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§10.7 二项分布、超几何分布与正态分布
考试要求 1.理解二项分布、超几何分布的概念，能解决一些简单的实际问题.2.借助正态
曲线了解正态分布的概念，并进行简单应用．
知识梳理
1．二项分布
(1)伯努利试验
只包含 可能结果的试验叫做伯努利试验；将一个伯努利试验独立地重复进行n次所
组成的随机试验称为 ．
(2)二项分布
一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(00为参
数，则称随机变量X服从正态分布，记为 ．
(2)正态曲线的特点
①曲线是单峰的，它关于直线 对称；
②曲线在 处达到峰值；
③当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴．
(3)3σ原则
①P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7；②P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5；
③P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3.
(4)正态分布的均值与方差
若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝ ，D(X)＝ .
常用结论
1．“二项分布”与“超几何分布”的区别：有放回抽取问题对应二项分布，不放回抽取问
题对应超几何分布，当总体容量很大时，超几何分布可近似为二项分布来处理．
2．超几何分布有时也记为 X～H(n，M，N)，其均值E(X)＝，
D(X)＝.
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)两点分布是二项分布当n＝1时的特殊情形．( )
(2)若X表示n次重复抛掷1枚骰子出现点数是3的倍数的次数，则X服从二项分布．(
)
(3)从装有3个红球、3个白球的盒中有放回地任取一个球，连取 3次，则取到红球的个数X
服从超几何分布．( )
(4)当μ取定值时，正态曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“矮胖”．( )
教材改编题
1．如果某一批玉米种子中，每粒发芽的概率均为，那么播下 5粒这样的种子，恰有2粒不
发芽的概率是( )
A. B. C. D.
2．某班有48名同学，一次考试后的数学成绩服从正态分布 N(80,102)，则理论上在80分到
90分的人数约是( )
A．32 B．16 C．8 D．20
3．在含有3件次品的10件产品中，任取4件，X表示取到的次品的个数，则 P(X＝1)＝
________.
题型一 二项分布
例1 (1)(2023·海口模拟)某班50名学生通过直播软件上网课，为了方便师生互动，直播屏
幕分为1个大窗口和5个小窗口，大窗口始终显示老师讲课的画面，5个小窗口显示5名不
同学生的画面．小窗口每5分钟切换一次，即再次从全班随机选择5名学生的画面显示，且
每次切换相互独立．若一节课40分钟，则该班甲同学一节课在直播屏幕上出现的时间的均
值是( )
A．10分钟 B．5分钟
C．4分钟 D．2分钟听课记录：______________________________________________________________
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(2)(2022·衡阳模拟)某地政府为鼓励大学生创业，制定了一系列优惠政策．已知创业项目甲
成功的概率为，项目成功后可获得政府奖金 20 万元；创业项目乙成功的概率为
P(02.5)＝________.
(2)(2022·安庆模拟)某中学开展学生数学素养测评活动，高一年级测评分值 X近似服从正态
分布，正态密度曲线如图①所示．为了调查参加测评的学生数学学习的方法与习惯差异，该
中学决定在分数段[m，n)内抽取学生，并确定m＝67，且P(m≤X≤n)＝0.818 6.在某班用简
单随机抽样的方法得到20名学生的分值分布茎叶图如图②所示．若该班抽取学生分数在分
数段[m，n)内的人数为k，则k＝________；这k名学生的平均分为________．(附：P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈
0.997 3)
