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§1.5 一元二次方程、不等式
考试要求 1.会从实际情景中抽象出一元二次不等式.2.结合二次函数图象，会判断一元
二次方程的根的个数，以及解一元二次不等式.3.了解简单的分式、绝对值不等式的解法．
知识梳理
1．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)，不等式ax2＋bx＋
c>0(a>0)的解的对应关系
判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0
二次函数的图象
有两个不相等的实数 有两个相等的实数根
方程的根 没有实数根
根x，x(x0(<0)⇔ ；
(2)≥0(≤0)⇔ .
3．简单的绝对值不等式
|x|>a(a>0)的解集为 ，|x|0)的解集为 ．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若方程ax2＋bx＋c＝0无实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R.( )
(2)若不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(x，x)，则a<0.( )
1 2
(3)若ax2＋bx＋c>0恒成立，则a>0且Δ<0.( )
(4)不等式≥0等价于(x－a)(x－b)≥0.( )
教材改编题
1．不等式<0的解集为( )
A．∅ B．(2,3)
C．(－∞，2)∪(3，＋∞) D．(－∞，＋∞)2．已知2x2＋kx－m<0的解集为(t，－1)(t<－1)，则k＋m的值为( )
A．1 B．2 C．－1 D．－2
3．已知对任意x∈R，x2＋(a－2)x＋≥0恒成立，则实数a的取值范围是________．
题型一 一元二次不等式的解法
命题点1 不含参数的不等式
例1 (1)不等式|x|(1－2x)>0的解集是( )
A.
B.
C．(－∞，0)∪
D．(－∞，0)∪
(2)(多选)已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(－∞，－2)∪(3，＋∞)，则下列选项
中正确的是( )
A．a>0
B．不等式bx＋c>0的解集是{x|x<－6}
C．a＋b＋c>0
D．不等式cx2－bx＋a<0的解集为∪
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命题点2 含参数的一元二次不等式
例2 已知函数f(x)＝ax2＋(2－4a)x－8.
(1)若不等式f(x)<0的解集为，求a的值；
(2)当a<0时，求关于x的不等式f(x)>0的解集．
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思维升华 对含参的不等式，应对参数进行分类讨论，常见的分类有
(1)根据二次项系数为正、负及零进行分类．
(2)根据判别式Δ与0的关系判断根的个数．
(3)有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论．
跟踪训练1 解关于x的不等式．
(1)>1；
(2)m>0时，mx2－mx－1<2x－3.
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题型二 一元二次不等式恒成立问题
命题点1 在R上恒成立问题
例3 (多选)对任意实数x，不等式2kx2＋kx－3<0恒成立，则实数k可以是( )
A．0 B．－24 C．－20 D．－2
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命题点2 在给定区间上恒成立问题
例4 已知函数f(x)＝mx2－mx－1.若对于x∈[1,3]，f(x)<5－m恒成立，则实数m的取值范围
为________．
听课记录：______________________________________________________________
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命题点3 在给定参数范围内的恒成立问题
例5 (2023·宿迁模拟)若不等式x2＋px>4x＋p－3，当0≤p≤4时恒成立，则x的取值范围是
( )
A．[－1,3]
B．(－∞，－1]
C．[3，＋∞)
D．(－∞，－1)∪(3，＋∞)
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思维升华 恒成立问题求参数的范围的解题策略
(1)弄清楚自变量、参数．一般情况下，求谁的范围，谁就是参数．
(2)一元二次不等式在R上恒成立，可用判别式Δ；一元二次不等式在给定区间上恒成立，
不能用判别式Δ，一般分离参数求最值或分类讨论．
跟踪训练2 (1)不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4≥0的解集为∅，则实数a的取值范围是( )
A．{a|a<－2或a≥2} B．{a|－2
