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2025 年秋季七年级开学摸底考试模拟卷
数学•全解全析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．若分式 有意义，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：依题意，
解得：
故选：D．
2．中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别
代表“立春”“立夏”“大雪”“芒种”，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：A．该图是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；
B．该图既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意；
C．该图既是轴对称图形，又是中心对称图形，故符合题意；
D．该图既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意；
故选C．
3．如果把分式 中的 和 都扩大为原来的3倍，那么分式的值（ ）
A．不变 B．缩小为原来的 C．扩大为原来的3倍 D．扩大为原来的6倍
【答案】C
【详解】解：设 ，
根据分式的性质，得 ，扩大为原来的3倍，
故选：C．
4．下列各式从左到右的变形中，是因式分解且完全正确的是（ ）
A． B．
C． D．【答案】C
【详解】解：∵ 不是因式分解，
∴A不合题意；
∵ 不是因式分解，
∴B不合题意；
∵ 是因式分解，
∴C合题意；
∵ ，
∴D不符合题意；
故选：C．
5．在 中，若 ，则下列条件不能判定 是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】选项A： ，则 ．存在直角，能判定为直角三角形，
排除．
选项B：设 ， ， ．验证勾股定理： 满足勾股
定理，能判定为直角三角形，排除．
选项C： ．验证勾股定理： 满足勾股定理，能判定为直角三角形，
排除．
选项D： ．验证三边关系： 三边无法构成三角形，更不可能
是直角三角形．
故选D．
6．若 ，则下列各式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】A、根据不等式的基本性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．
因为 ，两边同时减1，得到 ，而不是 ，所以A错误；
B、根据不等式的基本性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．
因为 ，两边同时除以2（2是正数），得到 ，而不是 ，所以B错误；C、左边加3，右边减3，相当于 和 的差距扩大．例如取 ， ，则 ， ，显然
，故C错误；
D、根据不等式的基本性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
因为 ，两边同时乘以 ，不等号方向改变，得到 ，所以D正确．
故选：D．
7．如图，已知菱形 的周长为12， ，则 的长为（ ）
A．6 B．4 C．3 D．2
【答案】C
【详解】解：如图，
∵菱形 的周长为12，
∴ ，
∵ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
故选：C．
8．如图，在 中， ， ， 平分 交 于点E，作 于点G并延长交
于点F，则线段 的长为（ ）
A．2 B． C．3 D．4
【答案】C
【详解】解：∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ， ，∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选C．
9．如果关于 的分式方程 的解为非负数，那么实数 的取值范围为（ ）
A． B． 且
C． D． 且
【答案】D
【详解】解：原方程两边同乘 ，得 ，解得 ，
分式方程的解为非负数，
， ，
又 分母不为0，
，即 ，
，
综上可知， 且 ．
故选：D．
10．已知：如图， 中，点 是 边上一点， ， ， 平分 ，且
于 ，与 相交于点 ，若 于 ，交 于点 ．有以下结论：
① ；② ；③若连接 ，则 ；④点 是 的中点；⑤ 与 成
轴对称．以上五个结论中正确的是（ ）A．①③⑤ B．①④⑤ C．①②③⑤ D．①③④⑤
【答案】A
【详解】解：∵ ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，故①正确；
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ；故②错误；
连接 ，
∵ ，
∴ ，
∴
∵ ，
∴ 垂直平分 ， ，
∴ ， ，故③正确；
在 中， ，
∴ ，故④错误；
∵ ， 平分 ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 垂直平分 ，
∴ 与 成轴对称，故⑤正确；故选：A．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．请写出一个满足条件的m值，使得分式 的值为整数： ．
【答案】1（不唯一）
【详解】解：当 时， ，其值为整数，
所以 ．
故答案为：1（答案不唯一）．
12．如图， 是由 绕点 按顺时针方向旋转 后得到的，点B、C的对应点分别为点
，已知 ，则 的长为 ．
【答案】
【详解】在 中， ，
∴ ．
又因为 是 绕点 旋转 后得到的，
所以 ，且 ， ， 三点共线，
所以 ．
故答案为： ．
13．把一段长 的铁丝分成两段，将每一段都围成一个最大的正方形，如果这两个正方形的面积之差
是 ，则这两个正方形的边长相差 ．
【答案】3
【详解】解：设两段铁丝的长分别为 ， ， ，
根据题意，得 ，
∴ ，
∵这两个正方形的面积之差是 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即这两个正方形的边长相差 ，
故答案为：3．
14．如果关于 的不等式组 有且只有5个整数解，则符合条件的所有整数 的和为
．
【答案】
【详解】解：由 ，得 ，
由 ，得 ，
关于 的不等式组有且只有 个整数解，
这 个整数解是 ， ， ， ， ，
，
解得： ，
满足条件的整数 的值为 ， ， ，
符合条件的所有整数 的和为 ，
故答案为： ．
15．如图，在矩形 中， ， ． 为 边上一点， ，连接 ．点 从点 出发，
以每秒1个单位长度的速度沿着边 向终点 运动，连接 ．设点 运动的时间为 秒，当 为
时， 为直角三角形．
【答案】 或6
【详解】解：∵四边形 是矩形，且 ，
，
∵ 为 边上一点， ，
，
在 中，由勾股定理得 ，
依题意得 ，
，
，∴当 是直角三角形时，有以下两种情况：
①当 时，
过点 作 于点 ，如图1所示：
，
∴四边形 是矩形，
，
，
在 和 中，由勾股定理得： ，
，
解得： ；
②当 时，如图2所示：
，
∴四边形 是矩形，
，
，
解得： ；
综上所述：当 为 或6时， 为直角三角形，
故答案为： 或6．
三、解答题（一）本大题共3小题，每小题7分，共21分。
16．（1）解不等式组： ，并在数轴上表示该不等式组的解集；（2）先化简： ，再从 的整数中选取一个你喜欢的x的值代入求值．
【详解】解：（1）
由①得 ，
由②得 ，
∴该不等式组的解集为 ，
不等式组的解集在数轴上表示为：
（2）
，
∵ ， ，
∴当 时，原式 ；
当 时，原式 ．
17．下面是某同学对多项式 进行因式分解的过程．
解：设 ．
原式 （第一步）
（第二步）．
（第三步）．
（第四步）．
回答下列问题：
(1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的______．
A．提公因式法 B.公式法
(2)请你模仿以上方法尝试对多项式 进行因式分解．【详解】（1）解：由 ，运用了完全平方公式因式分解，即公式法．
故选：B；
（2）解：设 ，
原式
．
18．如图，点O是菱形 对角线的交点，过点 作 ，过点 作 ， 与 相交于点
E．
(1)求证：四边形 是矩形；
(2)连接 ，若 ，求菱形 的面积．
【详解】（1）证明： ，
四边形 是平行四边形，
又 四边形 是菱形，
，
，
平行四边形 是矩形．
（2）解：连接 ，如图，
四边形 是矩形，
，
四边形 是菱形，
，
又 ，
，是等边三角形， ，
，
在 中，由勾股定理得， ，
∴ ，
．
四、解答题（二）本大题共3小题，每小题9分，共27分。
19．某长跑俱乐部的营养师需要用甲、乙两种原料为运动员配置功能饮料，已知每克甲种原料比每克乙种
原料贵 元，且用 元购买的甲种原料与用 元购买的乙种原料一样多．已知每克甲种原料含 单位
的钠元素，每克乙种原料含 单位的钠元素．
(1)求购买甲、乙两种原料的单价．
(2)若购买甲、乙两种原料共 克，在钠元素总含量不低于 单位的情况下，如何选购原料才能使得费用
最低？最低费用是多少元？
【详解】解：（1）设购买甲种原料的单价为x元/克，则购买乙种原料的单价为（ ）元/克．
由题意，可得 ，
解得 ．
经检验， 为分式方程的解，且符合题意．
（元/克）．
答：购买甲种原料的单价为 元/克，购买乙种原料的单价为 元/克．
（2）设购买甲种原料m克，则购买乙种原料（ ）克．
由题意，得 ，解得 ．
设费用为W元．
由题意，可得 ，
∵ ，
∴W随m的增大而增大．
∴当m取最小值 时，W有最小值，最小值为 ．
∴ （克）．
答：当购买甲种原料 克，乙种原料 克时，才能使得费用最低，最低费用为 元．
20．如图，正方形 的边长为4，点 为对角线 的中点，点 为 边上的动点，点 在 边上，
连接 ， ， ．(1)求证： ．
(2)当点 在 边上运动时，四边形 的面积是否会发生变化？若不变，请求出其面积；若改变，请
说明理由．
【详解】（1）解：过点O作 于点M， 于点N，如图所示：
∴ ，
∵四边形 是正方形，且边长为4，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是矩形，
∵ ， ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴矩形 是正方形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ；（2）解：当点E在 边上运动时，四边形 的面积不会发生变化，始终等于4，理由如下：
连接 ，如图所示：
∵四边形 是正方形，点 为对角线 的中点，
∴ ， ，
∴ 是等腰直角三角形
∵
∴
则
由（1）得
∴
由（1）得 ，矩形 是正方形，
则 ．
21．如图1， 为等边 内一点，将线段 绕点 逆时针旋转 得到 ，连接 ， 的延长线
与 交于点 ，与 交于点 ．
(1)求证： ；
(2) ________度；
(3)如图2，连接 ， 平分 吗？请说明理由．
【详解】（1）证明： 线段 绕点 逆时针旋转 得到 ，
， ，
为等边三角形，
，，
，
在 和 中，
，
，
；
（2）解： ，
，
，
，
故答案为： ；
（3）解： 平分 ．理由如下，
如图，过点 作 ， ，垂足分别为 ， ，
，
，
，
，
在 和 中，
，
，
， 平分 ．
五、解答题（三）本大题共2小题，第22小题13分，第23小题14分，共27分。
22．如图， 与 为正三角形，点O为射线 上的动点，射线 与直线 相交于点E，将射
线 绕点O逆时针旋转 ，得到射线 ，射线 与射线 相交于点F．(1)如图①，点O与点A重合时，点E、F分别在线段 上，请直接写出 、 、 三条线段之
间的数量关系是____________________．
(2)如图②，当点O在 的延长线上时，E、F分别在线段 的延长线和线段 的延长线上，请写出
三条线段之间的数量关系，并说明理由．
(3)点O在线段 上，若 ， ，当 时，请求出 的长．
【详解】（1）解：如图，
∵ 和 都是正三角形，
∴ ， ，
∵将射线OM绕点O逆时针旋转 ，得到射线ON，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ；
（2）解： ，理由如下：
过点 作 交 于点 ，如图，∵ 和 都是正三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ 是等边三角形，
∴ ， ，
又 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴
（3）解：作 于点 ，
∴ ，
由勾股定理得 ；
①当点 在线段 上时，点 在线段 时，如图，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
过点 作 交 于点 ，则 ，
而 ,
∴ 是等边三角形，∴ ；
∵ ，
∴ ，
∴ ，
又 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ,
∴ ；
点 在线段 的延长线上时，如图，
同理可得 ，
∴ ，
∴ ；
②当点 在线段 上时，点 在线段 时，如图，
同理可得 ，
∴ ，
∴ ；
点 在线段 的延长线上时，如图，同理可得 ,
综上，满足条件的 的值为5或3或1．
23．【课本再现】
三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
（1）请你完成以下证明：
已知：如图 ， 是 的中位线．求证： ， ．
【类比迁移】
（2）如图 ， 是线段 的中点，点 在 上， 交 于点 ，且 ，试判断线段 和
的数量关系并说明理由．小明发现可以类比以上思路进行证明：如图 ，延长 至点 ，使
，连接 ，易证 ……
请你完成以上证明过程．
【方法运用】
（3）如图 ，在 中， ， ， 为射线 上一个动点（在点 右侧），把线段
绕点 逆时针旋转 得到线段 ，连接 ， 是 的中点，连接 ， ， ， ．
请你判断线段 和 的数量关系并说明理由；
若 ， ，请直接写出 的长．
【详解】解：（ ）证明：如图，延长 至 ，使 ，连接 ，
在 和 中，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∴ ， ；
（ ） ，
理由如下：如图 ，延长 至点 ，使 ，连接 ，
同（ ）理 ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（ ） ．理由如下：
如图，延长 至点 ，使 ，连接 ， ，
∵点 为 的中点，
∴ ，
在 和 中，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵线段 绕点 逆时针旋转 得到线段 ，
∴ ， ．
∴ ，
∵四边形 是平行四边形， ，
∴ ， ，∴ 是等边三角形，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，即 ；
解：由题意知， ，
分 是 的中位线和 不是 的中位线两种情况求解，
当 是 的中位线时， ，
∴ ；
当 不是 的中位线时，如图 ，取 中点 ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
设 ，则 ，
∴ ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，综上可知： 的长为 或 ．
