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§3.1 导数的概念及其意义、导数的运算
考试要求 1.了解导数的概念、掌握基本初等函数的导数.2.通过函数图象，理解导数的几
何意义.3.能够用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数(形如
f(ax＋b))的导数．
知识梳理
1．导数的概念
(1)函数y＝f(x)在x＝x 处的导数记作 或 .
0
f′(x)＝lim ＝ .
0
(2)函数y＝f(x)的导函数(简称导数)
f′(x)＝y′＝lim .
2．导数的几何意义
函数y＝f(x)在x＝x 处的导数的几何意义就是曲线y＝f(x)在点P(x ，f(x))处的切线的 ，
0 0 0
相应的切线方程为 ．
3．基本初等函数的导数公式
基本初等函数 导函数
f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝______
f(x)＝xα(α∈R，且α≠0) f′(x)＝______
f(x)＝sin x f′(x)＝______
f(x)＝cos x f′(x)＝______
f(x)＝ax(a>0，且a≠1) f′(x)＝______
f(x)＝ex f′(x)＝______
f(x)＝log x(a>0，且a≠1) f′(x)＝______
a
f(x)＝ln x f′(x)＝_____4.导数的运算法则
若f′(x)，g′(x)存在，则有
[f(x)±g(x)]′＝ ；
[f(x)g(x)]′＝ ；
′＝(g(x)≠0)；
[cf(x)]′＝ ．
5．复合函数的定义及其导数
复合函数y＝f(g(x))的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′＝ ，即y
x
对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．
常用结论
1．区分在点处的切线与过点处的切线
(1)在点处的切线，该点一定是切点，切线有且仅有一条．
(2)过点处的切线，该点不一定是切点，切线至少有一条．
2.′＝(f(x)≠0)．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)f′(x)是函数y＝f(x)在x＝x 附近的平均变化率．( )
0 0
(2)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．( )
(3)f′(x)＝[f(x)]′.( )
0 0
(4)(cos 2x) ′＝－2sin 2x.( )
教材改编题
1．若函数f(x)＝3x＋sin 2x，则( )
A．f′(x)＝3xln 3＋2cos 2x
B．f′(x)＝3x＋2cos 2x
C．f′(x)＝＋cos 2x
D．f′(x)＝－2cos 2x
2．函数f(x)＝ex＋在x＝1处的切线方程为 ．
3．已知函数f(x)＝xln x＋ax2＋2，若f′(e)＝0，则a＝ .
题型一 导数的运算
例1 (1)(多选)下列求导正确的是( )
A．[(3x＋5)3]′＝9(3x＋5)2
B．(x3ln x)′＝3x2ln x＋x2
C.′＝
D．(2x＋cos x)′＝2xln 2－sin x(2)已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝x3＋x2f′(1)＋2x－1，则f′(2)等于( )
A．1 B．－9 C．－6 D．4
听课记录：______________________________________________________________
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思维升华 (1)求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利
用运算法则求导．
(2)抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解．
(3)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元．
跟踪训练1 (1)(多选)下列求导运算正确的是( )
A．若f(x)＝sin(2x＋3)，则f′(x)＝2cos(2x＋3)
B．若f(x)＝e－2x＋1，则f′(x)＝e－2x＋1
C．若f(x)＝，则f′(x)＝
D．若f(x)＝xln x，则f′(x)＝ln x＋1
(2)函数f(x)的导函数为f′(x)，若f(x)＝x2＋f′sin x，则f ＝ .
题型二 导数的几何意义
命题点1 求切线方程
例2 (1)(2023·大同模拟)已知函数f(x)＝2e2ln x＋x2，则曲线y＝f(x)在点(e，f(e))处的切线方
程为( )
A．4ex－y＋e2＝0 B．4ex－y－e2＝0
C．4ex＋y＋e2＝0 D．4ex＋y－e2＝0
(2)(2022·新高考全国Ⅱ)曲线 y＝ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为__________，
____________.
命题点2 求参数的值(范围)
例3 (1)(2022·重庆模拟)已知a为非零实数，直线y＝x＋1与曲线y＝aln(x＋1)相切，则a＝
________.
(2)(2022·新高考全国Ⅰ)若曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是
．
听课记录：______________________________________________________________
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思维升华 (1)处理与切线有关的问题，关键是根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数
的方程：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上．
(2)注意区分“在点P处的切线”与“过点P的切线”．
跟踪训练2 (1)曲线f(x)＝在(0，f(0))处的切线方程为( )
A．y＝3x－2 B．y＝3x＋2
C．y＝－3x－2 D．y＝－3x＋2(2)(2023·泸州模拟)已知曲线y＝在点处的切线方程为y＝x＋b，则a的值是( )
A. B．－2 C．－ D．2
题型三 两曲线的公切线
例4 (1)若直线l：y＝kx＋b(k>1)为曲线f(x)＝ex－1与曲线g(x)＝eln x的公切线，则l的纵截
距b等于( )
A．0 B．1 C．e D．－e
(2)(2023·晋中模拟)若两曲线y＝ln x－1与y＝ax2存在公切线，则正实数a的取值范围是(
)
A．(0,2e] B.
C. D．[2e，＋∞)
听课记录：______________________________________________________________
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思维升华 公切线问题，应根据两个函数在切点处的斜率相等，且切点既在切线上又在曲线
上，列出有关切点横坐标的方程组，通过解方程组求解．或者分别求出两函数的切线，利用
两切线重合列方程组求解．
跟踪训练3 (1)已知定义在(0，＋∞)上的函数f(x)＝x2－m，h(x)＝6ln x－4x，设两曲线y＝
f(x)与y＝h(x)在公共点处的切线相同，则m等于( )
A．－3 B．1 C．3 D．5
(2)已知f(x)＝ex－1，g(x)＝ln x＋1，则f(x)与g(x)的公切线有( )
A．0条 B．1条 C．2条 D．3条
