文档内容
2025 年秋季九年级开学摸底考试模拟卷
数 学
（考试时间：90分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．考试范围：八年级下册+九年级上册第21章（人教版）。
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合
题目要求的．将唯一正确的答案填涂在答题卡上.
1．下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了最简二次根式的知识，熟练掌握最简二次根式的定义是解答本题的关键．最简二次根
式必须满足两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
【详解】解： A、 含开得尽的因数，不是最简二次根式，不符合题意；
B、 是最简二次根式，符合题意；
C、 被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意；
D、 被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意；
故选：B．
2．下列各项中，矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ）
A．对角相等 B．对边相等 C．邻边相等 D．对角线相等
【答案】D
【分析】本题考查矩形，平行四边形，菱形，正方形的知识，解题的关键是掌握矩形和平行四边形的性质，
菱形和正方形的性质，即可．
【详解】解：A、矩形的四个角都是直角，平行四边形的对角相等，不符合题意；
B、平行四边形的对边相等，矩形具有平行四边形的一切性质，
∴矩形的对边相等，不符合题意；
C、菱形和正方形的邻边相等，矩形和平行四边形的邻边不相等，不符合题意；
D、平行四边形的对角线互相平分，矩形的对角线相等，符合题意；
故选：D．3．若等腰三角形的两边长分别为 和 ，则这个三角形的周长为（ ）
A． B． C． D． 或
【答案】C
【分析】本题考查等腰三角形的性质，分腰长为 和 两种情况，可求得三角形的三边，再利用三角
形的三边关系进行验证，可求得其周长．掌握等腰三角形的两腰相等是解题的关键，注意利用三角形的三
边关系进行验证．也考查了二次根式的加减运算．
【详解】解：∵ ， ，
当腰长为 时，此时三角形的三边长分别为 ， ， ，
∵ ，
∴以 ， ， 为边的三角形不存在；
当腰长为 时，此时三角形的三边长分别为 ， ， ，
且 ，
∵ ，
∴这个三角形的周长为 ．
故选：C．
4．把一元二次方程 ，配成 的形式，则 、 的值是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】D
【分析】本题考查了一元二次方程的配方法，解题的关键是熟练掌握配方法的步骤，将方程转化为完全平
方式．
通过配方法，在方程两边加上一次项系数一半的平方，将方程左边转化为完全平方式，从而得出 和 的
值．
【详解】解：∵
∴ ，
，
即 ，
则
故选：D．
5．某班有45人，一次体能测试后，老师对测试成绩进行了统计．由于小亮没有参加本次集体测试，因此
计算其他44人的平均分为95分，方差 .后来小亮进行了补测，成绩为95分，关于该班45人的测试
成绩，下列说法正确的是（ ）
A．平均分不变，方差变大 B．平均分不变，方差变小C．平均分和方差都不变 D．平均分和方差都改变
【答案】B
【分析】根据平均数，方差的定义计算即可解答．
【详解】解：∵小亮的成绩和其他44人的平均数相同，都是95分，
∴该班40人的测试成绩的平均分为95分，方差变小，
∵44人的方差为39，小芝的成绩是95分，45人的平均分是95分，
∴45人的方差为 ，
∴方差变小，
∴平均分不变，方差变小．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了方差、算术平均数等知识点，掌握方差、算术平均数的计算方法是解答本题的关
键．
6．已知直线 ，若 ， ，那么该直线不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】首先根据 ， ，得到 、 的符号，再根据图像与系数的关系确定直线经过的象限，
进而求解即可．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ， ，
∴直线 经过一、二、三象限，即不经过第四象限．
故选：D．
【点睛】本题考查一次函数图像与系数的关系：① 、 的图像经过一、二、三象限；
② 、 的图像经过一、三、四象限；③ 、 的图像经过一、二、
四象限；④ 、 的图像经过二、三、四象限．解题的关键是根据 、 之间的关系确
定其符号、正确理解和掌握一次数图像与系数的关系．
7．如图，已知 的顶点 ，若将 沿 轴向下平移，使边 的中点
恰好落在 轴上，则点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【分析】本题考查平行四边形的性质，平移的性质，首先根据平移及平行四边形的性质确定 ，利用
中点坐标公式得出 ，从而确定 向下平移 个单位，据此得解．
【详解】解： ， ， 都是 的顶点，
∴ ， ， ，
即线段 沿 轴向右平移 个单位得到线段 ，点 是点 的对应点，点 是点 的对应点，
∴ ，
∵点 是线段 边的中点，
∴点 的坐标为 ，即 ，
∵将 沿 轴向下平移，使边 的中点 恰好落在 轴上，
∴ 沿 轴向下平移 个单位，
∴点 的坐标为 ．
故选：B．
8．如图，直线 和 与x轴分别交于点 ，点 ，则 解集为( )
A． B． C． 或 D．
【答案】D
【分析】根据两条直线与x轴的交点坐标及直线的位置确定不等式组的解集即可．
【详解】解：∵直线 和 与x轴分别交于点 ，点 ，
∴ 解集为 ，
故选D．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式的知识，解题的关键是能够结合图象作出判断，难度不大．
9．如图①，在四边形 中， ， ，点P从点A出发，沿 运动到点
D．图②是点P运动时， 的面积S与点P运动的路程x之间的关系图象，则a的值为（ ）A． B．4 C．5 D．6
【答案】D
【分析】本题考查动点问题的函数图象，矩形的性质和判定，勾股定理，解题的关键是明确题意，能从函
数图象中找到我们需要的信息，利用数形结合的思想解答．
过点C作 于点E，首先根据 的面积是 得到 ，然后得到四边形 是矩形，设
，则 ， ，根据勾股定理求解即可．
【详解】如图，过点C作 于点E，
由图象可知，点P从A到B运动的路程是3，
当点P与点B重合时， 的面积是 ，
，
解得 ，
又 ， ， ，
， ，
四边形 是矩形，
， ，
设 ，则 ， ，
在 中， ，
即 ，
解得 ，
．
故选：D．
10．如图， 中， ， ， ， 为边 上的一动点，以 ， 为边作 ，则线段 长的最小值是（ ）
A． B． C． D．3
【答案】D
【分析】本题考查了平行四边形的性质、垂线段最短、含 角的直角三角形的性质，令 、 交于点
，由平行四边形的性质可得 ， ，即当线段 长最小，则线段 的长最小，
由垂线段最短可得：当 时， 最小，再由含 角的直角三角形的性质即可得出答案，熟练掌
握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：如图，令 、 交于点 ，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
当线段 长最小，则线段 的长最小，
由垂线段最短可得：当 时， 最小，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴线段 长的最小值是 ，故选：D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上
11．已知关于x的一元二次方程 的一个根是 ，则m的值为 ．
【答案】2
【分析】此题考查了一元二次方程，熟知一元二次方程的解满足方程是解题的关键．
根据一元二次方程解的定义，把 代入方程，即可解得m的值．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程 的一个根是 ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：2．
12．已知一次函数的图象与直线y=-x+1平行，且过点(-6，2)，那么此一次函数的表达式为 ．
【答案】
【分析】设此一次函数的解析式为y=kx+b，根据互相平行的两条直线的斜率相等可得k=-1，把（-6，2）
代入y=kx+b可求出b的值，即可得答案．
【详解】设此一次函数的解析式为y=kx+b，
∵此一次函数的图象与直线y=-x+1平行，
∴k=-1，
∵此一次函数过点(-6，2)，
∴2=-（-6）+b，
解得：b=-4，
∴此一次函数的解析式为y=-x-4，
故答案为：y=-x-4
【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征及待定系数法求一次函数解析式，熟记互相平行的两条直
线的斜率相等是解题关键．
13．如图，在 中， ． 于点 ， ． 是斜边 的中点，则
．
【答案】
【分析】本题考查斜边上的中线，等边对等角，根据角的倍数和和差关系求出 的度数，进而求出
的度数，斜边上的中线，得到 ，得到 ，再根据角的和差关系，进行计算即可．
【详解】解：∵ ， ， 是斜边 的中点，∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为： ．
14．把图1中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形分别拼成如图2，图3所
示的正方形，则图1中菱形的边长为 ．
【答案】
【分析】本题考查正方形的性质、菱形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
根据题意和图形，可以先设图1中分成的直角三角形的长直角边为 ，短直角边为 ，然后根据图2和图3
可以列出相应的方程组，从而可以求得直角三角形的两条直角边的长，然后即可求得图1中菱形的边长．
【详解】解：设图1中分成的直角三角形的长直角边为 ，短直角边为 ，
，得 ，
图1中菱形的边长为： ，
故答案为：
15．已知 ，则 ．
【答案】5
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，利用二次根式有意义的条件分析得出答案．
【详解】解： ，
，
解得 ，
，
，
故答案为：5．16．如图，四边形 和四边形 均为正方形，点 为 的中点，若 ，连接 ，则 的
长为 ．
【答案】
【分析】连接 ，把 绕点A顺时针旋转90度，此时 重合，得到 ，连接 ，证明
，可得点F，E， 三点共线，根据等腰三角形的性质 的长度，再求得
，然后根据勾股定理，即可求解．
【详解】解：如图，连接 ，把 绕点A顺时针旋转90度，此时 重合，得到 ，连接
，
∵四边形 和四边形 均为正方形，
∴ ，
由旋转的性质得： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
此时点F，E， 三点共线，
∵ ，
∴ ，
∵点D为 的中点，
∴ ，设 ，则 ，
在 中， ，
∴ ，
解得： ，
即 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
故答案为：
【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质，正方形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定
理，正确画出辅助线，耐心推理是解题的关键．
三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（8分）计算：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查二次根式的混合运算，
（1）先把中括号内的二次根式化为最简二次根式，合并后再进行的除法运算；
（2）将二次根式化为最简二次根式，同时利用完全平方公式和平方差公式将原式展开，再利用平方差公
式作进一步的计算，最后进行加减运算即可；
掌握相应的运算法则、性质及公式是解题的关键．
【详解】（1）解：
；
（2）．
18．（8分）解下列一元二次方程：
(1)
(2)
【答案】(1) ；
(2) ．
【分析】本题主要考查了解一元二次方程：
（1）先移项，然后利用提公因式法分解因式，再解方程即可；
（2）先移项，然后利用公式法解方程即可．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 或 ，
解得 ；
（2）解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得 ．
19．（8分）某校要从甲、乙两位射击队员中挑选一人参加比赛．在最近10次的选拔赛中，他们的射击成
绩（单位：环）信息如下：
信息一：甲、乙队员的射击成绩
甲：10，8，8，10，6，8，6，9，10，8
乙：8，9，10，9，6，7，7，9，10，8
信息二：甲、乙队员射击成绩的部分统计量队
平均数 中位数 众数 方差
员
甲 8.3 8 n 2.01
乙 8.3 m 9 1.61
根据以上信息，回答下列问题：
(1)写出表中m，n的值： ______， ______；
(2)______队员在射击选拔赛中发挥的更稳定（填“甲”或“乙”）；
(3)小瑜认为甲、乙两人射击成绩的平均数一样，推荐哪位队员参赛都可以，你认为他说的对吗？请说明理
由（写出一条合理的理由即可）
【答案】(1)
(2)乙
(3)不对，理由见解析（答案不唯一，合理即可）
【分析】本题考查求中位数，众数，利用方差判断稳定形，利用方差作决策，熟练掌握相关数据的计算方
法和表示意义，是解题的关键：
（1）将乙中数据排序后，第5个和第6个数据的平均数即为中位数，甲中数据出现次数最多的为众数，求
出 的值即可；
（2）根据方差判断稳定性即可；
（3）根据方差作决策即可．
【详解】（1）解：乙中数据排序后，第5个和第6个数据分别为： 和 ，
∴ ；
甲中数据出现次数最多的是 ，故 ；
故答案为： ；
（2）由表格可知：甲的方差大于乙的方差，
∴乙队员在射击选拔赛中发挥的更稳定；
故答案为：乙；
（3）小瑜说的不对，理由如下：
两人成绩的平均数相同，但是甲的方差大于乙的方差，故乙队员发挥更稳定，故应选乙队员参赛．
20（8分）．2024年5月29日，我国谷神星一号海射型遥二运载火箭在日照市黄海海域发射，将4颗卫星
顺利送入预定轨道，发射任务获得圆满成功．如图是火箭从海平面 处发射，当火箭到达 点时，从岸边
处的雷达站测得 的距离是 ；当火箭到达 点时，测得 ，求火箭从 点
上升到 点的高度 ．（结果保留根号）【答案】火箭从 点上升到 点的高度 为
【分析】本题考查了勾股定理，含 的直角三角形的性质，等腰三角形的性质等知识，先利用含 的直
角三角形的性质，得出 ，在 中，利用勾股定理求出 ，利用等角对等边求出 ，即
可求解．
【详解】解：在 中， ，
．
设 ，则 ，
在 中，由勾股定理可列方程：
．解得 ．
即 ．
， ，
．
．
．
．
答：火箭从 点上升到 点的高度 为 ．
21．（8分）如图，有一面墙 长为25米，现在要用长为48米的铁丝，一面用墙，围成中间有一道铁丝
的长方形
(1)当 的长是多少时，围成的长方形 的面积为 ？
(2)能围成总面积为 的长方形吗？请说明原因【答案】(1)10米
(2)不能，见解析
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意找准等量关系正确列出方程是解题的关键．
（1）设 的长是 米，则 的长是 米，根据长方形 的面积为 列出方程，解出
的值，再判断 的长是否超过墙 的长即可得出答案；
（2）设 的长是 米，则 的长是 米，根据题意列出方程，再利用判别式判断方程根的情况
即可得出结论．
【详解】（1）解：设 的长是 米，则 的长是 米，
由题意得， ，
解得： ， ，
当 时， ，不符合题意，舍去；
当 时， ，符合题意；
答：当 的长是10米时，围成的长方形 的面积为 ．
（2）解：不能，原因如下：
设 的长是 米，则 的长是 米，
由题意得， ，
整理得： ，
，
方程没有实数根，
不能围成总面积为 的长方形．
22．（10分）如图，矩形 中， ， ，过对角线 的中点 的直线分别交 ，
与点 ， ．
(1)求证：四边形 是平行四边形；
(2)求当 等于何值时，四边形 是菱形？
(3)在（2）的条件下求四边形 的面积．
【答案】(1)见解析
(2)当 时，四边形 是菱形
(3)【分析】（1）证明 得 ，再由矩形的性质即可证明；
（2）当 时，四边形 是菱形；设 ，在 中，由勾股定理建立方程即可求
解；
（3）利用平行四边形面积公式即可计算．
【详解】（1）证明：矩形 中， ，
∴ ；
∴对角线 的中点为 ，
∴ ；
∵ ，
∴ ，
∴ ；
∵ ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形；
（2）解：当 时，四边形 是菱形；
设 ，则 ；
在矩形 中， ， ，
在 中， ，
即 ，解得： ，
即当 时，四边形 是菱形；
（3）解： ．
【点睛】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定，菱形的判定，全等三角形的判定与性质及勾股定理
等知识，掌握这些判定与性质是解题的关键．
23．（10分）在平面直角坐标系中，直线 与直线 交于点 ， 与 轴交于点
，与 轴交于点 ．
(1)直线 和直线 的解析式；
(2) 为 上一动点，连接 ，若 恰好平分 ，求点 的坐标；
(3) 为x轴上一点，当 是以 为斜边的等腰直角三角形时，求 的面积．【答案】(1)直线 的解析式为 ；直线 的解析式为
(2)
(3)
【分析】（1）根据待定系数法求出函数解析式；
（2）根据 平分 ，得出直线 为一、三象限夹角的平分线，联立 ，求出 ，
即可得出点M的坐标；
（3）求出点C的坐标为 ，设点N的坐标为 ，根据 是以 为斜边的等腰直角三角形，
得出 ，根据两点间距离公式可得 ，求出 ，得出
．
【详解】（1）解：把 分别代入直线 和直线 的解析式得：
， ，
解得： ， ，
∴直线 的解析式为 ，直线 的解析式为 ；
（2）解：∵ ， 平分 ，
∴直线 为一、三象限夹角的平分线，
∴直线 的解析式为 ，
联立 ，
解得： ，
∴点M的坐标为 ；
（3）解：把 代入 得： ，
∴点C的坐标为 ，∴ ，
设点N的坐标为 ，
∵ 是以 为斜边的等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，求出一次函数解析式，求两条直线的交点坐标，两点间距离公
式，解题的关键是熟练掌握待定系数法．
24．（12分）如图，四边形 是正方形．点 是 边上的任意一点， 于点 ， ，
且交 于点 ，连接 ．
（1）请直接写出线段 的关系；
（2）若点 是 延长线上的任意一点，其他条件不变，如图2，(1)中的结论是否依然成立吗？请做出判
断并给予证明；
（3）若点 是 延长线上的一点，且 ， ，其他条件不变，如图3求 的长(直接写出
结果)．
【答案】（1） ；（2）成立，理由见解析；（3） ．
【分析】(1)结论： ；先证明 ，可得 再证明
，可得 结合已知条件从而可得 ；
（2）结论不变，证明过程与方法同理（1）；
（3）由（1）（2）同理可证 ，结合 ， ，利用
勾股定理求解 ，再利用 ，从而可得答案．【详解】解：(1)结论： ．
理由：如图1中，
∵ 于点 且交 于点 ，
∴ 于点 ，
∴ ，
∵四边形 是正方形，
∴ 且 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵四边形 是正方形，
∴ ，
∴ ，
∴ 且 ，
∵
∴ ，
∴ ．
(2)如图2中，结论不变．
理由：延长 交 于
∵ 于点 且交 于点 ，∴ 于点 ，
∴ ，
∵四边形 是正方形，
∴ 且 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵四边形 是正方形，
∴ ，
∴ ，
∴ 且 ，
∵
∴ ，
∴ ．
(3)如图3中，
同理可证 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 中，
∵ ，
∴ ，∴ ．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，全等三角形的判定和性质，
勾股定理的应用，正方形的性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
