文档内容
2025 年秋季九年级开学摸底考试模拟卷
数 学
（考试时间：90分钟 试卷满分：100分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．考试范围：八年级下册全部
第一部分（选择题 共30分）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。
1．下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
√1
A．❑ B．❑√24 C．❑√13 D．❑√0.2
2
【答案】C
【分析】根据最简二次根式的定义逐项分析判断即可求解．
√1 ❑√2 √1
【详解】解：A．❑ = ，所以❑ 不是最简二次根式，故该选项不符合题意；
2 2 2
B． ❑√24=2❑√6，所以❑√24不是最简二次根式，故该选项不符合题意；
C． ❑√13是最简二次根式，故该选项符合题意；
❑√5
D． ❑√0.2= ，所以❑√0.2不是最简二次根式，故该选项不符合题意；
5
故选：C．
【点睛】本题考查最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；
（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
2．众多选手在参加“中国诗词大会第四季”的比赛过程中，有7个选手的得分如下：126，110，132，
91，92，86，91，这组数据的中位数和众数分别是
A．91，92 B．92，86 C．92，91 D．91，104
【答案】C
【分析】根据众数、中位数的定义求解即可
【详解】这组数据按顺序排列为：86，91，91，92，110，126，132，
故众数为：91，
中位数为：92.
故选C.【点睛】此题考查众数、中位数，难度不大
3．点M在一次函数y=-2x+1的图象上，那么点M的坐标可能是（ ）
A．(2,-3) B．(1,3) C．(-2,3) D．(-1,-3)
【答案】A
【分析】此题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，即一次函数图象上点的坐标一定适合此一次函
数的解析式．将四个点分别代入函数的解析式进行验证即可．
【详解】解：A、把(2,-3)代入得，-2×2+1=-3，故本选项符合题意；
B、把(1,3)代入得，-2×1+1=-1≠3，故本选项不符合题意；
C、把(-2,3)代入得，-2×(-2)+1=5≠3，故本选项不符合题意；
D、把(-1,-3)代入得，-2×(-1)+1=3≠-3，故本选项不符合题意；
故选：A．
4．如图，平行四边形ABCD中，若∠B=2∠A，则∠C的度数为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【答案】D
【分析】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．根据平行四边形
的性质结合已知条件即可求解．
【详解】解∶∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∠A=∠C，
∴∠A+∠B=180°，
又∠B=2∠A，
1
∴∠C=∠A= ×180°=60°．
1+2
故选：D．
5．下列计算正确的是（ ）
A．❑√7-❑√2=❑√5 B．❑√18÷❑√3=❑√6
C．❑√4×❑√6=4❑√6 D．❑√(-15) 2＝±15
【答案】B
【分析】根据二次根式的减法、乘法、除法以及二次根式的性质逐项进行计算即可得.
【详解】A. ❑√7与❑√2不能合并，故A选项错误；
B. ❑√18÷❑√3=❑√6，正确；
C. ❑√4×❑√6=2❑√6，故C选项错误；D. ❑√(-15) 2=15，故D选项错误，
故选B.
【点睛】本题考查了二次根式的减法、乘法、除法以及二次根式的化简，熟练掌握各运算的运算法则
是解题的关键.
6．下列曲线（图象），y不是x的函数是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】此题主要考查函数图象的识别，解题的关键是熟知函数的定义．根据函数的定义即可判断．
【详解】解：根据函数定义，在一个变化过程中，有两个变量x、y，对于x的每一个取值，y都有唯一
确定的值与之对应，则y是x的函数．而选项D中的y的值不具有唯一性，所以不是函数图象．
故选：D．
7．如图,菱形ABCD的周长为40cm,对角线AC与BD相交于点O,点E是BC的中点,则OE的长为( )
A．6cm B．5cm C．4cm D．3cm
【答案】B
【分析】先根据菱形的性质得到BC=10cm，AC⊥BD，然后根据直角三角形斜边上的中线性质求解．
【详解】∵四边形ABCD为菱形周长=40cm，
∴BC=10cm，AC⊥BD，
∵E为BC的中点，
1
∴OE= BC=5cm．
2
故选B．
【点睛】考查了菱形的性质：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．熟练掌握菱形的性质（菱形具
有平行四边形的一切性质； 菱形的四条边都相等； 菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线
平分一组对角）．8．如图，点E是正方形ABCD内一点，∠AEB=90°．若AE=2，BE=3，则正方形ABCD的面积为
（ ）
A．10 B．13 C．36 D．169
【答案】B
【分析】利用勾股定理求出AB2即可得出答案．
【详解】解：∵∠AEB=90°，
∴AB2=AE2+BE2=22+32=13，
∴正方形ABCD的面积＝AB2=13，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，即在直角三角形中，两个直角边边长的平方和等于斜边长的平方．
9．一次函数y＝kx﹣b，当k＜0，b＜0时的图象大致位置是( )
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先根据k＜0，b＜0判断出一次函数y=kx-b的图象经过的象限，进而可得出结论．
【详解】解：∵一次函数y=kx-b，k＜0，b＜0，
∴-b＞0，
∴函数图象经过一二四象限，
故选A．
【点睛】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，熟知一次函数y=kx+b（k≠0）中，当k＜0，b＞
0时的图象在一、二、四象限是解答此题的关键．
10．如图，在矩形ABCD中，BC＝8，CD＝6，将 ABE沿BE折叠，使点A恰好落在对角线BD上F处，
则EF的长是（ ）
△24 89
A．3 B． C．5 D．
5 16
【答案】A
【分析】根据矩形ABCD,得到∠BCD=90°，根据勾股定理，得到BD=❑√BC2+CD2=10，根据折叠的
性质，得到AE=EF，BA=BF=CD=6，则DF=4，设AE=EF=x，则ED=8-x，在直角三角形EDF中，根
据勾股定理，得到42+x2=(8-x) 2，求得x即可．
【详解】因为矩形ABCD，
所以∠BCD=∠A= 90°，AB=CD=6，AD=BC=8，
所以BD=❑√BC2+CD2=10，
根据折叠的性质，得到AE=EF，BA=BF=CD=6，∠BFE=∠A= 90°，
所以DF=4，
设AE=EF=x，则ED=8-x，
在直角三角形EDF中，根据勾股定理，得到42+x2=(8-x) 2，
解得x=3，
故选A．
【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，熟练掌握矩形的性质，勾股定理是解题的
关键．
第二部分（非选择题 共90分）
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11．若二次根式❑√x-3在实数范围内有意义，则x的取值范围为 ．
【答案】x≥3
【分析】本题考查二次根式有意义的条件，掌握被开方数为非负数是解题关键．先根据二次根式有意
义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．
【详解】解：∵二次根式❑√x-3在实数范围内有意义，
∴x-3≥0，
解得x≥3．
故答案为：x≥3．
12．已知A，B，C三地的位置及两两之间的距离如图所示．若D地位于A，C两地的中点处，则B，D两
地之间的距离是 km．13 1
【答案】 /6 /6.5
2 2
【分析】此题考查勾股定理的逆定理的应用，首先根据勾股定理逆定理证明出∠ABC=90°，然后利
用直角三角形的性质求解即可．
【详解】解：∵AB=12km，BC=5km，AC=13km
∴AB2+BC2=122+52=169，AC2=132=169
∴AB2+BC2=AC2
∴∠ABC=90°
∵D地位于A，C两地的中点处
1 13
∴BD= AC= (km)．
2 2
13
故答案为： ．
2
13．某中学科技节的作品得分包括三部分，专家评委给出的专业得分，宣传展示得分以及通过同学们投票
得到的支持得分．按专业得分占50%、展示得分占40%、支持得分占10%，计算该作品的综合成绩．
已知某个作品各项得分如下表所示（各项得分均按百分制计），则该作品的最后得分为 ．
专业得 展示得 支持得
项目
分 分 分
成绩 96 98 96
（分）
【答案】96.8分
【分析】此题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义．根据加权平均数的定义列
式计算即可．
【详解】解：根据题意得：
96×50%+98×40%+96×10%=96.8（分)，
∴该作品的最后得分是96.8分．
故答案为：96.8分．
14．如图，函数y=kx+b（k≠0）的图象经过点B(m，0)（m>1），与函数y=2x的图象交于点A，则
不等式kx+b≤2x的解集为 ．【答案】x≥1
【分析】先确定直线的解析式，再解不等式组求解集即可．
本题考查了待定系数法，解不等式组，熟练掌握待定系数法，灵活解不等式组是解题的关键．
【详解】解：在y=2x中，令y=2时，则2x=2，
∴x=1，
∴A(1,2)，
由图可得：不等式kx+b≤2x的解集为x≥1．
故答案为：x≥1．
15．在△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，D为BC中点，BE=3，DE⊥DF，CF=❑√7，则EF=
【答案】4
【分析】连接AD，分别证明△BDE≌△ADF,△CDF≌△ADE，得到BE=AF,AE=CF，再利用
勾股定理进行求解即可．
【详解】解：在△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，
∴∠B=∠C=45°，
连接AD，
∵D为BC中点，
∴AD=BD=CD，∠ADB=∠ADC=∠BAC=90°，
∴∠DAF=∠B=∠DAB=45°，∵DE⊥DF，
∴∠EDF=90°，
∴∠BDE=∠ADF=90°-∠ADE，
∴△BDE≌△ADF(ASA)，
∴AF=BE=3，
同法可证：△CDF≌△ADE，
∴AE=CF=❑√7，
在Rt△EAF中，EF=❑√AE2+AF2=4，
故答案为：4．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理．解题的关键是添加辅助
线，构造全等三角形．
16．如图，已知点P(-1,0)，直线y=x+3与x轴，y轴分别交于点A,B，点M,N分别是直线AB,y轴上的
动点，则MN+NP的最小值是 ．
【答案】2❑√2
【分析】可得点P(-1，0)关于y轴对称的点Q的坐标为(1,0), 过点Q作QM⊥AB于M, 交y轴于点
N，根据轴对称以及垂线段最短的性质可得此时MN+NP=MN+NQ的值最小, 根据等腰直角三角形
的性质即可求解．
【详解】作点P(-1，0)关于y轴对称的点Q，则点Q坐标为(1,0), 过点Q作QM⊥AB于M, 交y轴
于点N，
∴NP=NQ，
此时MN+NP=MN+NQ=MQ的值最小，
∵直线y=x+3与x轴,y轴分别交于点A,B，
∴A(-3,0),B(0,3)，
∴∠OAB=∠OBA=45°，
∴△AMQ是等腰直角三角形，∴AM2+MQ2=AQ2，即2MQ2=42，
∴MQ=2❑√2或MQ=-2❑√2（舍去），
∴MN+NP的最小值为：2❑√2．
故答案为：2❑√2．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征.等腰直角三角形的性质，轴对称求最小值，根据题
意找出点M、N的位置是解题的关键．
三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．计算：
(1)√3 -27+❑√9-❑√(-1) 2；
(2)-❑√16+|❑√3-2|-(1-❑√3)．
【答案】(1)-1
(2)-3
【分析】本题考查的是算术平方根，立方根，化简绝对值．
（1）分别计算算术平方根，立方根，再合并即可；
（2）分别计算算术平方根，化简绝对值，再合并即可．
【详解】（1）解：原式=(-3)+3-1
=-1；
（2）解：=-4+(2-❑√3)-(1-❑√3)
=-4+2-❑√3-1+❑√3
=-3．
18．如图，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(1,1)、B(4,2)、C(3,4)．
(1)直接写出△ABC的面积为 ；并画出△ABC关于y轴的对称图形△A B C ；
1 1 1
(2)画出△ABC沿y轴向下平移3个单位得到△A B C ；
2 2 2
(3)在y轴上求作一点P，使△PAC的周长最小，并直接写出点P的坐标．
【答案】(1)3.5；图见解析
(2)见解析( 7)
(3)见解析，P 0, ．
4
【分析】本题考查了坐标系中的点对称，点的平移，动点到两个定点距离之和最小．
（1）利用割补法可求得△ABC的面积；根据轴对称的特点，确定对应的对称点，顺次连接三个对称
点即得对称图形；
（2）根据平移的特点，确定对应的点，依次连接三个点即得到平移后的三角形；
（3）连接AC ，与y轴的交点就是点P，此时△PAC的周长最小，再利用待定系数法即可求得点P的
1
坐标．
1 1 1
【详解】（1）解：△ABC的面积为=3×3- ×3×1- ×3×2- ×1×2=3.5，
2 2 2
△A B C ，如图示；
1 1 1
故答案为：3.5；
（2）解：△A B C ，如图示；
2 2 2
（3）解：连接AC ，交y轴于点P，此时△PAC的周长最小，如图；
1
设直线AC 的解析式为y=kx+b，
1
∵A(1,1)，C (-3,4)，
1
∴¿，解得¿，
3 7
∴直线AC 的解析式为y=- x+ ，
1 4 4
7
令x=0，则y= ，
4
( 7)
∴P 0, ．
4
19．数学运算是数学核心素养的重要部分，为了了解九年级学生的数学运算能力，某校对全体九年级同学
进行了数学运算水平测试，并随机抽取50名学生的测试成绩进行整理和分析（成绩共分成六组：A．
1100，∴当m=30时，w最小，最小值为7200，
∴w与m的函数关系式的关系式为w=20m+7200，最少购买费用为7200元．
22．综合与实践
(1)【知识感知】如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形，在我们学过的：①平行四
边形②矩形③菱形④正方形中，能称为垂美四边形是______（只填序号）；
(2)【概念理解】如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，问四边形ABCD是垂美四边形
吗？请说明理由；
(3)【性质探究】如图1，垂美四边形ABCD的两对角线交于点O，试探究AB，CD，BC，AD之
间有怎样的数量关系？写出你的猜想 ；
(4)【性质应用】如图3，分别以Rt△ABC的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形
ABDE，连接CE，BG，GE已知AC=4，AB=5，则GE长为 ．
【答案】(1)③④
(2)四边形ABCD是垂美四边形，理由见解析
(3)AD2+BC2=AB2+CD2
(4)❑√73
【分析】（1）根据各几何图形的性质即可求解；
（2）连接AC,BD，由题意得点A在线段BD的垂直平分线上，点C在线段BD的垂直平分线上，据
此即可求解；
（3）根据AD2=AO2+DO2,BC2=BO2+CO2,AB2=AO2+BO2,CD2=CO2+DO2即可求解；
（4）连接BE、CG，设AB与CE交于点M，证△CAE≌△GAB得∠ABG=∠AEC，可得
CE⊥BG，结合（3）的结论即可求解．
【详解】（1）解：∵菱形和正方形的对角线均互相垂直，
∴菱形和正方形是垂美四边形
故答案为：③④
（2）解：四边形ABCD是垂美四边形，理由如下：
连接AC,BD，如图所示：∵AB=AD，CB=CD
∴点A在线段BD的垂直平分线上，点C在线段BD的垂直平分线上，
∴直线AC是线段BD的垂直平分线，
∴AC⊥BD
即：四边形ABCD是垂美四边形；
（3）解：∵AD2=AO2+DO2,BC2=BO2+CO2,AB2=AO2+BO2,CD2=CO2+DO2
∴AD2+BC2=AO2+BO2+CO2+DO2=AB2+CD2
故答案为：AD2+BC2=AB2+CD2；
（4）解：如图3，连接BE、CG，设AB与CE交于点M，
由题意得：AB=AE,AG=AC,∠BAE=∠GAC=90°
∴∠BAE+∠CAB=∠GAC+∠CAB
即：∠CAE=∠GAB
∴△CAE≌△GAB
∴∠ABG=∠AEC
∵∠AEC+∠AME=90°，∠AME=∠CMB，
∴∠ABG+∠CMB=90°
∴CE⊥BG
由（3）可得：GE2+BC2=CG2+BE2
∵AC=AG=4，AB=AE=5
∴BC=❑√AB2-AC2=3,CG=❑√AC2+AG2=4❑√2,BE=❑√AB2+BE2=5❑√2
∴GE2+9=32+50
∴GE=❑√73
故答案为：❑√73.
【点睛】本题考查了特殊平行四边形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，垂直平分线的性质等知识点，熟记相关结论即可.
23．综合与实践：
问题背景：在一次综合与实践课上，老师让同学们以两个全等的三角形纸片为操作对象，进行相关问
题的研究，下面是创新小组在操作纸片过程中研究的问题，请你解决这些问题，如图1，
△ABC≌△DEF，其中∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2，AB=2BC．
操作与发现：
（1）如图2，创新小组将两张三角形纸片按如图所示的方式放置后，经过观察发现四边形ACBF是矩
形，请你证明这个结论．
操作与探究：
（2）创新小组在图2的基础上，将△DEF纸片沿AB方向平移至如图3的位置，其中点E与AB的中点重
合，连接CE，BF，经过探究后发现四边形BCEF是菱形，请你证明这个结论．
（3）创新小组在图3的基础上又进行了探究，将△DEF纸片绕点E逆时针旋转至DE与BC平行的位置，
如图4所示，连接AF，BF，创新小组经过观与推理后发现四边形ACBF是矩形，请你证明这个结论．
提出问题：
（4）请你参照以上操作，在图2的基础上，通过平移或旋转△DEF构造出的图形，在图5中画出这个图
形，标明字母，说明构图方法，写出你发现的结论，不必证明．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析；（4）见解析
【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质、菱形的知识、矩形的知识，解（1）的关键是判
断四边形ACBF是平行四边形；解（2）的关键是判断出BE=CE；解（3）的关键是判断出△AEF是
等边三角形；（4）画出图形是解答关键．
（1）利用平行四边形的判断方法先判断出四边形ACBF是平行四边形，即可得出结论；
（2）先求出∠BAC=30°，再判断出四边形BCEF是平行四边形，进而判断出BC=CE，即可得出结
论；
（3）先求出∠ABC=60°，进而判断出△AEF是等边三角形，即可判断出四边形ACBF是平行四边
形，即可得出结论；
（4）把△DEF平移DF的长度可得到四边形ACDB为平行四边形．
【详解】（1）证明：∵△ABC≌△DEF，
∴AC=DF=BF，BC=EF=AF，
在四边形ACBF中，AC=BF，BC=AF，
∴四边形ACBF是平行四边形，∵∠ACB=90°，
∴平行四边形ACBF是矩形；
（2）证明：在Rt△ABC中，∠ABC=60°，
∴∠A=30°，
∵△ABC≌△DEF与平移可知，BC=EF，BC∥EF，
∴四边形BCEF是平行四边形，
∵∠ACB=90°，∠A=30°，
1
∴BC= AB ，
2
∴点E与AB的中点重合，∠ACB=90°，
1
∴CE= AB，
2
1
∴BC=CE= AB，
2
在平行四边形BCEF中，BC=CE，
∴平行四边形BCEF是菱形；
（3）证明：在Rt△ABC中，∠ABC=60°，
∵△ABC≌△DEF，点E是AB中点，∠BAC=30°，
∴EF=AE=BC，∠DEF=60°，
∵DE∥BC，
∴∠BED=∠ABC=60°，
∴∠AEF=180°-∠DEF-∠BED=60°，
∴△AEF是等边三角形，
∴∠EAF=60°，AF=AE，
∵AE=BC，AF=BC，
∵∠EAF=∠ABC=60°，
∴AF∥BC，
在四边形ACBF中，AF=BC，AF∥BC，
∴四边形ACBF是平行四边形，
∵∠ACB=90°，
∴平行四边形ACBF是矩形；
（4）解：构图方法：
如图所示，将△DEF向下平移DF的长度，得到四边形ACDB为平行四边形．理由如下，由平移可得：AC=BD，AB=CD，
∴四边形ACDB为平行四边形．
24．如图1，经过点A（-6，0）的直线AB与y轴交于点B，与直线y=-x交于点C，点C的横坐标为-2，
点P是直线AB上的一个动点（点P与A，B不重合），过点P作 y轴的平行线，分别交直线y=-x和
x轴于点D，E，设动点P的横坐标为t．
（1）求直线AB所对应的函数表达式；
（2）当DP=6时，求t的值；
（3）如图2，作PF∥ x轴，交直线y=-x于点F． 在点P运动过程中，是否存在某一时刻，使得
A，E，F，P四点构成的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由．
1 18 6
【答案】（1）y= x+3；（2）t=2或t=-6；（3） P（6，6）或（- ， ）
2 5 5
【分析】（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，先求出C的坐标，然后用待定系数法求出AB的解析
式即可；
1 | 1 |
（2）由题意可得P（t, t+3），D（t，-t），则PD= -t- t-3 =6，由此求解即可；
2 2
（3）先求出F的坐标，E点的坐标，根据AE=PF，求解即可．
【详解】解：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，
∵C的横坐标为-2，且C在y=-x上，
∴C（-2，2），
∴¿，
解得¿
1
∴直线AB的解析式为：y= x+3；
2
（2）∵动点P的横坐标为t，1
∴P（t, t+3），D（t，-t），
2
| 1 |
∴PD= -t- t-3 =6，
2
3
∴ t+3=±6
2
解得t=2或t=-6
1
（3）由（2）得P（t, t+3），
2
∵PF∥x轴，且F在直线y=-x上，
∴点P和F的纵坐标相同，
1 1
∴F（- t-3， t+3），
2 2
∵A，E，F，P四点构成的四边形是平行四边形，
∴AE=PF，
∵E（t，0）
| 1 |
∴|t+6|= t+ t+3
2
18
解得t=6或t=-
5
18 6
∴ P（6，6）或（- ， ）．
5 5
【点睛】本题主要考查了一次函数的综合应用，平行线的性质，绝对值等等，解题的关键在于能够熟
练掌握相关知识进行求解．
