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1．已知条件①采用无放回抽取；②采用有放回抽取，请在上述两个条件中任选一个，补充
在下面问题中横线上并作答，选两个条件作答的以条件①评分．
问题：在一个口袋中装有3个红球和4个白球，这些球除颜色外完全相同，若________，从
这7个球中随机抽取3个球，记取出的3个球中红球的个数为X，求随机变量X的分布列和
均值．
2．(2023·毕节模拟)某市全体高中学生参加某项测试，从中抽取部分学生的测试分数绘制成
茎叶图和频率分布直方图如图所示，后来茎叶图受到了污损，可见部分信息如图所示．
(1)求频率分布直方图中a的值，并根据频率分布直方图估计该市全体高中学生的测试分数
的中位数和平均数(同一组中的数据以这组数据所在区间的中点值作代表，结果保留一位小
数)；
(2)用频率代替概率，若从该市全体高中学生中抽取 4人，记这4人中测试分数不低于90分
的人数为X，求X的分布列及均值．3．根据统计发现，疑似病例核酸检测呈阳性的概率为 p(0<p<1)．现有4例疑似病例，分别
对其取样、检测，既可以逐个化验，也可以将若干个样本混合在一起化验，混合样本中只要
有病毒，则化验结果呈阳性．若混合样本呈阳性，则需将该组中备用的样本再逐个化验；若
混合样本呈阴性，则判定该组各个样本均为阴性，无需再化验．现有以下三种方案：
方案一：4个样本逐个化验；
方案二：4个样本混合在一起化验；
方案三：4个样本均分为两组，分别混合在一起化验．
由于检测能力不足，化验次数的均值越小，则方案越“优”．
(1)若p＝，按方案一，求4例疑似病例中恰有2例呈阳性的概率；
(2)若p＝，现将该4例疑似病例样本进行化验，试比较以上三个方案中哪个最“优”，并说
明理由．
4．为评估设备M生产某种零件的性能，从设备M生产零件的流水线上随机抽取100个零件
作为样本，测量其直径(单位：mm)后，整理得到下表：
直径/mm 58 59 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 73 合计
个数 1 1 3 5 6 19 33 18 4 4 2 1 2 1 100
经计算，样本直径的平均值μ＝65，标准差σ＝2.2，以频率值作为概率的估计值．
(1)为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一个，记其直径为X，并根据以
下不等式进行评判(P 表示相应事件的概率)：① P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≥0.682 7；② P(μ－
2σ≤X≤μ＋2σ)≥0.954 5；③P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≥0.997 3.评判规则为：若同时满足上述三
个不等式，则设备等级为甲；若仅满足其中两个不等式，则设备等级为乙；若仅满足其中一
个不等式，则设备等级为丙；若全部都不满足，则设备等级为丁，试判断设备 M的性能等
级；
(2)将直径小于μ－2σ或直径大于μ＋2σ的零件认为是次品．
①从设备M的生产流水线上随机抽取2个零件，计算其中次品个数Y的均值E(Y)；
②从样本中随机抽取2个零件，计算其中次品个数Z的分布列和均值E(Z)．
5．(2022·唐山模拟)两会期间，国家对学生学业与未来发展以及身体素质重要性的阐述引起
了全社会的共鸣．某中学体育组对高三的800名男生做了单次引体向上的测试，得到了如图所示的频率分布直方图(引体向上个数只记整数)．体育组为进一步了解情况，组织了两个研
究小组．
(1)第一小组决定从单次完成1～15个引体向上的男生中，采用比例分配的分层随机抽样的
方法抽取22人进行全面的体能测试．
①在单次完成6～10个引体向上的所有男生中，男生甲被抽到的概率是多少？
②该小组又从这22人中抽取3人进行个别访谈，记抽到“单次完成引体向上1～5个”的人
数为随机变量X，求X的分布列和均值；
(2)第二小组从学校学生的成绩与体育锻炼相关性角度进行研究，得到了这800人的学业成
绩与体育成绩之间的2×2列联表.
学业成绩
体育成绩 合计
优秀 不优秀
不优秀 200 400 600
优秀 100 100 200
合计 300 500 800
根据小概率值α＝0.005的独立性检验，分析体育锻炼是否与学业成绩有关？
参考公式：独立性检验统计量χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.
临界值表：
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
x 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
α
6．随着人们生活水平的不断提高，肥胖人数不断增多．世界卫生组织(WHO)常用身体质量
指数(BMI)来衡量人体胖瘦程度以及是否健康，其计算公式是BMI＝.成人的BMI数值标准
为：BMI≤18.4为偏瘦；18.5≤BMI≤23.9为正常；24≤BMI≤27.9为偏胖；BMI≥28为肥
胖．
某研究机构为了解某快递公司员工的身体质量指数，研究人员从公司员工体检数据中，抽取了8名员工(编号1～8)的身高x(单位：cm)和体重y(单位：kg)的数据，并计算得到他们的
BMI(精确到0.1)如表所示．
编号 1 2 3 4 5 6 7 8
身高(cm) 163 164 165 168 170 172 176 182
体重(kg) 54 60 77 72 68 ● 72 55
BMI (近似值) 20.3 22.3 28.3 25.5 23.5 23.7 23.2 16.6
(1)现从这8名员工中选取3人进行复检，记抽取到BMI值为“正常”员工的人数为X，求X
的分布列及均值；
(2)研究机构分析发现公司员工的身高x(cm)和体重y(kg)之间的线性相关程度较高，在编号为
6的体检数据丢失之前，调查员甲已进行相关的数据分析，并计算得出该组数据的经验回归
方程为y＝0.5x＋a，且根据经验回归方程预估一名身高为180 cm的员工体重为71 kg，计算
得到的其它数据如下：＝170，xy＝89 920.
i i
①求a的值及表格中8名员工体重的平均值；
②在数据处理时，调查员乙发现编号为8的员工体重数据有误，应为63 kg，身高数据无误，
请你根据调查员乙更正的数据重新计算经验回归方程，并据此预估一名身高为 180 cm的员
工的体重．
附：对于一组数据(x ，y)，(x ，y)，…，(x ，y)，其经验回归直线y＝bx＋a的斜率和截距
1 1 2 2 n n
的最小二乘估计分别为b＝，a＝－b.
