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§4.4 简单的三角恒等变换
考试要求 能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式推导二倍角的正弦、余弦、正切公
式，并进行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，这三组公式不要
求记忆)．
知识梳理
1．二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)公式S ：sin 2α＝ .
2α
(2)公式C ：cos 2α＝ ＝ ＝ .
2α
(3)公式T ：tan 2α＝ .
2α
2．常用的部分三角公式
(1)1－cos α＝ ，1＋cos α＝ .(升幂公式)
(2)1±sin α＝ .(升幂公式)
(3)sin2α＝ ，cos2α＝ ，tan2α＝ .(降幂公式)
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)半角的正弦、余弦公式实质就是将倍角的余弦公式逆求而得来的．( )
(2)存在实数α，使tan 2α＝2tan α.( )
(3)cos2＝.( )
(4)tan ＝＝.( )
教材改编题
1．(2021·全国乙卷)cos2－cos2等于( )
A. B. C. D.
2．若角α满足sin α＋2cos α＝0，则tan 2α等于( )
A．－ B. C．－ D.
3．若α为第二象限角，sin α＝，则sin 2α等于( )
A．－ B．－ C. D.
题型一 三角函数式的化简
例1 (1)(2021·全国甲卷)若α∈，tan 2α＝，则tan α等于( )
A. B. C. D.
(2)已知sin α＋cos α＝，则sin2＝________.听课记录：______________________________________________________________
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思维升华 (1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则：
一看角，二看名，三看式子结构与特征．
(2)三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式
子和三角函数公式之间的联系点．
跟踪训练1 (1)若f(α)＝2tan α－，则f 的值是________．
(2)化简：·＝________.
题型二 三角函数式的求值
命题点1 给角求值
例2 计算：(1)sin 10°·sin 30°·sin 50°·sin 70°；
(2)－；
(3).
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命题点2 给值求值
例3 (2023·长春质检)已知sin＋cos α＝，则sin等于( )
A. B. C．－ D．－
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命题点3 给值求角
例4 已知 sin α＝，cos β＝，且α，β为锐角，则α＋2β＝ .
听课记录：______________________________________________________________
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思维升华 (1)给值(角)求值问题求解的关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系，借
助角之间的联系寻找转化方法．
(2)给值(角)求值问题的一般步骤
①化简条件式子或待求式子；
②观察条件与所求式子之间的联系，从函数名称及角入手；
③将已知条件代入所求式子，化简求值．
跟踪训练2 (1)已知α∈(0，π)，sin 2α＋cos 2α＝cos α－1，则sin 2α等于( )
A. B．－
C．－ 或0 D.
(2)(2023·南京模拟)已知sin＝tan 210°，则sin(60°＋α)的值为( )A. B．－ C. D．－
题型三 三角恒等变换的综合应用
例5 已知f(x)＝sin＋2sin·cos.
(1)求f 的值；
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(2)若锐角α满足f(α)＝，求sin 2α的值．
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思维升华 (1)进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关
系；注意公式的逆用和变形使用．
(2)形如y＝asin x＋bcos x化为y＝sin(x＋φ)，可进一步研究函数的周期性、单调性、最值与
对称性．
跟踪训练3 已知3sin α＝2sin2－1.
(1)求sin 2α＋cos 2α的值；
(2)已知α∈(0，π)，β∈，2tan2β－tan β－1＝0，求α＋β的值．
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