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§2.12 函数与方程的综合应用
重点解读 函数与方程的综合应用是历年高考的一个热点内容，经常以客观题出现，通过
分析函数的性质，结合函数图象研究函数的零点或方程的根的分布、个数等，题目难度较大，
一般出现在压轴题位置．
题型一 由零点分布求值(范围)
命题点1 二次函数的零点分布
例1 (1)(2023·扬州模拟)已知方程x2＋(m－2)x＋5－m＝0的两根都大于2，则实数m的取值
范围是( )
A．(－5，－4]∪[4，＋∞)
B．(－5，－4]
C．(－5，＋∞)
D．[－4，－2)∪[4，＋∞)
(2)(2023·苏州模拟)若函数f(x)＝(m－2)x2＋mx＋2m＋1的两个零点分别在区间(－1,0)和区间
(1,2)内，则m的取值范围是( )
A. B.
C. D.
命题点2 其他函数的零点分布
例2 已知定义在R上的奇函数满足f(2－x)＋f(x)＝0，当x∈(0,1]时，f(x)＝－log x，若函数
2
F(x)＝f(x)－sin πx在区间[－1，m]上有10个零点，则m的取值范围是( )
A．[3.5,4) B．(3.5,4]
C．(5,5.5] D．[5,5.5)
思维升华 对于二次函数零点分布的研究一般从以下几个方面入手
(1)开口方向；
(2)对称轴，主要讨论对称轴与区间的位置关系；
(3)判别式，决定函数与x轴的交点个数；
(4)区间端点值．
跟踪训练1 (1)设a为实数，若方程x2－2ax＋a＝0在区间(－1,1)上有两个不相等的实数解，
则a的取值范围是( )
A．(－∞，0)∪(1，＋∞)
B．(－1,0)
C.
D.∪(1，＋∞)
(2)(2023·郴州模拟)(多选)已知函数f(x)＝若方程f(x)＝k(k∈R)有四个不同的实数解，它们从小到大依次记为x，x，x，x，则( )
1 2 3 4
A．0<k<1 B．x＋x＝－1
1 2
C．e<x<e2 D．0<xxxx<e4
3 1 2 3 4
题型二 复合函数的零点
命题点1 复合函数的零点个数判定
例3 已知函数f(x)＝则函数g(x)＝f(f(x))－2f(x)＋1的零点个数是( )
A．4 B．5 C．6 D．7
命题点2 根据复合函数零点求参数
例4 (2024·驻马店模拟)已知函数f(x)＝若函数g(x)＝[f(x)]2－af(x)＋1有6个零点，则a的取
值范围是( )
A．(2,4] B．(2，＋∞)
C. D.
跟踪训练2 已知函数f(x)＝且关于x的方程[f(x)]2－(2m＋1)f(x)＋m2＋m＝0有7个不同的实
数解，则实数m的取值范围为______________________．
