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24.5 圆重点定理和辅助圆模型（50 题）
题型1：垂径定理
1．如图，BC是 O的直径，AD⊥BC，∠ABC＝25°，则弧CD的度数（ ）
⊙
A．50° B．25° C．100° D．65°
2．如图，在 O中，弦AB的长是 cm，弦AB的弦心距为6cm，E是 O优弧AEB上一点．则∠AEB
的度数为（ ）
⊙ ⊙
A．60° B．45° C．30° D．80°
4．如图，已知 O的直径CD垂直于弦AB，垂足为点E，∠D＝22.5°，AB＝8，则DE的长为 ．
⊙5．如图，AB是 O的弦，连接BO，作AC⊥BO交BO的延长线于点C，已知OC＝ ，BO＝2 ，点
D是 的中点，连接CD，则CD的长为 ．
⊙
6．如图，在 O中，AB，AC为弦，CD为直径，AB⊥CD于E，BF⊥AC于F，BF与CD相交于G．
（1）求证：ED＝EG；
⊙
（2）若AB＝8，OG＝1，求 O的半径．
⊙
7．如图， O的半径为4，△ABC是 O的内接三角形，连接OB、OC．若∠BAC与∠BOC互补，求弦
BC的长．
⊙ ⊙
题型2：圆周角定理
8．如图，AB是 O的直径，P是 O上一点，若∠PAB＝32°，则∠PBA的度数是（ ）
⊙ ⊙
A．68° B．58° C．60° D．64°9．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝32°，点B、C在 O上，边AB、AC分别交 O于D、E两
点，点B是 的中点，则∠ABE的度数是（ ）
⊙ ⊙
A．13° B．16° C．18° D．21°
10．如图，AB过半 O的圆心O，过点B作半 O的切线BC，切点为点C，连结AC，若∠A＝25°，则
∠B的度数是（ ）
⊙ ⊙
A．65° B．50° C．40° D．25°
11．如图，AB是 O的直径，点C、D位于直径AB的两侧．若∠ABC＝40°，则∠BDC的度数是（ ）
⊙
A．50° B．40° C．60° D．45°
12．如图，点A为 O上一点，AB为 O的切线，∠CAB＝30°，直径CD＝2，则劣弧AD的长是 ．
⊙ ⊙
13．如图，点A，B，C是 O上的三点．若∠AOC＝90°，∠BAC＝30°，则∠AOB的度数为 ．
⊙14．如图，AB是 O的直径，点C、D在 O上，且在AB异侧，连接OC、CD、DA．若∠BOC＝130°，
则∠D的大小是 ．
⊙ ⊙
15．如图，已知点A、B、C、D在圆O上， ，∠CAD＝35°，∠ACD＝60°，则∠AOB＝ ．
16．如图，AB是 O的直径，C为 O上一点，AD和过点C的切线CD互相垂直，垂足为D．
求证：∠CAD＝∠CAB；
⊙ ⊙
题型3：切线长定理
18．如图，从 O外一点P引圆的两条切线PA，PB，切点分别是A，B，若∠APB＝60°，PA＝5，则弦AB
的长是（ ）
⊙
A． B． C．5 D．519．如图，直线AB、CD、BC分别与 O相切于E、F、G，且AB∥CD，若OB＝6cm，OC＝8cm，则
BE+CG的长等于（ ）
⊙
A．13 B．12 C．11 D．10
20．如图，在Rt△ABC中，AC＝5，BC＝12， O分别与边AB，AC相切，切点分别为E，C，则 O的半
径是（ ）
⊙ ⊙
A． B． C． D．
21．如图，三个半径为 的圆两两外切，且△ABC的每一边都与其中的两个圆相切，那么△ABC的周长
是（ ）
A．12+6 B．18+6 C．18+12 D．12+12
22．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，O为△ABC的内切圆圆心，则阴影部分的面积为（
）A．2 B． C． D．
π
23．已知如图，△ABC的内切圆 O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB＝9cm，BC＝15cm，
CA＝12cm．求AF，BD，CE的长．
⊙
24．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5， O是△ABC的内切圆，半径为2，则图中阴影部分的面
积为（ ）
⊙
A．30﹣4 B．30 ﹣4 C．60﹣16 D．30 ﹣16
π π π π
25．如图，木工用角尺的短边紧靠 O于点A，长边与 O相切于点B，角尺的直角顶点为C．已知AC＝
6cm，CB＝8cm，则 O的半径为 cm．
⊙ ⊙
⊙
26．如图，AB为 O的直径，点P在AB的延长线上，PC，PD分别与 O相切于点C，D，若∠CPA＝
40°，则∠CAD的度数为 ．
⊙ ⊙题型4：切线的判定
27．如图，AB是圆O的一条弦，点E是劣弧AB的中点，直线CD经过点E且与直线AB平行，证明：直
线CD是圆O的切线．
28．如图，CD是 O的直径，并且AC＝BC，AD＝BD．求证：直线AB是 O的切线．
⊙ ⊙
29．如图，AB是 O的直径， O交BC的中点于D，DE⊥AC于E，连接AD，求证：DE是 O的切线．
⊙ ⊙ ⊙
30．如图，AB为 O直径，AB＝AC，BC与 O交于D，且DE⊥AC．求证：DE是 O切线．
⊙ ⊙ ⊙31．如图，已知 O是四边形ABCD的外接圆，AB是 O的直径，BC＝CD，过点C作PM⊥AD交AD的
延长线于点M，交AB的延长线于点P．
⊙ ⊙
（1）求证：PM是 O的切线；
（2）若AB＝10，AD＝6，求CM的长．
⊙
32．如图，AB是 O的直径点F、C是半圆弧ABC上的三等分点，连接AC，AF，过点C作CD⊥AF交
AF的延长线于点D，垂足为D．
⊙
（1）求证：CD是 O的切线；
（2）若 O的半径为4，求CD的长．
⊙
⊙
33．如图，已知AC是 O的直径，BC是 O的弦，P是 O外一点，连接PB，AB，OB，且∠PBA＝
∠ACB．
⊙ ⊙ ⊙
（1）求证：PB是 O的切线；
（2）连接OP，若⊙AP＝BP，且OP＝8， O的半径是2 ，求△OAP的面积．
⊙
34．如图已知AB是 O的直径，AB＝10，点C，D在 O上，DC平分∠ACB，点E在 O外，∠EAC＝
∠D．
⊙ ⊙ ⊙
（1）求证：AE是 O的切线；
（2）求AD的长．
⊙35．如图，AB是 O的直径，点D是 O上的一点，OC∥AD交 O于点E，点F在CD的延长线上，
∠BOC+∠ADF＝90°．
⊙ ⊙ ⊙
（1）求证：CD是 O的切线；
（2）若AB＝6，CD＝4，求CE．
⊙
题型5：辅助圆-定点定圆（提升）
36．如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（﹣3，0）、（0，4），以点A为圆心，以AB长
为半径画弧交x轴上点C，则点C的坐标为（ ）
A．（5，0） B．（2，0）
C．（﹣8，0） D．（2，0）或（﹣8，0）
37．如图，点A，B的坐标分别为A（4，0），B（0，4），C为坐标平面内一点，BC＝2，点M为线段AC
的中点，连接OM，OM的最大值为 ．38．如图，四边形ABCD中，AB＝AC＝AD，∠CBD＝20°，∠BDC＝30°，则∠BAD＝ ．
39．如图，在矩形ABCD中，已知AB＝3，BC＝4，点P是BC边上一动点（点P不与B，C重合），连接
AP，作点B关于直线AP的对称点M，则线段MC的最小值为（ ）
A．2 B． C．3 D．
41．在四边形ABCD中，DC∥AB，BC＝1，AB＝AC＝AD＝2，则BD长为多少 ．
题型6：辅助圆-定弦定角（提升）
42．如图，在矩形 ABCD中，AB＝8，BC＝6，点 P在矩形的内部，连接 PA，PB，PC，若∠PBC＝
∠PAB，则PC的最小值是（ ）
A．6 B． ﹣3 C．2 ﹣4 D．4 ﹣4
43．如图，△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝30°，AB＝2，点P从C点出发，沿CB运动到点B停止，过点
B作射线AP的垂线，垂足为Q，点Q运动的路径长为（ ）A． B． C． D．
44．如图，在矩形ABCD中，AD＝5，AB＝3 ，点E在AB上， ＝ ，在矩形内找一点 P，使得
∠BPE＝60°，则线段PD的最小值为（ ）
A．2 ﹣2 B． C．4 D．2
45．如图，点A是半径为8的圆O上一定点，点B是圆O上一动点，点P是弦AB的中点，则点B绕圆周
运动一周，点P所经过的路径长为（ ）
A．4 B．8 C．4 D．8
π π
46．如图，P是矩形ABCD内一点，AB＝4，AD＝2，AP⊥BP，则当线段DP最短时，CP＝ ．题型7：辅助圆-对角互补（提升）
47．如图，在四边形 ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠ACD＝30°，AD＝2，E是AC的中点，连接
DE，则线段DE长度的最小值为 ．
48．已知：在△ABC中，AB＝AC＝6，∠B＝30°，E为BC上一点，BE＝2EC，DE＝DC，∠ADC＝60°，
则AD的长 ．
49．如图，矩形ABCD的对角线相交于O，过点O作OE⊥BD，交AD点E，连接BE，若∠ABE＝20°，则
∠AOE的大小是（ ）
A．10° B．15° C．20° D．30°
50．如图所示，∠MON＝45°，Rt△ABC，∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8，当A、B分别在射线OM、ON上
滑动时，OC的最大值为（ ）
A．12 B．14 C．16 D．14
