文档内容
2025 年秋季九年级开学摸底考试模拟卷
数 学
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．考试范围：北师大版八年级下册全册+九年级上册第一章
第一部分（选择题 共30分）
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．若分式 有意义，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别
代表“立春”“立夏”“大雪”“芒种”，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．如果把分式 中的 和 都扩大为原来的3倍，那么分式的值（ ）
A．不变 B．缩小为原来的 C．扩大为原来的3倍 D．扩大为原来的6倍
4．下列各式从左到右的变形中，是因式分解且完全正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．在 中，若 ，则下列条件不能判定 是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
6．若 ，则下列各式正确的是（ ）
A． B．
C． D．7．如图，已知菱形 的周长为12， ，则 的长为（ ）
A．6 B．4 C．3 D．2
8．如图，在 中， ， ， 平分 交 于点E，作 于点G并延长交
于点F，则线段 的长为（ ）
A．2 B． C．3 D．4
9．如果关于 的分式方程 的解为非负数，那么实数 的取值范围为（ ）
A． B． 且
C． D． 且
10．已知：如图， 中，点 是 边上一点， ， ， 平分 ，且
于 ，与 相交于点 ，若 于 ，交 于点 ．有以下结论：
① ；② ；③若连接 ，则 ；④点 是 的中点；⑤ 与 成
轴对称．以上五个结论中正确的是（ ）
A．①③⑤ B．①④⑤ C．①②③⑤ D．①③④⑤
第二部分（非选择题 共90分）
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．请写出一个满足条件的m值，使得分式 的值为整数： ．
12．如图， 是由 绕点 按顺时针方向旋转 后得到的，点B、C的对应点分别为点
，已知 ，则 的长为 ．13．把一段长 的铁丝分成两段，将每一段都围成一个最大的正方形，如果这两个正方形的面积之差
是 ，则这两个正方形的边长相差 ．
14．如果关于 的不等式组 有且只有5个整数解，则符合条件的所有整数 的和为
．
15．如图，在矩形 中， ， ． 为 边上一点， ，连接 ．点 从点 出发，
以每秒1个单位长度的速度沿着边 向终点 运动，连接 ．设点 运动的时间为 秒，当 为
时， 为直角三角形．
三、解答题（一）本大题共3小题，每小题7分，共21分。
16．（1）解不等式组： ，并在数轴上表示该不等式组的解集；
（2）先化简： ，再从 的整数中选取一个你喜欢的x的值代入求值．
17．下面是某同学对多项式 进行因式分解的过程．
解：设 ．
原式 （第一步）
（第二步）．
（第三步）．
（第四步）．回答下列问题：
(1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的______．
A．提公因式法 B.公式法
(2)请你模仿以上方法尝试对多项式 进行因式分解．
18．如图，点O是菱形 对角线的交点，过点 作 ，过点 作 ， 与 相交于点
E．
(1)求证：四边形 是矩形；
(2)连接 ，若 ，求菱形 的面积．
四、解答题（二）本大题共3小题，每小题9分，共27分。
19．某长跑俱乐部的营养师需要用甲、乙两种原料为运动员配置功能饮料，已知每克甲种原料比每克乙种
原料贵 元，且用 元购买的甲种原料与用 元购买的乙种原料一样多．已知每克甲种原料含 单位
的钠元素，每克乙种原料含 单位的钠元素．
(1)求购买甲、乙两种原料的单价．
(2)若购买甲、乙两种原料共 克，在钠元素总含量不低于 单位的情况下，如何选购原料才能使得费用
最低？最低费用是多少元？
20．如图，正方形 的边长为4，点 为对角线 的中点，点 为 边上的动点，点 在 边上，
连接 ， ， ．
(1)求证： ．
(2)当点 在 边上运动时，四边形 的面积是否会发生变化？若不变，请求出其面积；若改变，请说明理由．
21．如图1， 为等边 内一点，将线段 绕点 逆时针旋转 得到 ，连接 ， 的延长线
与 交于点 ，与 交于点 ．
(1)求证： ；
(2) ________度；
(3)如图2，连接 ， 平分 吗？请说明理由．
五、解答题（三）本大题共2小题，第22小题13分，第23小题14分，共27分。
22．如图， 与 为正三角形，点O为射线 上的动点，射线 与直线 相交于点E，将射
线 绕点O逆时针旋转 ，得到射线 ，射线 与射线 相交于点F．
(1)如图①，点O与点A重合时，点E、F分别在线段 上，请直接写出 、 、 三条线段之
间的数量关系是____________________．
(2)如图②，当点O在 的延长线上时，E、F分别在线段 的延长线和线段 的延长线上，请写出
三条线段之间的数量关系，并说明理由．
(3)点O在线段 上，若 ， ，当 时，请求出 的长．23．【课本再现】
三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
（1）请你完成以下证明：
已知：如图 ， 是 的中位线．求证： ， ．
【类比迁移】
（2）如图 ， 是线段 的中点，点 在 上， 交 于点 ，且 ，试判断线段 和
的数量关系并说明理由．小明发现可以类比以上思路进行证明：如图 ，延长 至点 ，使
，连接 ，易证 ……
请你完成以上证明过程．
【方法运用】
（3）如图 ，在 中， ， ， 为射线 上一个动点（在点 右侧），把线段
绕点 逆时针旋转 得到线段 ，连接 ， 是 的中点，连接 ， ， ， ．
请你判断线段 和 的数量关系并说明理由；
若 ， ，请直接写出 的长．
