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8.2二项式定理（精练）
1．（2023秋·北京）在 的展开式中， 的系数为 ，则实数 的值为（ ）
A． B． C． D．4
【答案】B
【解析】 的展开式的通项公式为 ， .
由已知得 ，得 .故选：B
2．（2023·北京·统考高考真题） 的展开式中 的系数为（ ）．
A． B． C．40 D．80
【答案】D
【解析】 的展开式的通项为
令 得 所以 的展开式中 的系数为 故选：D
3．（2023春·北京）若 ，则
的值为（ ）
A．－2 B．－1 C．1 D．2
【答案】B
【解析】取 ，得 ；
再取 ，得 ，
所以 .
故选：B.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】4．（2023·四川成都·校联考二模）已知 的展开式中 的系数为 ，则正整数 （ ）
A．8 B．6 C．5 D．4
【答案】D
【解析】二项式 的通项公式为 ，
因为 的展开式中 的系数为 的展开式中 的系数，
所以有 ，显然 为正奇数，且 为不小于 的正整数，
，
故选：D
5．（2023·山西太原·太原五中校考一模） 被1000除的余数是（ ）
A． B． C．1 D．901
【答案】C
【解析】 ，
所以展开式中从第二项开始都是1000的倍数，因此 被1000除的余数是1.
故选：C
6．（2022·全国·高三专题练习） 的计算结果精确到个位的近似值为
A．106 B．107 C．108 D．109
【答案】B
【解析】∵ ，
∴ .故选B
7．（2023·全国·高三专题练习） 的展开式中各项系数的最大值为（ ）．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A．112 B．448 C．896 D．1792
【答案】D
【解析】该二项式的通项公式为 ，
由 ，可得 ．
因为 ，所以展开式中各项系数的最大值为 ．
故选：D
8．（2023春·上海嘉定·高三上海市育才中学校考阶段练习）已知二项式 ， 的展开式中第四
项的系数最大，则a的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【解析】二项式 展开式的通项公式为 ，其中 ，
由 （其中 ），即 ，
， ，
依题意可知 使上式成立，即 ，
所以 .
故选：A
9．（2023·陕西安康·统考三模）在 的展开式中，下列说法正确的是（ ）
A．所有项的二项式系数和为1 B．第4项和第5项的二项式系数最大
C．所有项的系数和为128 D．第4项的系数最大
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】B
【解析】对选项A：展开式所有项的二项式系数和为 ，错误；
对选项B：展开式共有8项，故第4项和第5项二项式系数最大，正确；
对选项C：令 得所有项的系数和为 ，错误；
对选项D： ， ，系数小于0， ，
系数大于0， D错误.
故选：B
10．（2023春·广东东莞·）（多选）在 的展开式中，下列说法正确的有（ ）
A．展开式中所有奇数项的二项式系数和为128 B．展开式中所有项的系数和为
C．展开式中含 项的系数为 D．展开式中二项式系数的最大项为第四项
【答案】AC
【解析】选项A：展开式中所有奇数项的二项式系数和 ，故A正确；
选项B：令 ，则展开式中所有项的系数和为 ，故B错误；
选项C：展开式的通项为 ，
则展开式中含 的系数为 ，故C正确；
选项D：因为n＝8，所以展开式中二项式系数的最大项为第5项，故D错误.
故选：AC．
11．（2023·安徽六安）（多选）在 的展开式中，下列结论正确的是（ ）
A．第6项和第7项的二项式系数相等 B．奇数项的二项式系数和为256
C．常数项为84 D．有理项有2项
【答案】BC
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【解析】 的展开式中共有10项，由二项式系数的性质可得展开式中的第5项和第6项的二项式
系数相等，故A错误；
由已知可得二项式系数之和为 ，且展开式中奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等，
所以奇数项的二项式系数和为 ，故B正确；
展开式的通项为 ，令 ，解得 ．
故常数项为 ，故C正确；
有理项中x的指数为整数，故 ，2，4，6，8，故有理项有5项，故D错误．
故选：BC
12．（2023·河北·统考模拟预测）（多选）已知二项式 的展开式中所有项的系数的和为64，则
（ ）
A．
B．展开式中 的系数为
C．展开式中奇数项的二项式系数的和为32
D．展开式中二项式系数最大的项为
【答案】ACD
【解析】令 ，则 ，可得 ，A对；
，
当 时， ，B错；
由原二项式的二项式系数和为 ，则奇数项的二项式系数的和为32，C对；
由上知：二项式系数最大为 ，即 ，则 ，D对.
故选：ACD
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】13．（2023·辽宁·辽宁实验中学校考模拟预测）（多选）已知 ，则
（ ）
A．展开式中所有项的系数和为 B．展开式中二项系数最大项为第1012项
C． D．
【答案】AC
【解析】选项A，令 ，则展开式的各项系数和为 ，A 选项正确；
选项B，因为 ，所以展开式中二项式系数最大项为第1012项与第1013项，B选项错误；
选项C，令 ，则 ，令 ，则 ，
所以 ，C选项正确；
选项D，已知关系式两边同时取导，则 ，
令 ，则 ，D选项错误；
故选：AC.
14．（2023·江苏无锡·江苏省天一中学校考模拟预测）（多选）若 ，则
（ ）
A． 可以被 整除
B． 可以被 整除
C． 被27除的余数为6
D． 的个位数为6
【答案】AB
【解析】 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】可以被 整除，故A正确；
，
可以被 整除，故B正确；
被27除的余数为5，故C错误；
，
个位数为 ，故D错误.
故选：AB
15．（2023秋·浙江·高三浙江省普陀中学校联考开学考试）（多选）对于 的展开式，下列说法
正确的是（ ）
A．展开式中各项系数之和为256
B．展开式中各项系数绝对值之和为
C．展开式中的奇数项的二项式系数之和为128
D．展开式中的常数项是1120
【答案】BCD
【解析】对于选项A：令 ，可得 ，所以展开式中各项系数之和为1，故A错误；
对于选项B：因为 展开式中各项系数绝对值之和与 的系数和相等，
令 ，可得 ，所以展开式中各项系数绝对值之和为 ，故B正确；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】对于选项C：展开式中的奇数项的二项式系数之和为 ，故C正确；
对于选项D：因为 的展开式为 ，
令 ，解得 ，
所以展开式中的常数项是 ，故D正确；
故选：BCD.
16．（2023秋·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）（多选）已知 ，则（ ）
A． 的展开式中没有常数项
B． 的展开式中系数最大的项是
C． 的展开式的二项式系数之和为128
D． 的展开式中各项的系数之和为1
【答案】ABC
【解析】对于选项 的二项展开式的通项为 ，
不满足 ，故 的展开式中没有常数项，故 正确；
对于选项 ：由于 的最大值为 ，
故展开式中系数最大的项是 ，故B正确；
对于选项C：展开式的二项式系数之和为 ，故C正确；
对于选项 ：令 ，可得展开式中各项的系数之和为 ，故 错误.
故选： .
17．（2023春·安徽滁州（多选））若 ，则
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【解析】 ①，令 ，则 ，故A正
确，
易知 ，故B错误；
令 ，则 ，故C正确；
对①两边求导可得： ②
令 ，得 ，
则 ，
两式相减得 ，
所以 ，故D错误．
故选：AC．
18．（2023春·福建厦门）（多选）已知 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【解析】取 ，可得 ，故A正确；
取 ，得 ，则 ，故C正确；
取 ，得 ，故D错误；
令 ，得 ，知 ，故B错误.
故选：AC.
19．（2023春·山西大同）（多选）若 ，则下列说法正确的是
（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】AC
【解析】依题意， ，
令 ，得 ，A选项正确.
令 ，得 ，B选项错误.
则 ，C选项正确.
，则 ，D选项错误.
故选：AC
20．（2023春·河北石家庄）若n是正整数，则 除以9的余数是
.
【答案】0或7
【解析】根据二项式定理可知， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】又
所以当n为偶数时，除以9的余数为0；当n为奇数时，除以9的余数为7.
故答案为：0或7
21．（2022秋·福建泉州·高三校考期中） 的展开式中 的系数为 ，则实数 的值为 ．
【答案】
【解析】 ，令 ，得 ，故 ，
由题意知 ，即 ，解得 .故答案为： .
22．（2023·湖南衡阳·校考模拟预测） 的展开式中 的系数为 ．
【答案】5
【解析】二项式 的展开式通项公式为 ，
当 时， ，当 时， ，
因此展开式中含 的项为 ，
所以所求系数为5.
故答案为：5
23．（2023·全国·学军中学校联考二模）在 的展开式中， 的系数是 .
【答案】
【解析】 ，
又 的展开式的通项公式为 ，
所以 的展开式含 项的系数为 ，含 项的系数为 ，
所以在 的展开式中， 的系数是 ，
故答案为： .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】24．（2023·湖北省直辖县级单位·统考模拟预测）已知常数 ， 的二项展开式中 项的系
数是780，则m的值为 ．
【答案】3
【解析】 = ，设其通项为 ，
设 的通项为 ，
要求 项的系数，只有 为偶数，
当 ，此时 项的系数为 ，
当 ，此时 项的系数为 ，
当 ，此时 项的系数为 ，
当 ，不合题意，
故 项的系数为 .
故答案为：3
25．（2023·湖南岳阳·统考模拟预测） 的展开式中， 的系数为 ．
【答案】30
【解析】 表示5个因式 的乘积，在这5个因式中，有2个因式选 ，其余的3个因
式中有一个选 ，剩下的两个因式选 ，即可得到含 的项，即可算出答案．
表示5个因式 的乘积，
在这5个因式中，有2个因式选 ，其余的3个因式中有一个选 ，剩下的两个因式选 ，即可得到含
的项，故含 的项系数是 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故答案为：30
26．（2023·安徽合肥·合肥市第八中学校考模拟预测） 的展开式中的常数项为 .
【答案】29
【解析】 表示7个因式 的乘积，在这7个因式中，
有0个因式选x，有0个因式都选 ， 7个因式都选1，相乘可得常数项；
有1个因式选x，有1个因式都选 ，其余的5个因式都选1，相乘可得常数项；
有2个因式选x，有2个因式都选 ，其余的3个因式都选1，相乘可得常数项；
有3个因式选x，有3个因式都选 ，其余的1个因式都选1，相乘可得常数项，
由多项式定理，得 的展开式中的常数项为：
故所求常数项为 .
故答案为：29.
27．（2023·海南海口·海南华侨中学校考一模）在 的展开式中，系数最大的项为
.
【答案】
【解析】因为 的通项为 ， 的通项为 ，
∵ 展开式系数最大的项为 ，
展开式系数最大的项为 ，
∴在 的展开式中，系数最大的项为 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故答案为： .
1．（2023·湖北·模拟预测） 展开式中无理项的个数为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【解析】由 ，
则其通项为 ，
其中 ， ，
若 不是整数时，即得到展开式中的无理项，
当 ， 时， 的值为 ；
当 ， 时， 的值为 ；
当 ， 或 时， 的值为 或 ；
当 ， 或 时， 的值为 或 ；
当 ， 或 或 时， 的值为 或 或 ；
当 ， 或 或 时， 的值为 或 或 ，
综上， 展开式中无理项的个数为8．
故选：C．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】2．（2024·安徽黄山·屯溪一中校考模拟预测）已知 ，则下列描述
正确的是 （ ）
A． B． 除以5所得的余数是1
C． D．
【答案】B
【解析】对于A：令 得： ；令 ，得 ．
，因此A错误；
对于B：
，因此B正确
对于C：因为 二项展开式的通项公式为 ，
由通项公式知， 二项展开式中偶数项的系数为负数，
所以 ，
由 ，令 ，得到 ，
令 ，得到 ，
所以 ，因此C错误
对于D：对原表达式的两边同时对 求导，
得到 ，
令 ，得到 ，令 ，得
所以，
所以选项D错误．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故选：B
3．（2023·江苏盐城·盐城市伍佑中学校考模拟预测）若 ，则
被8整除的余数为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【解析】在已知等式中，取 得 ，
取 得 ，
两式相减得 ，
即 ，
因为
因为 能被8整除，
所以 被8整除的余数为5，
即 被8整除的余数为5，
故选：B.
4．（2023春·辽宁阜新）（多选）关于 及其展开式，下列说法正确的是（ ）
A．该二项展开式中非常数项的系数和是
B．该二项展开式中第六项为
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】C．该二项展开式中不含有理项
D．当 时， 除以100的余数是1
【答案】AD
【解析】 展开式的第 项为 .
对于A，当 时，得到常数项为 .
又 的展开式的各项系数和为 ，
所以该二项展开式中非常数项的系数和是 ，故A正确.
对于B，该二项展开式中第六项为 ，故B错误.
对于C，当 时，对应的各项均为有理项，故C错误.
对于D，当 时，
，
因为
，
显然是100的倍数，即能被100整除，
所以当 时， 除以100的余数是 ，故D正确.
故选:AD.
5．（2023·全国·高三专题练习）设 ，若
，则实数m＝ .
【答案】
【解析】因为 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】令 得 ①，
令 得 ②，
① ②得 ，
所以 ，
其中
因为 ，
所以 ，
即 能被 整除，
又 ，
又 被 除余 ，所以 能被 整除，即 ，
所以 .
故答案为： .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】
