第2章　§2.9　指、对、幂的大小比较[培优课]_2.2025数学总复习_2024年新高考资料_1.2024一轮复习_2024年高考数学一轮复习讲义（新高考版）_学生版在此文件夹_学生用书Word版文档_413

§2.9 指、对、幂的大小比较
指数与对数是高中一个重要的知识点，也是高考必考考点，其中指数、对数及幂的大小
比较是近几年的高考热点和难点，主要考查指数、对数的互化、运算性质，以及指数函数、
对数函数和幂函数的性质，一般以选择题或填空题的形式出现在压轴题的位置．
题型一 直接法比较大小
命题点1 利用函数的性质
例1 设a＝ ，b＝ ，c＝ ，则a，b，c的大小关系是( )
A．a>c>b B．a>b>c
C．c>b>a D．b>c>a
听课记录：______________________________________________________________
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命题点2 找中间值
例2 (2023·上饶模拟)已知a＝log 3，b＝ ，c＝7－0.5，则a，b，c的大小关系为( )
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A．a>b>c B．a>c>b
C．b>a>c D．c>b>a
听课记录：______________________________________________________________
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命题点3 特殊值法
例3 已知a>b>1,0<c<，则下列结论正确的是( )
A．ac<bc B．abc<bac
C．alog c<blog c D．log c<log c
b a a b
听课记录：______________________________________________________________
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思维升华 利用特殊值作“中间量”
在指数、对数中通常可优先选择“－1,0，，1”对所比较的数进行划分，然后再进行比较，
有时可以简化比较的步骤，也有一些题目需要选择特殊的常数对所比较的数的值进行估计，
例如log 3，可知1＝log 2<log 3<log 4＝2，进而可估计log 3是一个1～2之间的小数，从而
2 2 2 2 2
便于比较．
跟踪训练1 (1)已知a＝0.60.6，b＝lg 0.6，c＝1.60.6，则( )A．a>b>c B．a>c>b
C．c>b>a D．c>a>b
(2)已知a＝，b＝log 4，c＝3－0.1，则a，b，c的大小关系为( )
3
A．a>b>c B．c>b>a
C．b>a>c D．a>c>b
题型二 利用指数、对数及幂的运算性质化简比较大小
例4 (1)已知a＝ ，b＝ ，c＝ ，则a，b，c的大小关系为( )
A．a<b<c B．c<b<a
C．b<c<a D．c<a<b
(2)(2020·全国Ⅲ)已知55<84，134<85.设a＝log 3，b＝log 5，c＝log 8，则( )
5 8 13
A．a<b<c B．b<a<c
C．b<c<a D．c<a<b
听课记录：______________________________________________________________
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思维升华 求同存异法比较大小
如果两个指数或对数的底数相同，则可通过真数的大小与指数、对数函数的单调性判断出指
数或对数的大小关系，要熟练运用指数、对数公式、性质，尽量将比较的对象转化为某一部
分相同的情况．
跟踪训练2 (1)已知a＝2100，b＝365，c＝930(参考值lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)，则a，
b，c的大小关系是( )
A．a>b>c B．b>a>c
C．b>c>a D．c>b>a
(2)(2022·汝州模拟)已知a＝log 3，b＝log 4，c＝log 5，则( )
6 8 10
A．b<a<c B．c<b<a
C．a<c<b D．a<b<c
题型三 构造函数比较大小
例5 (1)已知a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系为( )
A．a<b<c B．b<a<c
C．a<c<b D．b<c<a
(2)(2022·新高考全国Ⅰ)设a＝0.1e0.1，b＝，c＝－ln 0.9，则( )
A．a<b<c B．c<b<a
C．c<a<b D．a<c<b
听课记录：______________________________________________________________________________________________________________________________________
思维升华 某些数或式子的大小关系问题，看似与函数的单调性无关，细心挖掘问题的内在
联系，抓住其本质，将各个值中的共同的量用变量替换，构造函数，利用导数研究相应函数
的单调性，进而比较大小．
跟踪训练3 (1)(2022·济南模拟)已知a＝68，b＝77，c＝86，则a，b，c的大小关系为( )
A．b>c>a B．c>b>a
C．a>c>b D．a>b>c
(2)(2023·南昌模拟)设a＝e1.3－2，b＝4－4，c＝2ln 1.1，则( )
A．a<b<c B．a<c<b
C．b<a<c D．c<a<b