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第 72 讲 圆锥曲线中的探索性问题
题型一、是否存在参数的成立问题
例1、（2022·山东淄博·高三期末）已知双曲线 的左焦点为F，右顶点为A，渐近
线方程为 ，F到渐近线的距离为 ．
(1)求C的方程；
(2)若直线l过F，且与C交于P，Q两点（异于C的两个顶点），直线x=t与直线AP，AQ的交点分别为
M，N．是否存在实数t，使得|⃑FM+⃑FN|=|⃑FM−⃑FN|？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
变式1、（2021·江苏南京市高三三模）在平面直角坐标系 中，已知抛物线 ，经过
的直线 与 交于 两点.
（1）若 ，求 长度的最小值；
（2）设以 为直径的圆交 轴于 两点，问是否存在 ，使得 ？若存在，求出 的值；
若不存在，请说明理由.变式2、（2021·辽宁实验中学高三模拟）已知椭圆 的中心在坐标原点，焦点在 轴上，椭圆 上的点到
右焦点F距离的最大值为3，最小值为
（1）求椭圆 的标准方程：
（2）设 和 是通过椭圆 的右焦点F的两条弦，且 .问是否存在常数 ，使得
恒成立？若存在，求 的值；若不存在，请说明理由.
题型二、是否存在定点、定值问题
例2、（2023·安徽·统考一模）我们约定，如果一个椭圆的长轴和短轴分别是另一条双曲线的实轴和虚轴，
则称它们互为“姊妺”圆锥曲线.已知椭圆 ，双曲线 是椭圆 的“姊妺”圆锥曲
线， 分别为 的离心率，且 ，点 分别为椭圆 的左､右顶点.
(1)求双曲线 的方程；
(2)设过点 的动直线 交双曲线 右支于 两点，若直线 的斜率分别为 .（i）试探究 与 的比值 是否为定值.若是定值，求出这个定值；若不是定值，请说明理由；
（ii）求 的取值范围.
变式1、（2023·湖南邵阳·统考三模）已知椭圆C： 的离心率为 ，且过点 .
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)已知O为坐标原点，A，B，P为椭圆C上不同的三点，若 .试问：△ABP的面积是否为定
值？如果是，求出这个定值，如果不是，请说明理由.
变式2、（2023·黑龙江哈尔滨·哈师大附中统考三模）已知椭圆 .
(1)若 为椭圆上一定点，证明：直线 与椭圆 相切；
(2)若 为椭圆外一点，过 作椭圆 的两条切线，切点分别为 ，直线 分别交直线
于 两点，且 的面积为8.问：在 轴是否存在两个定点 ，使得
为定值.若存在，求 的坐标；若不存在，说明理由.变式3、（2023·河北唐山·统考三模）已知双曲线 ，左､右顶点分别为 ，经过右焦
点 垂直于 轴的直线与 相交于 两点，且 .
(1)求 的方程；
(2)若直线 与圆 相切，且与双曲线左､右两支分别交于 ， 两点，记直线 的斜
率为 ， 的斜率为 ，那么 是否为定值？并说明理由.
变式4、（2023·黑龙江大庆·统考三模）已知椭圆 的离心率为e，且过 ，
两点.(1)求椭圆E的方程；
(2)若经过 有两条直线 ， ，它们的斜率互为倒数， 与椭圆E交于A，B两点， 与椭圆E交于
C，D两点，P，Q分别是 ， 的中点.试探究： 与 的面积之比是否为定值？若是，请求
出此定值；若不是，请说明理由.题型三、是否存在定轨迹等问题
例3、（2023·江苏泰州·泰州中学校考一模）已知椭圆 的左右焦点分别为 ， ，
离心率是 ，P为椭圆上的动点.当 取最大值时， 的面积是
（1）求椭圆的方程：
（2）若动直线l与椭圆E交于A，B两点，且恒有 ，是否存在一个以原点O为圆心的定圆C，
使得动直线l始终与定圆C相切？若存在，求圆C的方程，若不存在，请说明理由
变式1、（2022·广东梅州·二模）已知动点 到点 和直线 ： 的距离相等.
(1)求动点 的轨迹方程；
(2)设点 的轨迹为曲线 ，点 在直线 上，过 的两条直线 ， 与曲线 相切，切点分别为A，，以 为直径作圆 ，判断直线 和圆 的位置关系，并证明你的结论.
变式2、（2021·河北邯郸市高三三模）已知抛物线 的焦点为F，准线为l.设过点F且不与x轴平
行的直线m与抛物线C交于A，B两点，线段AB的中点为M，过M作直线垂直于l，垂足为N，直线MN
与抛物线C交于点P.
（1）求证：点P是线段MN的中点.
（2）若抛物线C在点P处的切线与y轴交于点Q，问是否存在直线m，使得四边形MPQF是有一个内角为
的菱形？若存在，请求出直线m的方程；若不存在，请说明理由.
