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§8.12 圆锥曲线中定点与定值问题
题型一 定点问题
例1 (2022·全国乙卷)已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过A(0，－
2)，B两点．
(1)求E的方程；
(2)设过点P(1，－2)的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点
T，点H满足MT＝TH.证明：直线HN过定点．
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思维升华 求解直线或曲线过定点问题的基本思路
(1)把直线或曲线方程中的变量x，y当作常数看待，把方程一端化为零，既然是过定点，那
么这个方程就要对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于
x，y的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点．
(2)由直线方程确定其过定点时，若得到了直线方程的点斜式y－y ＝k(x－x)，则直线必过定
0 0
点(x，y)；若得到了直线方程的斜截式y＝kx＋m，则直线必过定点(0，m)．
0 0
跟踪训练1 (2023·郑州质检)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的上顶点和两焦点构成的三角形为
等腰直角三角形，且面积为2，点M为椭圆C的右顶点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若经过点P(t,0)的直线l与椭圆C交于A，B两点，实数t取何值时以AB为直径的圆恒过
点M?
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题型二 定值问题
例2 (2022·蚌埠模拟)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的虚轴长为4，直线2x－y＝0为双曲
线C的一条渐近线．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)记双曲线C的左、右顶点分别为A，B，过点T(2,0)的直线l交双曲线C于点M，N(点M
在第一象限)，记直线MA的斜率为k，直线NB的斜率为k，求证：为定值．
1 2
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思维升华 圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略
(1)求代数式为定值．依题设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式，化简即可
得出定值．
(2)求点到直线的距离为定值．利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条
件化简、变形求得．
(3)求某线段长度为定值．利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形
即可求得．
跟踪训练2 (2022·郑州模拟)已知点F(0,1)，直线l：y＝4，P为曲线C上的任意一点，且|
PF|是P到l的距离的.
(1)求曲线C的方程；
(2)若经过点F且斜率为k(k≠0)的直线交曲线C于M，N两点，线段MN的垂直平分线交y
轴于点H，求证：为定值．
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