第10章　§10.9　概率、统计与其他知识的交汇问题[培优课]_2.2025数学总复习_2024年新高考资料_1.2024一轮复习_2024年高考数学一轮复习讲义（新高考版）_学生版在此文件夹_学生用书Word版文档_749

§10.9 概率、统计与其他知识的交汇问题 有关概率、统计与其他知识相交汇的考题，能体现“返璞归真，支持课改；突破定势， 考查真功”的命题理念，是每年高考的必考内容．近几年将概率、统计问题与数列、函数、 导数结合，成为创新问题． 题型一 概率、统计与数列的综合问题 例1 “每天锻炼一小时，健康工作五十年，幸福生活一辈子”．某公司组织全员每天进行 体育锻炼，订制了主题为“百年风云”的系列纪念币奖励员工，该系列纪念币有A ，A ， 1 2 A，A 四种．每个员工每天自主选择“球类”和“田径”中的一项进行锻炼．锻炼结束后员 3 4 工将随机等可能地获得一枚纪念币． (1)某员工活动前两天获得A ，A ，则前四天恰好能集齐“百年风云”系列纪念币的概率是 1 4 多少？ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ (2)通过抽样调查发现，活动首日有的员工选择“球类”，其余的员工选择“田径”；在前 一天选择“球类”的员工中，次日会有的员工继续选择“球类”，其余的选择“田径”；在 前一天选择“田径”的员工中，次日会有的员工继续选择“田径”，其余的选择“球类”． 用频率估计概率，记某员工第n天选择“球类”的概率为P. n ①计算P，P，并求P； 1 2 n ②该公司共有员工1 400人，经过足够多天后，试估计该公司接下来每天各有多少员工参加 “球类”和“田径”运动？ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 思维升华 高考有时将概率、统计等问题与数列交汇在一起进行考查，此类问题常常以概率、 统计为命题情景，同时考查等差数列、等比数列的判定及其前n项和，解题时要准确把握题 中所涉及的事件，明确其所属的事件类型． 跟踪训练1 (2022·太原模拟)足球运动是深受人们喜爱的一项体育运动，其中守门员扑点球 和传球是足球训练中的两个重要训练项目． (1)假设发点球时，球员等可能地选择左、中、右三个方向射门，守门员等可能地选择左、 中、右三个方向扑点球，且守门员方向判断正确时，有的可能将球扑出球门外．在一次点球战中，求守门员在前三次点球中，把球扑出球门外的个数X的分布列和均值； ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ (2)某次传球训练中，教练员让甲、乙、丙、丁4名球员进行传接球训练，从甲开始传球， 甲等可能地传给另外3人中的1人，接球者再等可能地传给另外3人中的1人，如此一直进 行．假设每个球都能被接住，记第n次传球后球又回到甲脚下的概率为P.求证：数列为等 n 比数列，并求P. n ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 题型二 概率、统计与导数的综合问题 例2 (2023·岳阳模拟)中国国家统计局2021年9月30日发布数据显示，2021年9月中国制 造业采购经理指数(PMI)为49.8%，反映出中国制造业扩张步伐有所加快．以新能源汽车、 机器人、增材制造、医疗设备、高铁、电力装备、船舶、无人机等为代表的高端制造业突飞 猛进，进一步体现了中国制造业当前的跨越式发展．已知某精密制造企业根据长期检测结果， 得到生产的产品的质量差服从正态分布N(μ，σ2)，并把质量差在(μ－σ，μ＋σ)内的产品称为 优等品，质量差在(μ＋σ，μ＋2σ)内的产品称为一等品，优等品与一等品统称为正品，其余 范围内的产品作为废品处理．现从该企业生产的正品中随机抽取 1 000件，测得产品质量差 的样本数据统计如图所示： (1)取样本数据的方差s2的近似值为100，用样本平均数作为μ的近似值，用样本标准差s作 为σ的估计值，记质量差X～N(μ，σ2)，求该企业生产的产品为正品的概率P(同一组中的数 据用该组区间的中点值代表)； (2)假如企业包装时要求把2件优等品和n(n≥2，n∈N*)件一等品装在同一个箱子中，质检员 从某箱子中摸出两件产品进行检验，若抽取到的两件产品等级相同，则该箱产品记为A，否 则该箱产品记为B. ①试用含n的代数式表示某箱产品抽检被记为B的概率p； ②设抽检5箱产品恰有3箱被记为B的概率为f(p)，求当n为何值时，f(p)取得最大值，并求出最大值． 参考数据：若随机变量 ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤ξ≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－ 2σ≤ξ≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ≤ξ≤μ＋3σ)≈0.997 3. ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 思维升华 在概率与统计的问题中，决策的工具是样本的数字特征或有关概率．决策方案的 最佳选择是将概率最大(最小)或均值最大(最小)的方案作为最佳方案，这往往借助于函数、 不等式或数列的有关性质去实现． 跟踪训练2 (2023·江门模拟)学习强国中有两项竞赛答题活动，一项为“双人对战”，另一 项为“四人赛”．活动规则如下：一天内参加“双人对战”活动，仅首局比赛可获得积分， 获胜得2分，失败得1分；一天内参加“四人赛”活动，仅前两局比赛可获得积分，首局获 胜得3分，次局获胜得2分，失败均得1分．已知李明参加“双人对战”活动时，每局比赛 获胜的概率为；参加“四人赛”活动(每天两局)时，第一局和第二局比赛获胜的概率分别为 p，.李明周一到周五每天都参加了“双人对战”活动和“四人赛”活动(每天两局)，各局比 赛互不影响． (1)求李明这5天参加“双人对战”活动的总得分X的分布列和均值； ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ (2)设李明在这5天的“四人赛”活动(每天两局)中，恰有3天每天得分不低于3分的概率为 f(p)．求当p为何值时，f(p)取得最大值． ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________