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§7.1 基本立体图形、简单几何体的表面积与体积
考试要求 1.认识柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征，能运用这些特征描述现实生
活中简单物体的结构.2.知道球、棱(圆)柱、棱(圆)锥、棱(圆)台的表面积和体积的计算公式，
并能解决简单的实际问题.3.能用斜二测画法画出简单空间图形的直观图．
知识梳理
1．空间几何体的结构特征
(1)多面体的结构特征
名称 棱柱 棱锥 棱台
图形
底面 互相 且____ 多边形 互相 且_____
侧棱 相交于 但不一定相等 延长线交于_____
侧面形状
(2)旋转体的结构特征
名称 圆柱 圆锥 圆台 球
图形
互相平行且相
母线 等， 于底 相交于____ 延长线交于____
面
轴截面侧面展开图
2.直观图
(1)画法：常用 ．
(2)规则：
①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中x′轴、y′轴的夹角为45°或135°，z′轴
与x′轴和y′轴所在平面 ．
②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍 ，平行于x轴和z轴的线段在
直观图中保持原长度 ，平行于y轴的线段，长度在直观图中变为原来的 ．
3．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
圆柱 圆锥 圆台
侧面展开图
侧面积公式 S ＝____ S ＝____ S ＝________
圆柱侧 圆锥侧 圆台侧
4．柱、锥、台、球的表面积和体积
名称
表面积 体积
几何体
柱体 S ＝S ＋2S V＝_____
表 侧 底
锥体 S ＝S ＋S V＝Sh
表 侧 底
S ＝S ＋S ＋S
表 侧 上
台体 V＝(S ＋S ＋)h
上 下
下
球 S ＝_____ V＝πR3
表
常用结论
1．与体积有关的几个结论
(1)一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差．
(2)底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等(祖暅原理)．
2．直观图与原平面图形面积间的关系：S ＝S ，S ＝2S ．
直观图 原图形 原图形 直观图
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)菱形的直观图仍是菱形．( )
(2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥．( )
(3)用两平行平面截圆柱，夹在两平行平面间的部分仍是圆柱．( )
(4)锥体的体积等于底面积与高之积．( )
教材改编题1.如图，一个三棱柱形容器中盛有水，则盛水部分的几何体是( )
A．四棱台 B．四棱锥
C．四棱柱 D．三棱柱
2．下列说法正确的是( )
A．相等的角在直观图中仍然相等
B．相等的线段在直观图中仍然相等
C．正方形的直观图是正方形
D．若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行
3．已知圆锥的表面积等于12π cm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为( )
A．1 cm B．2 cm C．3 cm D. cm
题型一 基本立体图形
命题点1 结构特征
例1 (多选)下列说法中不正确的是( )
A．以直角梯形的一条腰所在直线为旋转轴，其余边旋转一周形成的几何体是圆台
B．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体是棱柱
C．底面是正多边形的棱锥是正棱锥
D．棱台的各侧棱延长后必交于一点
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命题点2 直观图
例 2 已知水平放置的四边形 OABC 按斜二测画法得到如图所示的直观图，其中
O′A′∥B′C′，∠O′A′B′＝90°，O′A′＝1，B′C′＝2，则原四边形OABC的面
积为( )
A. B．3 C．4 D．5
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命题点3 展开图
例3 如图，已知正三棱柱ABC－ABC 的底面边长为1 cm，高为5 cm，一质点自A点出发，
1 1 1沿着三棱柱的侧面绕行两周到达A 点的最短路线的长为( )
1
A．12 cm B．13 cm
C. cm D．15 cm
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思维升华 空间几何体结构特征的判断技巧
(1)说明一个命题是错误的，只要举出一个反例即可．
(2)在斜二测画法中，平行于x轴的线段平行性不变，长度不变；平行于y轴的线段平行性不
变，长度减半．
(3)在解决空间折线(段)最短问题时一般考虑其展开图，采用化曲为直的策略，将空间问题平
面化．
跟踪训练1 (1)如图，一个水平放置的平面图形由斜二测画法得到的直观图A′B′C′D′
是边长为2的菱形，且O′D′＝2，则原平面图形的周长为( )
A．4＋4 B．4＋4
C．8 D．8
(2)(多选)下列命题中不正确的是( )
A．棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形
B．在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱
C．不存在每个面都是直角三角形的四面体
D．棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等
(3)(2023·岳阳模拟)已知圆锥的侧面积是底面积的倍，则该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角
大小为( )
A. B. C. D.
题型二 表面积与体积
命题点1 表面积
例4 (1)(2022·深圳模拟)以边长为2的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一
周所得圆柱的侧面积等于( )A．8π B．4π C．8 D．4
(2)(2023·丽江模拟)已知三棱锥的三条侧棱长均为2，有两个侧面是等腰直角三角形，底面等
腰三角形底上的高为，则这个三棱锥的表面积为( )
A．4＋3＋ B．4＋＋2
C．4＋＋ D．4＋2＋
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命题点2 体积
例5 (1)(2021·新高考全国Ⅱ)正四棱台的上、下底面的边长分别为2,4，侧棱长为2，则其体
积为( )
A．20＋12 B．28
C. D.
(2)已知正方体ABCD－ABC D 的棱长为2，则三棱锥A－BCD 的体积为( )
1 1 1 1 1 1
A. B. C．4 D．6
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思维升华 求空间几何体的体积的常用方法
公式法 规则几何体的体积，直接利用公式
把不规则的几何体分割成规则的几何体，或者把不规则
割补法
的几何体补成规则的几何体
通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法，特别
等体积法
是三棱锥的体积
跟踪训练2 (1)(2021·北京)定义：24小时内降水在平地上积水厚度(mm)来判断降雨程度．
其中小雨(<10 mm)，中雨(10 mm－25 mm)，大雨(25 mm－50 mm)，暴雨(50 mm－100
mm)，小明用一个圆锥形容器接了24小时的雨水，如图，则这天降雨属于哪个等级( )
A．小雨 B．中雨 C．大雨 D．暴雨
(2)(2022·沈阳模拟)在我国瓷器的历史上六棱形的瓷器非常常见，因为六、八是中国人的吉
利数字，所以许多瓷器都做成六棱形和八棱形的，但是六棱柱形的瓷器只有六棱柱形笔筒，
其余的六棱形都不是六棱柱形．如图为一个正六棱柱形状的瓷器笔筒，高为18.7 cm，底面
边长为7 cm(数据为笔筒的外观数据)，用一层绒布将其侧面包裹住，忽略绒布的厚度，则至少需要绒布的面积为( )
A．120 cm2 B．162.7 cm2
C．785.4 cm2 D．1 570.8 cm2
