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1．(2022·南通模拟)已知P为抛物线C：y2＝4x上位于第一象限的点，F为C的焦点，PF与
C交于点Q(异于点P)．直线l与C相切于点P，与x轴交于点M.过点P作l的垂线交C于另
一点N.
(1)证明：线段MP的中点在定直线上；
(2)若点P的坐标为(2,2)，试判断M，Q，N三点是否共线．
2．(2023·石家庄模拟)已知E(，0)，F，点A满足|AE|＝|AF|，点A的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程；
(2)若直线l：y＝kx＋m与双曲线：－＝1交于M，N两点，且∠MON＝(O为坐标原点)，求
点A到直线l距离的取值范围．
3．(2023·广州模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，点F(1,0)为椭圆的右焦点，过点F且斜率不
为0的直线l 交椭圆于M，N两点，当l 与x轴垂直时，|MN|＝3.
1 1
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)A ，A 分别为椭圆的左、右顶点，直线AM，AN分别与直线l ：x＝1交于P，Q两点，
1 2 1 2 2
证明：四边形OPA Q为菱形．
2
4．(2022·衡阳模拟)设椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左顶点为A，上顶点为B.已知椭圆的离心率为，
|AB|＝.
(1)求椭圆E的方程；
(2)设P，Q为椭圆E上异于点A的两动点，若直线AP，AQ的斜率之积为－.
①证明直线PQ恒过定点，并求出该点坐标；
②求△APQ面积的最大值．
