第8章　§8.9　圆锥曲线压轴小题突破练[培优课]_2.2025数学总复习_2024年新高考资料_1.2024一轮复习_2024年高考数学一轮复习讲义（新高考版）_学生版在此文件夹_学生用书Word版文档_957

§8.9 圆锥曲线压轴小题突破练 题型一 离心率范围问题 例1 (1)已知F是椭圆＋＝1(a>b>0)的右焦点，若直线x＝与x轴的交点为A，在椭圆上存在 点P满足线段AP的垂直平分线过点F，则椭圆的离心率的取值范围是( ) A. B. C．[－1,1] D. (2)(2022·哈尔滨模拟)已知双曲线的方程是－＝1(a>0，b>0)，点F ，F 为双曲线的两个焦点， 1 2 以FF 为直径的圆与双曲线相交于点P(点P在第一象限)，若∠PFF≤，则双曲线离心率的 1 2 1 2 取值范围是( ) A. B．[＋1，＋∞) C. D．(1，＋1] 听课记录：______________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 思维升华 求解圆锥曲线离心率范围问题的策略 (1)利用圆锥曲线的定义，以及余弦定理或勾股定理，构造关于 a，b，c的不等式或不等式 组求解，要注意椭圆、双曲线离心率自身的范围． (2)利用圆锥曲线的性质，如：椭圆的最大角、通径、三角形中的边角关系、曲线上的点到 焦点距离的范围等，建立不等式(不等式组)． (3)利用几何图形中几何量的大小，例如线段的长度、角的大小等，构造几何度量之间的关 系． 跟踪训练1 (1)(2022·南京市宁海中学模拟)设e ，e 分别为具有公共焦点F 与F 的椭圆和 1 2 1 2 双曲线的离心率，P为两曲线的一个公共点，且满足∠FPF＝，则ee 的最小值为( ) 1 2 1 2 A. B. C. D. (2)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，点P是C上任意一点，若圆O：x2＋y2＝b2上存在点M，N， 使得∠MPN＝120°，则C的离心率的取值范围是( ) A. B. C. D. 题型二 圆锥曲线中二级结论的应用 命题点1 椭圆、双曲线中二级结论的应用 例2 (1)(2022·咸宁模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，其左、右焦点分别为F ，F ，其离心 1 2 率e＝，点P为该椭圆上一点，且满足∠FPF ＝，已知△FPF 的内切圆半径为r＝，则该 1 2 1 2 椭圆的长轴长为( ) A．2 B．4 C．6 D．12(2)(2022·石家庄模拟)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)，过原点O的直线交C于A，B两点 (点B在右支上)，双曲线右支上一点P(异于点B)满足BA·BP＝0，直线PA交x轴于点D，若 ∠ADO＝∠AOD，则双曲线C的离心率为( ) A. B．2 C. D．3 听课记录：______________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 思维升华 焦点三角形的面积公式：P为椭圆(或双曲线)上异于长轴端点的一点，且∠FPF 1 2 ＝θ， 则椭圆中 ＝b2·tan ， 双曲线中 ＝. 周角定理：已知A，B为椭圆(或双曲线)上关于原点对称的两点，点P为椭圆(或双曲线)上异 于A，B的任一点， 则椭圆中k ·k ＝－， PA PB 双曲线中k ·k ＝. PA PB 跟踪训练2 (1)如图，F ，F 是椭圆C ：＋y2＝1与双曲线C 的公共焦点，A，B分别是 1 2 1 2 C ，C 在第二、四象限的公共点．若四边形AFBF 为矩形，则C 的离心率是( ) 1 2 1 2 2 A. B. C. D. (2)设椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F ，F ，上、下顶点分别为A，B，直线AF 与 1 2 2 该椭圆交于A，M两点，若∠FAF＝90°，则直线BM的斜率为( ) 1 2 A. B. C．－1 D．－ 命题点2 抛物线中二级结论的应用 例3 (1)(2022·“四省八校”联考)已知抛物线y2＝4x过焦点F的直线与抛物线交于A，B两 点，则2|AF|＋|BF|的最小值为( ) A．2 B．2＋3 C．4 D．3＋2 (2)(2023·长沙模拟)已知抛物线C：y2＝16x，倾斜角为的直线l过焦点F交抛物线于A，B两 点，O为坐标原点，则△ABO的面积为________． 听课记录：______________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 思维升华 与抛物线的焦点弦有关的二级结论： 若倾斜角为α的直线l经过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，且与抛物线相交于A(x ，y)，B(x ， 1 1 2y)(y>y)两点，则 2 1 2 ①焦半径|AF|＝x＋＝， 1 |BF|＝x＋＝， 2 ②焦点弦长|AB|＝x＋x＋p＝， 1 2 ③S ＝(O为坐标原点)， △OAB ④xx＝，yy＝－p2， 1 2 1 2 ⑤＋＝， ⑥以AB为直径的圆与准线相切，以FA为直径的圆与y轴相切． 跟踪训练3 已知A，B是过抛物线y2＝2px(p>0)焦点F的直线与抛物线的交点，O是坐标原 点，且满足AB＝3FB，S ＝|AB|，则|AB|的值为( ) △OAB A. B. C．4 D．2 题型三 圆锥曲线与其他知识的综合 例4 (多选)油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1 000多年的历史，为宣传和推广这一传 统工艺，某市文化宫于春分时节开展油纸伞文化艺术节．活动中，某油纸伞撑开后摆放在户 外展览场地上，如图所示，该伞的伞沿是一个半径为1的圆，圆心到伞柄底端的距离为1， 阳光照射油纸伞在地面上形成了一个椭圆形的影子(春分时，该市的阳光照射方向与地面的 夹角为60°)，若伞柄底端正好位于该椭圆的左焦点位置，则( ) A．该椭圆的离心率为 B．该椭圆的离心率为2－ C．该椭圆的焦距为 D．该椭圆的焦距为2－1 听课记录：______________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 思维升华 高考对圆锥曲线的考查，经常出现一些与其他知识交汇的题目，如与平面向量交 汇、与三角函数交汇、与不等式交汇、与导数交汇等等，这些问题的实质是圆锥曲线问题， 体现出数学的应用性． 跟踪训练4 (多选)(2022·福州质检)如图为陕西博物馆收藏的国宝——唐·金筐宝钿团花纹金 杯，杯身曲线内收，巧夺天工，是唐代金银细作的典范．该杯的主体部分可以近似看作是双 曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右支与直线x＝0，y＝4，y＝－2围成的曲边四边形ABMN绕y 轴旋转一周得到的几何体，若该金杯主体部分的上口外直径为，下底外直径为，双曲线 C 与坐标轴交于D，E两点，则( )A．双曲线C的方程为－＝1 B．双曲线－x2＝1与双曲线C共渐近线 C．存在一点，使过该点的任意直线与双曲线C有两个交点 D．存在无数个点，使它与D，E两点的连线的斜率之积为3