文档内容
2025 年秋季九年级开学摸底考试模拟卷
数学·答案及评分参考
一、选择题（每小题3分，共30分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C C C D D C C D A
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．1（不唯一）
12．
13．3
14．
15． 或6
三、解答题（一）本大题共3小题，每小题7分，共21分。
16．
【详解】解：（1）
由①得 ，
由②得 ，
∴该不等式组的解集为 ，
不等式组的解集在数轴上表示为：
...................3分
（2）
，...................5分
∵ ， ，∴当 时，原式 ；
当 时，原式 ．...................7分
17．
【详解】（1）解：由 ，运用了完全平方公式因式分解，即公式法．
故选：B；...................2分
（2）解：设 ，
原式
．...................7分
18．
【详解】（1）证明： ，
四边形 是平行四边形，
又 四边形 是菱形，
，
，
平行四边形 是矩形．...................3分
（2）解：连接 ，如图，
四边形 是矩形，
，
四边形 是菱形，
，
又 ，
，
是等边三角形， ，
，在 中，由勾股定理得， ，
∴ ，
．...................7分
四、解答题（二）本大题共3小题，每小题9分，共27分。
19．
【详解】解：（1）设购买甲种原料的单价为x元/克，则购买乙种原料的单价为（ ）元/克．
由题意，可得 ，
解得 ．
经检验， 为分式方程的解，且符合题意．
（元/克）．
答：购买甲种原料的单价为 元/克，购买乙种原料的单价为 元/克．...................3分
（2）设购买甲种原料m克，则购买乙种原料（ ）克．
由题意，得 ，解得 ．...................6分
设费用为W元．
由题意，可得 ，
∵ ，
∴W随m的增大而增大．
∴当m取最小值 时，W有最小值，最小值为 ．
∴ （克）．
答：当购买甲种原料 克，乙种原料 克时，才能使得费用最低，最低费用为 元．...................9分
20．
【详解】（1）解：过点O作 于点M， 于点N，如图所示：
∴ ，
∵四边形 是正方形，且边长为4，
∴ ，∴ ，
∴四边形 是矩形，
∵ ， ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴矩形 是正方形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ；...................4分
（2）解：当点E在 边上运动时，四边形 的面积不会发生变化，始终等于4，理由如下：
连接 ，如图所示：
∵四边形 是正方形，点 为对角线 的中点，
∴ ， ，
∴ 是等腰直角三角形
∵
∴
则
由（1）得
∴由（1）得 ，矩形 是正方形，
则 ．...................9分
21．
【详解】（1）证明： 线段 绕点 逆时针旋转 得到 ，
， ，
为等边三角形，
，
，
，
在 和 中，
，
，
；...................4分
（2）解： ，
，
，
，
故答案为： ；
（3）解： 平分 ．理由如下，
如图，过点 作 ， ，垂足分别为 ， ，
，
，
，
，
在 和 中，
，，
， 平分 ．...................9分
五、解答题（三）本大题共2小题，第22小题13分，第23小题14分，共27分。
22．
【详解】（1）解：如图，
∵ 和 都是正三角形，
∴ ， ，
∵将射线OM绕点O逆时针旋转 ，得到射线ON，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ；...................4分
（2）解： ，理由如下：
过点 作 交 于点 ，如图，
∵ 和 都是正三角形，
∴ ，
∴ ，∴ ， ，
∴ ， ，
∴ 是等边三角形，
∴ ， ，
又 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ...................8分
（3）解：作 于点 ，
∴ ，
由勾股定理得 ；
①当点 在线段 上时，点 在线段 时，如图，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
过点 作 交 于点 ，则 ，
而 ,
∴ 是等边三角形，
∴ ；
∵ ，
∴ ，
∴ ，
又 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ,∴ ；
点 在线段 的延长线上时，如图，
同理可得 ，
∴ ，
∴ ；
②当点 在线段 上时，点 在线段 时，如图，
同理可得 ，
∴ ，
∴ ；
点 在线段 的延长线上时，如图，
同理可得 ,
综上，满足条件的 的值为5或3或1．...................13分
23．
解：（ ）证明：如图，延长 至 ，使 ，连接 ，在 和 中，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∴ ， ；...................4分
（ ） ，
理由如下：如图 ，延长 至点 ，使 ，连接 ，
同（ ）理 ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；...................8分
（ ） ．理由如下：
如图，延长 至点 ，使 ，连接 ， ，
∵点 为 的中点，
∴ ，
在 和 中，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ， ，∴ ，
∵线段 绕点 逆时针旋转 得到线段 ，
∴ ， ．
∴ ，
∵四边形 是平行四边形， ，
∴ ， ，
∴ 是等边三角形，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，即 ；...................11分
解：由题意知， ，
分 是 的中位线和 不是 的中位线两种情况求解，
当 是 的中位线时， ，
∴ ；
当 不是 的中位线时，如图 ，取 中点 ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，∴ ，
设 ，则 ，
∴ ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
综上可知： 的长为 或 ．...................14分
