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§8.6 双曲线
考试要求 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程.2.掌握双曲线的几何性质(范围、对
称性、顶点、渐近线、离心率).3.了解双曲线的简单应用．
知识梳理
1．双曲线的定义
把平面内与两个定点F ，F 的距离的差的 等于非零常数( |FF|)的点的轨迹叫
1 2 1 2
做双曲线．这两个定点叫做双曲线的 ，两焦点间的距离叫做双曲线的 ．
2．双曲线的标准方程和简单几何性质
标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0)
图形
焦点
焦距
范围 或 ，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R
对称性 对称轴： ；对称中心：______
性质 顶点
实轴：线段 ，长： ；虚轴：线段BB，
1 2
轴
长： ，实半轴长： ，虚半轴长：_____
渐近线 y＝±x y＝±x
离心率 e＝∈_________
a，b，c的关系 c2＝ (c>a>0，c>b>0)
常用结论
1．双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.
2．若P是双曲线右支上一点，F，F 分别为双曲线的左、右焦点，则|PF| ＝a＋c，|PF|
1 2 1min 2min
＝c－a.
3．同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于实轴的弦)，其长为.
4．若P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F ，F 分别为双曲线的左、右焦点，则
1 2
＝，其中θ为∠FPF.
1 2
5．与双曲线－＝1(a>0，b>0)有共同渐近线的方程可表示为－＝t(t≠0)．思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)平面内到点F(0,4)，F(0，－4)的距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．( )
1 2
(2)方程－＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线．( )
(3)双曲线－＝1(m>0，n>0)的渐近线方程是±＝0.( )
(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于.( )
教材改编题
1．已知曲线C的方程为＋＝1(k∈R)，若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，则实数k的取值
范围是( )
A．－15
C．k<－1 D．k≠－1或5
2．双曲线2y2－x2＝1的渐近线方程是( )
A．y＝±x B．y＝±2x
C．y＝±x D．y＝±x
3．设P是双曲线－＝1上一点，F ，F 分别是双曲线的左、右焦点，若|PF|＝9，则|PF|＝
1 2 1 2
________.
题型一 双曲线的定义及应用
例1 (1)(2022·洛阳模拟)在平面直角坐标系中，已知△ABC的顶点A(－3,0)，B(3,0)，其内切
圆圆心在直线x＝2上，则顶点C的轨迹方程为( )
A.－＝1(x>2)
B.－＝1(x>3)
C.＋＝1(00，b>0)过点(，)，且离心率为2，则该双曲线的标
准方程为( )
A．x2－＝1 B.－y2＝1
C．x2－＝1 D.－y2＝1
(2)(2023·连云港模拟)在平面直角坐标系中，已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，点
A在双曲线的渐近线上，△OAF是边长为2的等边三角形，则双曲线的标准方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－y2＝1 D．x2－＝1
听课记录：______________________________________________________________
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思维升华 求双曲线的标准方程的方法
(1)定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，确定2a,2b或2c，从而求出a2，b2.
(2)待定系数法：“先定型，再定量”，如果焦点位置不好确定，可将双曲线方程设为－＝
λ(λ≠0)，再根据条件求λ的值．
跟踪训练2 (1)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，左焦点到渐近线的距离为2，则
双曲线的方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
(2)(2023·廊坊模拟)江西景德镇青花瓷始创于元代，到明清两代达到了顶峰，它蓝白相映怡
然成趣，晶莹明快，美观隽永．现有某青花瓷花瓶的外形可看成是焦点在 x轴上的双曲线的
一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面，如图所示，若该花瓶的瓶身最小的直径是 4，瓶口和底
面的直径都是8，瓶高是6，则该双曲线的标准方程是( )
A.－＝1 B.－y2＝1
C.－＝1 D.－＝1
题型三 双曲线的几何性质命题点1 渐近线
例3 (1)(2022·北京)已知双曲线y2＋＝1的渐近线方程为y＝±x，则m＝________.
(2)(2022·连云港模拟)若双曲线经过点(1，)，其渐近线方程为y＝±2x，则双曲线的方程是
________．
听课记录：______________________________________________________________
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思维升华 (1)渐近线的求法：求双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线的方法是令－＝0，即得两
渐近线方程±＝0.
(2)在双曲线的几何性质中，重点是渐近线方程和离心率，在双曲线－＝1(a>0，b>0)中，离
心率e与双曲线的渐近线的斜率k＝±，满足关系式e2＝1＋k2.
命题点2 离心率
例4 (1)(2021·全国甲卷)已知F ，F 是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠FPF ＝
1 2 1 2
60°，|PF|＝3|PF|，则C的离心率为( )
1 2
A. B. C. D.
(2)(2022·全国甲卷)记双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为e，写出满足条件“直线y＝
2x与C无公共点”的e的一个值________．
听课记录：______________________________________________________________
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思维升华 求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量 a，
b，c的方程或不等式，利用c2＝a2＋b2和e＝转化为关于e的方程(或不等式)，通过解方程
(或不等式)求得离心率的值(或范围)．
跟踪训练3 (1)(多选)(2023·聊城模拟)已知双曲线C：＋＝1(00，b>0)的右焦点，过点F的直线l与双曲线
C的一条渐近线垂直，垂足为A，且直线l与双曲线C的左支交于点B，若3|FA|＝|AB|，则
双曲线C的渐近线方程为________．
