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§7.4 空间直线、平面的平行
考试要求 1.理解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系，并加以证明.
2.掌握直线与平面、平面与平面平行的判定与性质，并会简单应用．
知识梳理
1．线面平行的判定定理和性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
如果平面外一条直线与
判定 ______________的一条
⇒a∥α
定理 直线平行，那么该直线
与此平面平行
一条直线与一个平面平
性质 行，如果过该直线的平
⇒a∥b
定理 面与此平面________，
那么该直线与交线平行
2．面面平行的判定定理和性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
如果一个平面内的两条
判定 ______________与另一
⇒β∥α
定理 个平面平行，那么这两
个平面平行
两个平面平行，如果另
性质 一个平面与这两个平面
⇒a∥b
定理 ________，那么两条
________平行
常用结论
1．垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β.
2．平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.
3．垂直于同一个平面的两条直线平行，即a⊥α，b⊥α，则a∥b.
4．若α∥β，a⊂α，则a∥β.
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若一条直线平行于一个平面内的两条直线，则这条直线平行于这个平面．( )
(2)若直线a与平面α内无数条直线平行，则a∥α.( )
(3)若直线a⊂平面α，直线b⊂平面β，a∥b，则α∥β.( )
(4)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线也相互平行．( )
教材改编题
1．平面α∥平面β的一个充分条件是( )
A．存在一条直线a，a∥α，a∥β
B．存在一条直线a，a⊂α，a∥β
C．存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α
D．存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α
2．(多选)已知α，β是两个不重合的平面，l，m是两条不同的直线，则下列说法正确的是(
)
A．若l∥m，l∥β，则m∥β或m⊂β
B．若α∥β，m⊂α，l⊂β，则m∥l
C．若m⊥α，l⊥m，则l∥α
D．若m∥α，m⊂β，α∩β＝l，则m∥l
3. 如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形 EFGH为截面，则四边形EFGH的形状
为______．
题型一 直线与平面平行的判定与性质
命题点1 直线与平面平行的判定
例1 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为梯形，AB∥CD, PD＝AD＝AB＝2，CD
＝4，E为PC的中点．
求证：BE∥平面PAD.
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命题点2 直线与平面平行的性质
例2 如图所示，在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD是平行四边形，M是PC的中点，
在DM上取一点G，过G和PA作平面交BD于点H.
求证：PA∥GH.
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思维升华 (1)判断或证明线面平行的常用方法
①利用线面平行的定义(无公共点)．
②利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)．
③利用面面平行的性质(α∥β，a⊂α⇒a∥β)．
④利用面面平行的性质(α∥β，a⊄β，a∥α⇒a∥β)．
(2)应用线面平行的性质定理的关键是确定交线的位置，有时需要经过已知直线作辅助平面
确定交线．
跟踪训练1 如图，四边形ABCD为长方形，PD＝AB＝2，AD＝4，点E，F分别为AD，
PC的中点．设平面PDC∩平面PBE＝l.证明：
(1)DF∥平面PBE；
(2)DF∥l.
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题型二 平面与平面平行的判定与性质
例3 如图，四棱柱ABCD－ABC D 的底面ABCD是正方形．
1 1 1 1(1)证明：平面ABD∥平面CDB.
1 1 1
(2)若平面ABCD∩平面CDB＝l，证明：BD∥l.
1 1 1 1
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思维升华 (1)证明面面平行的常用方法
①利用面面平行的判定定理．
②利用垂直于同一条直线的两个平面平行(l⊥α，l⊥β⇒α∥β)．
③利用面面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行(α∥β，
β∥γ⇒α∥γ)．
(2)当已知两平面平行时，可以得出线面平行，如果要得出线线平行，必须是与第三个平面
的交线．
跟踪训练 2 如图所示，在三棱柱 ABC－ABC 中，过 BC的平面与上底面 ABC 交于
1 1 1 1 1 1
GH(GH与BC 不重合)．
1 1
(1)求证：BC∥GH；
(2)若E，F，G分别是AB，AC，AB 的中点，求证：平面EFA∥平面BCHG.
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题型三 平行关系的综合应用
例4 如图所示，四棱锥P－ABCD的底面是边长为a的正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，在
侧面PBC内，有BE⊥PC于E，且BE＝a，试在AB上找一点F，使EF∥平面PAD.________________________________________________________________________
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思维升华 解决面面平行问题的关键点
(1)在解决线面、面面平行的判定时，一般遵循从“线线平行”到“线面平行”，再到“面
面平行”；而在应用性质定理时，其顺序恰好相反，但也要注意，转化的方向总是由题目的
具体条件而定，绝不可过于“模式化”．
(2)解答探索性问题的基本策略是先假设，再严格证明，先猜想再证明是学习和研究的重要
思想方法．
跟踪训练3 如图，在斜三棱柱ABC－ABC 中，D，D 分别为AC，AC 上的点．
1 1 1 1 1 1
(1)当等于何值时，BC ∥平面ABD?
1 1 1
(2)若平面BC D∥平面ABD，求的值．
1 1 1
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