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§2.13 实际问题中的函数模型
课标要求 1.了解指数函数、对数函数与一次函数增长速度的差异.2.理解“指数爆炸”
“对数增长”“直线上升”等术语的含义.3.能选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律，
了解函数模型在社会生活中的广泛应用．
知识梳理
1．三种函数模型的性质
函数
y＝ax(a>1) y＝log x(a>1) y＝xα(α>0)
a
性质
在(0，＋∞)
单调递增 单调递增 单调递增
上的增减性
增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳
随x的增大逐渐表现 随x的增大逐渐表现 随α值的变化而各有
图象的变化
为与 y 轴 平行 为与 x 轴 平行 不同
2.常见的函数模型
函数模型 函数解析式
一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)
二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
反比例函数模型 f(x)＝＋b(k，b为常数，k≠0)
指数函数模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)
对数函数模型 f(x)＝blog x＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)
a
幂函数模型 f(x)＝axα＋b(a，b，α为常数，a≠0，α≠0)
自主诊断
1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数y＝2x的函数值比y＝x2的函数值大．( × )
(2)A公司员工甲购买了某公司的股票，第一天涨了 10%，第二天跌了10%，则员工甲不赚
不赔．( × )
(3)已知a>1，在(0，＋∞)上，随着x的增大，y＝ax的增长速度会超过并远远大于y＝xa和y
＝log x的增长速度．( √ )
a
(4)在选择函数模型解决实际问题时，必须使所有的数据完全符合该函数模型．( × )2．当x越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应该是( )
A．y＝100x B．y＝log x
100
C．y＝x100 D．y＝100x
答案 D
解析 根据函数特点可知，指数函数的增长是爆炸式增长，则当x越来越大时，底数大于1
的指数函数增长速度最快．
3．(2024·南宁联考)有一组实验数据如表：
x 2 3 4 5 6
y 1.40 2.56 5.31 11 21.30
则体现这组数据的最佳函数模型是( )
A．y＝ B．y＝log x
2
C．y＝·2x D．y＝x2
答案 C
解析 通过所给数据可知，y随x的增大而增大，且增长的速度越来越快，A，B选项中的
函数增长速度越来越慢，不正确；C选项中，当x＝6时，y≈21.33；D选项中，当x＝6时，
y＝18，误差偏大，故C选项正确．
4．(2023·福州模拟)我国的烟花名目繁多，其中“菊花”烟花是最壮观的烟花之一．制造时
一般是期望在它达到最高点时爆裂．如果烟花距地面的高度 h(单位：米)与时间t(单位：秒)
之间的关系为h(t)＝－5t2＋15t＋20，那么烟花冲出后在爆裂的最佳时刻距地面高度约为(
)
A．26米 B．28米
C．31米 D．33米
答案 C
解析 h(t)＝－5t2＋15t＋20＝－52＋，h(t) ＝h＝≈31.
max
题型一 用函数图象刻画变化过程
例1 (1)(多选)血药浓度是指药物吸收后在血浆内的总浓度．药物在人体内发挥治疗作用时，
该药物的血药浓度应介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间．已知成人单次服用 1单位某药
物后，体内血药浓度及相关信息如图所示：根据图中提供的信息，下列关于成人服用该药物的说法中，正确的是( )
A．首次服用1单位该药物，约10分钟后药物发挥治疗作用
B．每次服用1单位该药物，两次服药间隔小于2小时时，一定会产生药物中毒
C．首次服用1单位该药物，约5.5小时后第二次服用1单位该药物，可使药物持续发挥治
疗作用
D．首次服用1单位该药物，3小时后再次服用1单位该药物，不会发生药物中毒
答案 ABC
解析 从图象中可以看出，首次服用1单位该药物，约10分钟后药物发挥治疗作用，A正
确；根据图象可知，首次服用1单位该药物，约1小时后血药浓度达到最大值，由图象可知，
当两次服药间隔小于2小时时，一定会产生药物中毒，B正确；服药5.5小时时，血药浓度
等于最低有效浓度，此时再服药，血药浓度增加，可使药物持续发挥治疗作用，C正确；首
次服用1单位该药物4小时后与再次服用1单位该药物1小时后，血药浓度之和大于最低中
毒浓度，因此一定会发生药物中毒，D错误．
(2)在一次实验中，某小组测得一组数据(x，y)(i＝1,2，…，11)，并由实验数据得到散点图．
i i
由此散点图，在区间[－2,3]上，下列四个函数模型(a，b为待定系数)中，最能反映x，y函
数关系的是( )
A．y＝a＋bx B．y＝a＋bx
C．y＝a＋log x D．y＝a＋
b
答案 B
解析 由散点图的定义域可排除C，D选项，由散点图的增长方式可知函数模型为指数型．
思维升华 判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法
(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选择函
数图象．
(2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合函数图象的变化趋势，验证是
否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案．
跟踪训练1 如图，点P在边长为1的正方形ABCD的边上运动，M是CD的中点，则当P沿A－B－C－M运动时，点P经过的路程x与△APM的面积y的函数y＝f(x)的图象大致是(
)
答案 A
解析 当点P在AB上时，y＝×x×1＝x,0≤x≤1；
当点P在BC上时，y＝S －S －S －S ＝－x＋，1，
即v2＋10v－600<0，解得－300，则BC＝ m，
这样的一个工作房的总造价为2×3x×800＋2××3×1 200＋20 000＝4 800x＋＋20 000，
因为4 800x＋＋20 000
≥2＋20 000＝48 800，
当且仅当4 800x＝，即x＝3时，等号成立，
所以一个这样的工作房的总造价最低为48 800元．
11．某商场为了实现100万元的利润目标，准备制订一个激励销售人员的奖励方案：在利润
达到5万元后，奖金y(单位：万元)随利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过
3万元，同时奖金不超过利润的20%，现有三个奖励模型：①y＝0.2x，②y＝log x，③y＝
5
1.02x，则符合该商场要求的模型为________．(填序号)
答案 ②
解析 在同一平面直角坐标系中作出函数y＝0.2x，y＝log x，y＝1.02x的图象，如图所示．
5
观察图象可知，在区间[5,100]内，函数y＝0.2x，y＝1.02x的图象都有一部分在直线y＝3的
上方，只有函数y＝log x的图象始终在直线y＝3和y＝0.2x的下方，所以按模型y＝log x进
5 5
行奖励符合商场的要求．12．(2024·海南模拟)“环境就是民生，青山就是美丽，蓝天也是幸福”，随着经济的发展和
社会的进步，人们的环保意识日益增强．某化工厂产生的废气中污染物的含量为 1.2
mg/cm3，排放前每过滤一次，该污染物的含量都会减少20%，当地环保部门要求废气中该
污染物的含量不能超过0.2 mg/cm3，若要使该工厂的废气达标排放，那么在排放前需要过滤
的次数至少为(参考数据：lg 2≈0.3，lg 3≈0.477)________．
答案 8
解析 过滤第1次污染物的含量为1.2×(1－0.2)(mg/cm3)；
过滤第2次污染物的含量为1.2×(1－0.2)2(mg/cm3)；
过滤第3次污染物的含量为1.2×(1－0.2)3(mg/cm3)；
…
过滤第n次污染物的含量为1.2×(1－0.2)n(mg/cm3)．
要求废气中该污染物的含量不能超过0.2 mg/cm3，
则1.2(1－0.2)n≤0.2，即n≥6，
两边取以10为底的对数可得lgn≥lg 6，
即nlg≥lg 2＋lg 3，
所以n≥，
因为lg 2≈0.3，lg 3≈0.477，
所以≈＝7.77，
所以n≥7.77，
又n∈N*，所以n ＝8，
min
故排放前需要过滤的次数至少为8.
四、解答题
13．(2024·株洲模拟)研究表明：在一节40分钟的网课中，学生的注意力指数y与听课时间
x(单位：分钟)之间的变化曲线如图所示，当x∈[0,16]时，曲线是二次函数图象的一部分；
当x∈[16,40]时，曲线是函数y＝log (x＋a)＋80图象的一部分，当学生的注意力指数不高于
0.8
68时，称学生处于“欠佳听课状态”．
(1)求函数y＝f(x)的解析式；
(2)在一节40分钟的网课中，学生处于“欠佳听课状态”的时间有多长？(参考数据：0.8－
12≈14.6，精确到1分钟)
解 (1)当x∈[0,16]时，设函数f(x)＝b(x－12)2＋84(b<0)，
因为f(16)＝b(16－12)2＋84＝80，
所以b＝－，
所以f(x)＝－(x－12)2＋84；
当x∈[16,40]时，f(x)＝log (x＋a)＋80，
0.8
由f(16)＝log (16＋a)＋80＝80，解得a＝－15，
0.8
所以f(x)＝log (x－15)＋80，
0.8
综上，f(x)＝
(2)当x∈[0,16]时，
令f(x)＝－(x－12)2＋84≤68，
即(x－12)2≥64，
解得x≤4或x≥20(舍去)，
所以x∈[0,4]；
当x∈[16,40]时，令f(x)＝log (x－15)＋80≤68，
0.8
得x≥15＋0.8－12≈29.6，
所以x∈[30,40]，
所以学生处于“欠佳听课状态”的时长为4－0＋40－30＝14(分钟)．
14．(2023·惠州模拟)近年来，国内多个城市纷纷加码布局“夜经济”，以满足不同层次的多
元消费，并拉动就业、带动创业，进而提升区域经济发展活力．某夜市的一位工艺品售卖者，
通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去的一个月内(以30天计)，每件的销售价
格 P(单位：元)与时间 x(单位：天)的函数关系近似满足 P(x)＝10＋(k 为常数，且
k>0,1≤x≤30，x∈N )，日销售量Q(单位：件)与时间x(单位：天)的部分数据如表所示：
+
x 10 15 20 25 30
Q(x) 50 55 60 55 50
已知第10天的日销售收入为505元．
(1)给出以下四个函数模型：①Q(x)＝ax＋b；②Q(x)＝a|x－m|＋b；③Q(x)＝a－bx；④Q(x)
＝a·log x.请你根据表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述日销售量
b
Q(x)与时间x的变化关系，并求出该函数的解析式；
(2)设该工艺品的日销售收入为f(x)(单位：元)，求f(x)的最小值．
解 (1)由表格中的数据知，当时间x变长时，Q(x)先增后减，
①③④函数模型都描述的是单调函数，不符合该数据模型．
所以选择函数模型②：Q(x)＝a|x－m|＋b.
由Q(15)＝Q(25)，可得|15－m|＝|25－m|，解得m＝20，
由解得则日销售量Q(x)与时间x的关系式为
Q(x)＝－|x－20|＋60(1≤x≤30，x∈N )．
+
(2)因为第10天的日销售收入为505元，
则×50＝505，解得k＝1，
所以P(x)＝＋10.
由(1)知Q(x)＝－|x－20|＋60
＝
则f(x)＝P(x)·Q(x)
＝
当1≤x≤20，x∈N 时，
+
f(x)＝10x＋＋401≥2＋401＝441，
当且仅当10x＝，即x＝2时，等号成立；
当20441，
综上可得，当x＝2时，函数f(x)取得最小值441.
