分别为，，，则三棱锥A－BCD的外接球的体积为( ) A.π B．2π C．3π D．4π (2)(2023·焦作模拟)已知三棱锥P－ABC的每条侧棱与它所对的底面边长相等，且PA＝3， PB＝PC＝5，则该三棱锥的外接球的表面积为________． 题型三 截面法 例3 (1)四棱锥P－ABCD的顶点都在球O的表面上，△PAD是等边三角形，底面ABCD是 矩形，平面PAD⊥平面ABCD，若AB＝2，BC＝3，则球O的表面积为( ) A．12π B．16π C．20π D．32π (2)如图所示，直三棱柱ABC－ABC 是一块石材，测量得∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8， 1 1 1 AA ＝13.若将该石材切削、打磨，加工成几个大小相同的健身手球，则一个加工所得的健身 1 手球的最大体积及此时加工成的健身手球的个数分别为( ) A.，4 B.，3 C．6π，4 D.，3听课记录：______________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 思维升华 (1)与球截面有关的解题策略 ①定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为半径；如果是外接球，球心到接点的 距离相等且为半径； ②作截面：选准最佳角度作出截面，达到空间问题平面化的目的． (2)正四面体的外接球的半径R＝a，内切球的半径r＝a，其半径之比R∶r＝3∶1(a为该正四 面体的棱长)． 跟踪训练3 (1)(2022·淮北模拟)半球内放三个半径为的小球，三小球两两相切，并且与球面 及半球底面的大圆面也相切，则该半球的半径是( ) A．1＋ B.＋ C.＋ D.＋ (2)(2021·天津)两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为，两 个圆锥的高之比为1∶3，则这两个圆锥的体积之和为( ) A．3π B．4π C．9π D．12π