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19.1(第 1 课时)二次根式的概念（解析版）
目 录
类型一、二次根式的识别..........................................................................................................................................1
类型二、求二次根式的值..........................................................................................................................................4
类型三、求二次根式中的参数................................................................................................................................10
类型四、二次根式有意义的条件............................................................................................................................15
类型一、二次根式的识别
1．下面是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了二次根式的定义，二次根式是指根指数为 的根式，且被开方数非负数．
【详解】解：二次根式需满足根指数为 且被开方数是非负数，
A选项： 为分数，不是二次根式，故A选项不符合题意；
B选项： 的根指数为 ， 不是二次根式，故B选项不符合题意；
C选项： 根指数为 且被开方数是非负数， 是二次根式，故C选项符合题意；
D选项： 被开方数为 ，在实数范围内无意义， 不是二次根式，故D选项不符合题意．
故选：C．
2．下列式子中，一定是二次根式的是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次根式的定义，形如 的式子叫二次根式，据此逐项判断即可求解﹒
【详解】解：A. 被开方数 ，不是二次根式，不合题意；
B. 是三次根式，不合题意；
C. 被开方数a不能保证大于或等于0，故不一定是二次根式，不合题意；
D. 是二次根式，符合题意．
故选：D
3．下列各式 ， ， ， 中是二次根式的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B
【分析】本题主要考查二次根式的定义，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键；根据二次根式的定义，
“形如 的式子”，逐一判断各表达式即可．
【详解】解：下列各式 ， ， ， 中是二次根式的有 ， ，共2个；
故选B．
4．下列各式中，是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查二次根式的定义，掌握相关知识是解决问题的关键．形如 是二次根式，据此
逐项判断即可．
【详解】解：A 、为立方根，根指数 3，不符合二次根式的定义；
B、 为常数 π，不符合二次根式的定义；
C 、被开方数为 ，不符合二次根式的定义；
D、 被开方数 ，根指数为 2，符合二次根式的定义．
故选 ：D．
5．下列式子中，属于二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次根式的定义，一般地，我们把形如 的式子叫做二次根式，熟练掌握二
次根式的定义是解此题的关键．
根据二次根式的定义逐项判断即可得出答案．
【详解】 二次根式需满足根指数为 且被开方数 ，
对于 ： ，根指数为 ，不是二次根式；
对于 ： ，被开方数 ，无意义，不是二次根式；
对于 ： ， ， ，恒成立，是二次根式；
对于 ： ，当 时， ，被开方数不能保证为非负数，不属于二次根式的式子；
故选 ．
6．下列各式中，是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查二次根式的定义，属于基础概念题，难度不大．解题的关键是掌握二次根式的概念．形如“ ”且 的式子叫二次根式．
结合二次根式的定义即可求解．
【详解】解：A：在 中， ，不合题意，故错误；
B：在 中， ，符合题意，故正确；
C：在 中， 的正负性不可确定，不合题意，故错误；
D：在 中，根指数是3，不合题意，故错误；
故答案是：B．
7．下列各式中，一定是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次根式的定义，能熟记二次根式的定义是解此题的关键，形如 的式子叫二
次根式．根据二次根式的定义逐个判断即可．
【详解】解：A． 的被开方数为 ，不是二次根式，故本选项不符合题意；
B． 的根指数是3，不是2，不是二次根式，故本选项不符合题意；
C．若 ， 无意义，不是二次根式，故本选项不符合题意；
D． 是二次根式，故本选项符合题意．
故选：D．
8．下列各式中，是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次根式的识别，二次根式有意义的条件，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用
求解．
根据二次根式的定义，需满足被开方数非负且根指数为2．选项A被开方数为负，选项B根指数不为2，选
项D在给定条件下被开方数为负，只有选项C的被开方数恒为正，符合定义．
【详解】解：二次根式定义为 ( )，且根指数为2．
，被开方数 ，故A不符合；
，根指数为3，故B不符合；
，
∵ ，
∴ ，且根指数为2，故C符合；且 ，则 ，被开方数小于0，故D不符合．
故选：C．
9．下列各式中，一定是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查二次根式的判断，根据形如 ，这样的式子叫做二次根式，进行判断即可．
【详解】解：A、 不含根号，不是二次根式，不符合题意；
B、 是三次根式，不符合题意；
C、 是二次根式，符合题意；
D、 无意义，不是二次根式，不符合题意；
故选C．
10．下列各式中一定是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查的是二次根式的定义，根据二次根式的概念，形如 的式子是二次根式，依据
定义即可判断．
【详解】解：A、∵ ，∴ 不是二次根式，故此选项错误；
B、 根指数是3，不是二次根式，故此选项错误；
C、∵ ，∴ 是二次根式，故此选项正确；
D、当 时， 不是二次根式，故此选项错误；
故选：C．
类型二、求二次根式的值
11．当 时，二次根式 的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】本题考查二次根式的计算，掌握算理是解决问题的关键．将 代入 计算即可．
【详解】解：当 时，
．
故选：B．12．二次根式 的值是（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了二次根式的定义，二次根式 表示的是a的算术平方根，算术平方根是指正的
平方根，其结果为非负数，据此判断即可．
【详解】解：
故选：B．
13．当 时，二次根式 的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】本题考查求二次根式的值，将 代入二次根式 中，计算被开方数的值，再求其算术平
方根．
【详解】当 时，
，
故选：C．
14．计算： （ ）
A．25 B．35 C．45 D．55
【答案】C
【分析】本题考查二次根式的化简，直接计算 的值即可．
【详解】解： ，
故选：C．
15．已知 是整数，则自然数 的所有可能取值的和为（ ）
A．9 B．10 C．13 D．16
【答案】D
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式的被开方数是非负数，求出n的取值范围，再
根据 是整数，即可得出答案．
【详解】解:∵ 是整数，
∴ ，且 是完全平方数，
∴ ；
① ，即 ，
② ，即 ，
③ ，即 ，
综上所述，自然数n的值可以是3，6，7，∴自然数 的所有可能取值的和为 ．
故选：D．
16．当 时，二次根式 的值是 ．
【答案】2
【分析】本题考查了二次根式的性质，把 代入 计算，然后根据二次根式的性质化简即可．
【详解】解：把 代入 ，得
．
故答案为：2．
17．《九章算术》中的“方田章”论述了三角形面积的求法：“圭田术曰，半广以乘正广”，就是说：“
”，我国著名的数学家秦九韶在《数书九章》中也提出了“三斜求积术”，即可以利用
三角形的三条边长来求三角形面积，用式子可表示为： （其中 为三
角形的三条边长，S为三角形的面积）．在 中， ，则 的面积为
．
【答案】 /
【分析】本题考查代数式求值，利用三角形面积公式求解即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ,
∴ ，
故答案为： ．
18．当 时，二次根式 的值为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了求二次根式的值，解题的关键是掌握二次根式的定义．
将把 代入 ，再化简即可．
【详解】解：把 代入 得：
原式 ；
故答案为： ．
19．当 时，二次根式 的值为 ．【答案】
【分析】本题考查二次根式的求值，按照代数式规定的运算，计算的结果就是代数式的值．利用代入法，
代入所求的式子即可．
【详解】解：当 时，
故答案为：
20．当 时，二次根式 的值是 ．
【答案】3
【分析】本题考查二次根式求值，直接把 代入二次根式，计算即可．
【详解】解：当 时，
．
故答案为：3．
21．当人站在离地面 的高处时，肉眼能看到的地面最远距离为 ， ．泰山的海拔约为
，天气晴朗时站在泰山之巅，若没有障碍物影响的情况下，肉眼能看到的地面最远距离大约是多少
？（ ）
【答案】
【分析】根据求代数式的值的基本方法解答即可．
本题考查了求代数式的值，熟练掌握求代数式的值的基本方法是解题的关键．
【详解】解：当 时，
．
答：肉眼能看到的地面最远距离大约是 ．
22．全球气候变暖导致一些冰川融化并消失．在冰川消失12年后，一种低等植物苔藓就开始在岩石上生长，
每一个苔藓都会长成近似圆形，苔藓的直径和其生长年限近似的满足如下的关系式： ，其中d
（单位：厘米）代表苔藓的直径，t（单位：年）代表冰川消失的时间．求冰川消失16年后苔藓的直径．
【答案】冰川消失16年后苔藓的直径为14厘米
【分析】本题主要考查了代入求值，再根据二次根式的计算，求出结果即可；
【详解】解：把 代入 ，得 ．
解得 ．冰川消失16年后苔藓的直径为14厘米
23．“欲穷千里目，更上一层楼”，说的是登得高看得远．如图，若观测点的高度为 ，观测者视线能达
到的最远距离为 ，则 ，其中 是地球半径，约为 ．
(1)小丽站在海边的一幢高楼顶上，眼睛离海平面的高度 为 ，她观测到远处一艘船刚露出海平面，求
此时 的值；
(2)已知一座山的海拔为 ，这座山到海边的最短距离为 ，天气晴朗时站在山巅能否看到大海？请
说明理由．
【答案】(1) ；
(2)她站在山巅能看到大海，理由见解析．
【分析】本题考查了代数式的求值计算，理解代数式中相应字母的值是解题的关键．
（1）将 ， 代入 即可求解；
（2）先将 ， 代入 ，得到此时 的值，与最短距离比较即可求解．
【详解】（1）解： ， ，
，
所以此时 的值为 ．
（2）解：能看到，理由如下
， ，
，
所以她站在山巅能看到大海．
24．一滴雨滴下落到地面所用的时间 与下落的高度 满足关系式 ．
(1)用含 ， 的式子表示 ；
(2)当 ， 时，求 的值．
【答案】(1) ；
(2) ．
【分析】（ ）根据算术平方根把公式变形即可；
（ ）把 ， 代入即可求解；本题考查了算术平方根的定义，掌握算术平方根的定义是解题的关键．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：当 ， 时，
∴ ．
25．当 时，求下列二次根式的值．
(1) ．
(2) ．
【答案】(1)0
(2)
【分析】本题主要考查了二次根式的化简，熟练掌握相关方法是解题关键．
（1）根据题意将 代入二次根式之中，然后进一步化简即可．
（2）根据题意将 代入二次根式之中，然后进一步化简即可．
【详解】（1）解：当 时，
；
（2）解： 当 时，
．
26．任意给出一个非零实数m，按如图所示的程序进行计算．
(1)用含m的代数式表示该程序的运算过程并化简；
(2)当 时，求输出的结果．
【答案】(1) ；
(2) ．【分析】本题考查了代数式求值，正确得出运算程序是解题的关键．
（1）直接利用运算程序进而得出关于m的代数式；
（2）把已知数据代入求出答案．
【详解】（1）解：由题意可得：
；
（2）解：当 时，
，
∴输出的结果是 ．
类型三、求二次根式中的参数
27．已知a是正整数，且 的值是整数，则正整数a所有可能的值的和为（ ）
A．136 B．131 C．100 D．94
【答案】B
【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟记二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．根据
是整数，求出a的取值范围，再根据a是正整数，即可得出答案．
【详解】解：∵a是正整数， 的值是整数，
∴
当 时，即 ，
当 时，即 ，
当 时，即 ，
当 时，即 ，
当 时，即 ，
当 时，即 ，
综上所述，正整数a的值可以是31，30，27，22，15，6，
∴所有可能的a之和为 ．
28．已知 是整数，则自然数 的最小值是（ ）
A．12 B．9 C．1 D．4
【答案】D
【分析】本题考查二次根式．由 是整数，可设 （ 为非负整数），则 ，且
，故 ，枚举 值进而求出 的可能值，即可得出答案．【详解】解：∵ 是整数，
∴设 ，其中 为整数且 ，
则 ，
∴ ．
又∵ 是自然数，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ 可取0，1，2，3．
当 时， ；
当 时， ；
当 时， ；
当 时， ．
∴ 的可能值为13，12，9，4，最小值为4．
故选：D．
29．已知 是整数，则正整数m的最小值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】本题考查了求二次根式中的参数，以及二次根式的性质，把18分解成平方数与另一个因数相乘的
形式是解题的关键．
根据二次根式的性质进行整理分析，即可解题．
【详解】解：因为 ，
所以 ．
因为 是整数，
所以正整数m的最小值是2．
故选：B．
30．如果 是一个正整数，则整数m的值可以是（ ）
A．0 B．3 C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了二次根式的性质与化简．把每个选项中的m的值代入二次根式化简即可．
【详解】解：A、当 时， ，不是一个正整数，故此选项不符合题意；
B、当 时， ，是一个正整数，故此选项符合题意；
C、当 时， ，没有意义，故此选项不符合题意；
D、当 时， ，没有意义，故此选项不符合题意；故选：B．
31．已知 是正整数，则整数 的最大值为（ ）
A．2025 B．2024 C．2 D．1
【答案】B
【分析】本题主要考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义进行求解是解决本题的关键．
由题意可得 ，要使 是正整数，即可得出当n最大取2024时， 是正整数．
【详解】解：
要使 是正整数，
即当 时， ．
故整数 的最大值为2024．
故选：B．
32．已知 是整数，则自然数m的值可以是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】本题考查了求二次根式中的参数．
由题意可知， 为整数，则 必为完全平方数，根据自然数 的取值范围，确定符合条件的
值即可．
【详解】设 （ 为非负整数），
则 ，
即 ，
∵ 为自然数，
∴ ，
即 ，
完全平方数 的可能值为 ，对应 ，
当 时， （不在选项中）；
当 时， （不在选项中）；
当 时， （不在选项中）；
当 时， （对应选项B）；
故选B．
33．若 是整数，则正整数n的最小值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D【分析】本题考查二次根式的化简，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键．要使 为整数，需满足
是完全平方数，由 ，即可确定n的最小值．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 是整数，且n是整数，
则 是完全平方数，
∴n的最小值为：6．
故选：D．
34．按一定规律排列的单项式： ， ， ， ， ，…，第 个单项式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查二次根式的探究规律，通过观察单项式发现第n个单项式的系数为 ，字母部分为
，即可求解．
【详解】解：各单项式的系数依次为 ， ， ， ， ，
而 ； ， ， ， ，
∴第n个单项式的系数为 ．
各单项式的字母部分依次为 ， ， ， ， ，
而 ； ， ， ， ，
∴第n个单项式的字母部分为 ．
综上，第 个单项式为 ．
故选：D
35．n为正整数，且 是整数，那么n的最小值是 ．
【答案】2
【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，二次根式的定义，掌握二次根式的性质，二次根式的定义是
解题的关键．
先根据二次根式的性质化简为： ，由题意可知， 必须是整数，即 必须是一个完全平方数，当
时， ，4是完全平方数，进而得出答案．
【详解】解： 为正整数，且 是整数，
必须是整数，即 必须是一个完全平方数，当 时， ，4是完全平方数，
此时 ，
是整数，
的最小值是 ．
故答案为： ．
36．已知 是整数，则满足条件的最小正整数n是 ．
【答案】2
【分析】本题考查二次根式的定义和化简；先把 化简成 ，再根据 是整数分析最小正整数n
的值即可.
【详解】解：∵ 且是整数，
∴ 是完全平方数，
∴正整数n的最小值是2.
故答案为：2.
37．对于 ，当 是整数时，最小的正整数 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式，由 即可求解，理解题意是解题的关键．
【详解】解：∵ ，
∴当 是整数时，最小的正整数 ，
故答案为： ．
38．已知 是正整数，且 是整数，那么 可取得的最小值是
【答案】
【分析】本题考查了算术平方根的应用，解题的关键是掌握完全平方数的特征．
首先把被开方数分解质因数，然后再确定 的值．
【详解】解： ，
是整数，
∴正整数 的最小值是 ．
故答案为： ．
39．若 是整数，则正整数n的最小值是 ．
【答案】3
【分析】本题考查了二次根式的化简，算术平方根，解题关键是根据 正整数，确定整数n的最小值即
可．
【详解】解：∵ ，且 是整数，
∴正整数n的最小值是3．故答案为：3
40．若 是整数，则自然数 的最小值是 ．
【答案】
【分析】本题考查二次根式的定义， 是整数，则 一定是一个完全平方数，进而确定自然数 的最
小值即可．理解 是非负整数的条件是解题的关键．
【详解】解：∵ 是整数， ， ，
∴自然数 的最小值是 ．
故答案为： ．
41．如果 是二次根式，且值为5，试求 的算术平方根．
【答案】
【分析】本题考查的是算术平方根的含义，二次根式的定义，根据二次根式的定义可得： ，
，可得 ，再进一步解答即可．
【详解】解： 是二次根式，且值为5，
，
解得 ．
故 的算术平方根为 ．
类型四、二次根式有意义的条件
42．二次根式 有意义的条件为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件是被开方数非负，进行求解即可．
【详解】解：由题意， ，解得： ，
故选C．
43．式子 在实数范围内有意义，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键；二次根式
在实数范围内有意义的条件是被开方数大于或等于零，然后问题可求解．
【详解】解：∵ 在实数范围内有意义，
∴ ，
∴ ，
故选B．44．若 是任意实数，则下列各式一定有意义的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查平方根有意义的条件，掌握根号下的式子必须为非负数是解题关键．
逐项判断每一个选项中，根号下的式子是否一定是非负数即可．
【详解】解：选项A： ，故 一定有意义；
选项B：当 时， ，故 不一定有意义；
选项C：当 时， ，故 不一定有意义；
选项D： ，故 仅在 时有意义，
故选：A．
45．若代数式 有意义，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】二次根式有意义的条件是被开方数是非负数解答即可．
本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式被开方数非负是解题的关键．
【详解】解：∵ 有意义，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：B．
46．如果 有意义，那么 的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件．根据被开方数是非负数，即可求解．
【详解】解： 有意义，
，
．
因此， 的取值范围是 ，
故选：B．
47．要使得代数式 有意义，则 的取值范围是（ ）A． B．
C． 且 D． 且
【答案】D
【分析】本题考查的是分式有意义的条件，二次根式有意义的条件，不等式组的解法，熟记分式及二次根
式有意义的条件是解本题的关键．由分式及二次根式有意义的条件可得 ，再解不等式组即可．
【详解】解：∵代数式 有意义，
∴ ，
解得 且 ．
故选：D．
48．若 有意义，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次根式有意义，分式有意义．根据 有意义得分母不为0，且二次根式的被开
方数为非负数，可求得 ，即可作答．
【详解】解：∵ 有意义，
∴ ，且 ，
∴ ，
∴ ，
故选：D
49．若代数式 有意义，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D． 且
【答案】D
【分析】本题考查了二次根式，分式有意义的条件，根据代数式 有意义，则 ，然后求解即
可，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：∵代数式 有意义，
∴ ，∴ 且 ，
故选： ．
50．若 在实数范围内有意义，则 可以为（ ）
A．2026 B．2027 C．2028 D．2029
【答案】A
【分析】本题考查二次根式有意义的条件，需使被开方数非负，根据二次根式有意义的条件，被开方数必
须大于或等于零，据此列不等式求解即可．
【详解】解：∵ 在实数范围内有意义，
∴ ，
∴ ，
∴ 选项中只有 满足条件．
故选：A．
51．要使二次根式 在实数范围内有意义，则符合条件的正整数x的值可以是 ．（写出一个即
可）
【答案】1（答案不唯一）
【分析】本题考查了二次根式有意义．根据二次根式有意义的条件，被开方数必须非负，即 ，解
得 ，再结合 为正整数，即可得出答案。
【详解】解：∵二次根式 在实数范围内有意义，
∴ ，解得 ，
∵ 为正整数，
∴ 的值可以是1，
故答案为：1（答案不唯一），
52．若代数式 有意义，则实数 的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件，被开方数必须大于或等于
零，可得关于 的不等式，解不等式即可得到 的取值范围．
【详解】解： 有意义，
，
解得： ．
故答案为： ．
53．已知x，y为实数，且 ，则 的值是 ；
【答案】
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，负整数指数幂．根据二次根式有意义的条件，被开方数必须非负，从而确定 的值，进而求出 的值，最后计算 ．
【详解】解：∵ ，
∴ 且 ，
解得 且 ，
所以 ，
代入原式，得 ，
则 ．
故答案为： ．
54．设 是实数，当 满足 时， 有意义．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件．二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
根据二次根式有意义的条件，被开方数必须大于或等于零．
【详解】解：根据题意得： ，
解得 ．
故答案为： ．
55．要使代数式 有意义，则实数 的取值范围是 ．
【答案】 且
【分析】此题主要考查了二次根式及分母有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题关键．
根据二次根式有意义的条件，被开方数非负；根据分式有意义的条件，分母不为零；综合两者求交集．
【详解】要使代数式 有意义，需同时满足以下条件：
对于分子 ，有 ，即 ；
对于分母 ，有 ，即 ；
因此，实数 的取值范围是 且 ．
故答案为： 且 ．
56．已知二次根式 ，回答下列问题：
(1)当 为何值时，该二次根式有意义？
(2)当 时，求该二次根式的值；当该二次根式的值为 时，求 的值．
【答案】(1)(2)当 时，值为 ；当值为 时，
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握以上知识点是解答本题的关键．
（1）根据二次根式有意义的条件解答即可．
（2）将 代入 即可求解，令 时，求解即可
【详解】（1）解：要使该二次根式有意义，需满足 ，
解得： ，
∴当 时，该二次根式有意义．
（2）解：当 时，则 ，
令 时，则 ，
解得： ．
57．已知 有意义，求 的值．
【答案】
【分析】本题考查代数式求值，熟记二次根式有意义的条件是解决问题的关键．
由二次根式有意义的条件得到 ，代入代数式求值即可得到答案．
【详解】解：要使式子 有意义，需满足：
，
解得 ，则 ，
，
故答案为： ．
58．已知x、y为实数，且 ，求 的值．
【答案】5
【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件得出 ，再代入计算即可．
【详解】解：由题意可知： ， ，
解得： ，
∴ ，
∴．
1．已知 ，求 的平方根.
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的性质、双重非负性以及求一个数的平方根，先因为
，得出 ，即可化简得 ，算出 的值，因
为 ，得 ，求出 的值、 的值，代入 ，即可作答．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
解得 ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
则 ，
∴ ，
则 的平方根为 ．
2．已知实数 、 满足 ，求 的立方根．
【答案】 的立方根为
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，求一个数的立方根．根据二次根式有意
义的条件以及分式有意义的条件确定 的值，进而求得 的值，代入代数式，求得代数式的值，根据立方
根的定义即可求解．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵分母中 ，
∴ ，解得： ，
∴ ，
∴ ，
∵ 的立方根为 ，
∴ 的立方根为 ．
3．已知 ，化简 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件、二次根式的化简、一元一次不等式组等知识，熟练掌握二次
根式的性质是解题关键．先根据二次根式有意义的条件可得 ，则可得 ，再根据二次根
式的性质、绝对值的性质化简即可得．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴
．
1．任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义，若无理数T： ， (其中m为满足不等式的最大
整数，n为满足不等式的最小整数)，则称无理数T的“麓外区间”为(m,n)， 如 所以 的
麓外区间为 ．
(1)无理数 的“麓外区间”是 ；(2)若 则b的“麓外区间”是 ；
(3)若无理数 (a为正整数)的“麓外区间”为 的“麓外区间”为 ，求 的值；
(4)实数x，y，n满足 求n的算术平方根的“麓外区
间”．
【答案】(1)
(2)
(3) 或
(4)
【分析】本题主要考查无理数的估算、二次根式有意义的条件、算术平方根的非负性以及立方根的计算．
（1）通过找出与19相邻的两个完全平方数，进而确定 的取值范围，从而得到其“麓外区间”；
（2）先根据二次根式有意义的条件求出 的值，进而求出 的值，再确定 的“麓外区间”；
（3）根据无理数的“麓外区间”定义，分别列出关于 的不等式，求出 的取值范围，进而确定 的值最
后计算 ．
（4）先根据二次根式有意义的条件求出 的值，再根据等式求出 的值，最后确定 的算术平方根的
“麓外区间”．
【详解】（1）解： ，
，
的“麓外区间”是 ；
（2）解：要使 有意义，
，
解得： ，
将 代入 ，
得： ，
，
，
，
b的“麓外区间”是 ．
（3）解： 的“麓外区间”为 ，
，
，，
的“麓外区间”为 ，
，
即 ，
，
又 a为正整数，
或 ，
当 时， ，
当 时， ，
的值为 或 ．
（4）解： 和 有意义，
且 ，
且 ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
的算术平方根为 ，
，
，
，
的“麓外区间”是 ．
2．求下列各式中 的取值范围．(1)二次根式 在实数范围内有意义．
(2) 在实数范围内成立．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件以及二次根式乘法法则，熟练掌握二次根式中被开方数为
非负数是解题的关键．
（1）根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，据此列不等式求解．
（2）依据二次根式乘法法则成立的条件，两个被开方数都为非负数，从而列不等式组求解．
【详解】（1）解：要使 有意义，则 ，
，
；
（2）解：要使 成立，则
，
由 得 ，
由 得 ，
所以 ．
3．（1）若 、 都是实数，且满足 ，试化简代数式： ．
（2）设 、 、 为 的三边，化简： ．
【答案】（1） ，（2）
【分析】本题考查二次根式有意义的条件和分式的加减法、三角形三边关系．
（1）先根据二次根式有意义的条件求出 ，再把 代入求出 的取值范围，最后进行化简即可；
（2）由三角形三边关系求得 ， ， ， ，再利用二次根式的性质化简即可
求解．
【详解】解：（1）因为 、 都是实数，且满足 ，
则 且 ，所以 ，则 ．所以
；
（2）因为 、 、 为 的三边，所以 ， ， ， ，
所以
．
