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[基础题组练]
1．定积分(3x＋ex)dx的值为( )
A．e＋1 B．e
C．e－ D．e＋
解析：选D.(3x＋ex)dx＝＝＋e－1＝＋e.
2．若f(x)＝f(f(1))＝1，则a的值为( )
A．1 B．2
C．－1 D．－2
解析：选A.因为f(1)＝lg 1＝0，f(0)＝3t2dt＝t3|＝a3，所以由f(f(1))＝1得a3＝1，所以a＝1.
3．若f(x)＝x2＋2f(x)dx，则f(x)dx＝( )
A．－1 B．－
C. D．1
解析：选B.因为f(x)＝x2＋2f(x)dx，
所以f(x)dx＝|
＝＋2f(x)dx，所以f(x)dx＝－.
4．(2019·湖南湘中名校联考)设f(x)＝则f(x)dx的值为( )
A.＋ B.＋3
C.＋ D.＋3
解析：选A.f(x)dx＝dx＋(x2－1)dx＝π×12＋＝＋，故选A.
5．由曲线y＝x2和曲线y＝围成的一个叶形图如图所示，则图中阴影部分的面积为( )
A. B.
C. D.
解析：选A.由解得或所以阴影部分的面积为(－x2)dx＝.故选A.
6．定积分(x2＋sin x)dx＝________．
解析：(x2＋sin x)dx
＝x2dx＋sin xdx
＝2x2dx＝2·＝.
答案：
7.(x2tan x＋x3＋1)dx＝________．
解析：因为x2tan x＋x3是奇函数．所以(x2tan x＋x3＋1)dx＝1dx＝x|＝2.
答案：2
8．一物体受到与它运动方向相反的力：F(x)＝ex＋x的作用，则它从x＝0运动到x＝1时
F(x)所做的功等于________．
解析：由题意知W＝－dx
＝－＝－－.
答案：－－
9．求下列定积分：
(1)dx；
(2)(cos x＋ex)dx.
解：(1)dx＝xdx－x2dx＋dx
＝|－|＋ln x|＝－＋ln 2＝ln 2－.
(2)(cos x＋ex)dx＝cos xdx＋exdx
＝sin x|＋ex|＝1－.
10．已知函数f(x)＝x3－x2＋x＋1，求其在点(1，2)处的切线与函数g(x)＝x2围成的图形的
面积．
解：因为(1，2)为曲线f(x)＝x3－x2＋x＋1上的点，
设过点(1，2)处的切线的斜率为k，
则k＝f′(1)＝(3x2－2x＋1)| ＝2，
x＝1
所以过点(1，2)处的切线方程为y－2＝2(x－1)，
即y＝2x.
y＝2x与函数g(x)＝x2围成的图形如图中阴影部分：
由可得交点A(2，4)，O(0，0)，故y＝2x与函数g(x)＝x2围成的图形的面积
S＝(2x－x2)dx＝|＝4－＝.
[综合题组练]
1．由曲线xy＝1，直线y＝x，x＝3所围成的封闭平面图形的面积为( )
A. B．4－ln 3
C．4＋ln 3 D．2－ln 3
解析：选B.画出平面图形，根据图形确定积分的上、下限及被积函数．由曲线xy＝1，直线
y＝x，x＝3所围成的封闭的平面图形如图所示：由得或
由得
故阴影部分的面积为dx＝
＝4－ln 3.
2．设函数f(x)＝ax2＋c(a≠0)，若f(x)dx＝f(x)，0≤x≤1，则x 的值为________．
0 0 0
解析：f(x)dx＝(ax2＋c)dx＝＝a＋c＝f(x)＝ax＋c，
0
所以x＝，x＝±.
0
又因为0≤x≤1，所以x＝.
0 0
答案：
3.(＋ex－1)dx＝________．
解析：(＋ex－1)dx
＝dx＋(ex－1)dx.
因为dx表示单位圆的上半部分的面积，
所以dx＝.
而(ex－1)dx＝(ex－x)
＝(e1－1)－(e－1＋1)＝e－－2，
所以(＋ex－1)dx＝＋e－－2.
答案：＋e－－2
4．若函数f(x)在R上可导，f(x)＝x3＋x2f′(1)，则f(x)dx＝________．
解析：因为f(x)＝x3＋x2f′(1)，
所以f′(x)＝3x2＋2xf′(1)．
所以f′(1)＝3＋2f′(1)，解得f′(1)＝－3.
所以f(x)＝x3－3x2.
故f(x)dx＝(x3－3x2)dx＝＝－4.
答案：－4
5．(创新型)如图所示，过点A(6，4)作曲线f(x)＝的切线l.
(1)求切线l的方程；
(2)求切线l，x轴及曲线f(x)＝所围成的封闭图形的面积S.
解：(1)由f(x)＝，
所以f′(x)＝.又点A (6，4)为切点，所以f′(6)＝，
因此切线方程为y－4＝(x－6)，即x－2y＋2＝0.
(2)令f(x)＝0，则x＝2，即点C(2，0)．
在x－2y＋2＝0中，令y＝0，则x＝－2，
所以点B(－2，0)．
故S＝dx－dx
＝－(4x－8)＝.
6．(应用型)如图，在曲线C：y＝x2，x∈[0，1]上取点P(t，t2)，过点P作x轴的平行线l.曲线
C与直线x＝0，x＝1及直线l围成的图形包括两部分，面积分别记为S，S.当S＝S 时，求t的
1 2 1 2
值．
解：根据题意，直线l的方程是y＝t2，且0＜t＜1.
结合题图，得交点坐标分别是
A(0，0)，P(t，t2)，B(1，1)．
所以S＝(t2－x2)dx＝|
1
＝t3－t3＝t3，0＜t＜1.
S＝(x2－t2)dx＝|
2
＝－
＝t3－t2＋，0＜t＜1.
由S＝S，
1 2
得t3＝t3－t2＋，
所以t2＝.又0＜t＜1，
所以t＝.
所以当t＝时，S＝S.
1 2
