文档文本内容
2.6 幂函数
思维导图
知识点总结
知识点一 幂函数的概念
一般地，函数 y ＝ x α 叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．
知识点二 五个幂函数的图象与性质
1．在同一平面直角坐标系内函数(1)y＝x；(2)y＝ ；(3)y＝x2；(4)y＝x－1；(5)y＝x3的图象
如图．
2．五个幂函数的性质
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x－1
定义域 R R R [0，＋∞) { x | x ≠ 0}
值域 R [0 ，＋ ∞ ) R [0 ，＋ ∞ ) { y | y ≠ 0}
奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇
在[0，＋∞) 上 在(0，＋∞)上
单调性 增 增， 增 增 减，
在(－∞，0] 上减 在(－∞，0)上减
知识点三 一般幂函数的图象特征
1．所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点 (1,1) ．
2．当α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数．特别地，当α>1
时，幂函数的图象下凸；当0<α<1时，幂函数的图象上凸．
3．当 α <0 时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数．
4．幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y＝x对称．
5．在第一象限，作直线x＝a(a>1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂
指数按从小到大的顺序排列．
典型例题分析
考向一 幂函数的概念
例1 (1)下列函数：
①y＝x3；②y＝x；③y＝4x2；④y＝x5＋1；⑤y＝(x－1)2；⑥y＝x；⑦y＝ax(a>1)．其中幂
函数的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 B
解析 幂函数有①⑥两个．
(2)已知 是幂函数，求m，n的值．
考点 幂函数的概念
题点 由幂函数定义求参数值
解 由题意得
解得或
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以m＝－3或1，n＝.
反思感悟 判断函数为幂函数的方法
(1)自变量x前的系数为1.
(2)底数为自变量x.
(3)指数为常数．
考向二 幂函数的图象及应用
例2 (1)已知幂函数f(x)＝xα的图象过点P，试画出f(x)的图象并指出该函数的定义域与单
调区间．
解 因为f(x)＝xα的图象过点P，
所以f(2)＝，即2α＝，
得α＝－2，即f(x)＝x－2，
f(x)的图象如图所示，
定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，单调减区间为(0，＋∞)，单调增区间为(－∞，0)．
(2)下列关于函数y＝xα与y＝αx的图象正确的是( )
答案 C
反思感悟 (1)幂函数图象的画法
①确定幂函数在第一象限内的图象：先根据α的取值，确定幂函数y＝xα在第一象限内的图
象．
②确定幂函数在其他象限内的图象：根据幂函数的定义域及奇偶性确定幂函数 f(x)在其他
象限内的图象．
(2)解决与幂函数有关的综合性问题的方法
首先要考虑幂函数的概念，对于幂函数y＝xα(α∈R)，由于α的取值不同，所以相应幂函数
的单调性和奇偶性也不同．同时，注意分类讨论思想的应用．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】考向三 比较幂值的大小
例3 比较下列各组数的大小．
(1)0.5与0.5；
(2)－1与－1；
(3) 与 .
解 (1)因为幂函数y＝x0.5在(0，＋∞)上是单调递增的，
又>，所以0.5>0.5.
(2)因为幂函数y＝x－1在(－∞，0)上是单调递减的，
又－<－，所以－1>－1.
(3)因为 在(0，＋∞)上是单调递增的，
所以 ＝1，
又 在(0，＋∞)上是单调递增的，
所以 ＝1，所以 .
反思感悟 此类题在构建函数模型时要注意幂函数的特点：指数不变．比较大小的问题主
要是利用函数的单调性，特别是要善于应用“搭桥”法进行分组，常数0和1是常用的中
间量．
考向四 幂函数性质的应用
例4 已知幂函数y＝x3m－9 (m∈N*)的图象关于y轴对称且在(0，＋∞)上单调递减，求满足
的a的取值范围．
考点 幂函数的性质
题点 利用幂函数的性质解不等式
解 因为函数在(0，＋∞)上单调递减，所以3m－9<0，
解得m<3.又因为m∈N*，所以m＝1,2.
因为函数的图象关于y轴对称，
所以3m－9为偶数，故m＝1.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】则原不等式可化为
因为 在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递减，
所以a＋1>3－2a>0或3－2a<a＋1<0或a＋1<0<3－2a，
解得<a<或a<－1.
故a的取值范围是.
通过具体事例抽象出幂函数的概念和性质，并应用单调性求解，所以，本典例体现了数学
中数学抽象与直观想象的核心素养．
基础题型训练
一、单选题
1．已知函数 是幂函数，则函数 ( ，且
)的图象所过定点 的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】先由函数是幂函数，求出 ，再由对数函数的特征，即可判断定点坐标.
【详解】因为函数 是幂函数，
所以 ，因此 ，
所以 ，
由 可得 ， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以函数 ( ，且 )的图象所过定点 的坐标是 .
故选：A.
2．函数 的单调减区间是（ ）
A． B． C． D． 和
【答案】D
【分析】利用f（x） 与y 的图像间的关系及幂函数性质即可得答案．
【详解】根据题意，函数f（x） 的图像是由y 的图像向下平移一个单位得到的，
∴定义域为{x|x≠0}，单调性与y 的单调性相同，
而函数y 的单调减区间是（﹣∞，0）和（0，+∞），
∴函数f（x） 的单调减区间是（﹣∞，0）和（0，+∞）；
故选D．
【点睛】本题考查函数的单调区间的求法及图像变换，考查了基本初等函数的性质，属于
基础题．
3．已知幂函数y＝ (m∈Z)的图象与x轴和y轴没有交点，且关于y轴对称，则m等
于（ ）
A．1 B．0，2 C．－1，1，3 D．0，1，2
【答案】C
【分析】由幂函数的图象的性质得到指数小于零，且为偶数，解不等式得m的可能值，然
后再进行检验.
【详解】∵幂函数y＝ (m∈Z)的图象与x轴、y轴没有交点，且关于y轴对称，
∴m2－2m－3≤0，且m2－2m－3(m∈Z)为偶数，
由m2－2m－3≤0，得－1≤m≤3，又m∈Z，
∴m＝－1，0，1，2，3.
当m＝－1时，m2－2m－3＝1＋2－3＝0，为偶数，符合题意；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】当m＝0时，m2－2m－3＝－3，为奇数，不符合题意；
当m＝1时，m2－2m－3＝1－2－3＝－4，为偶数，符合题意；
当m＝2时，m2－2m－3＝4－4－3＝－3，为奇数，不符合题意；
当m＝3时，m2－2m－3＝9－6－3＝0，为偶数，符合题意．
综上所述，m＝－1，1，3.
故选：C.
4．已知函数 是定义在 上的奇函数，当 时， ，
若 ， ，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据函数的解析式，分 、 和 三种情况分类讨论，得
出函数的解析式，结合函数的图象，即可求解.
【详解】由题意，当 时， ，
所以当 时， ；
当 时， ；
当 时， .
综上，函数 ，
在 时的解析式等价于 .
根据奇函数的图像关于原点对称作出函数 在 上的大致图像如图所示，
观察图像可知，要使 ， ，则需满足 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】解得 .
故选：B.
5．下列比较大小中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用函数的单调性进行判断即可.
【详解】解：对于A选项，因为 在 上单调递增，所以 ，故A错
误，
对于B选项，因为 在 上单调递减，所以 ，故B错误，
对于C选项， 为奇函数，且在 上单调递增，所以 在 上单调递增，
因为 ，又 ，
所以 ，故C正确，
对于D选项， 在 上是递增函数，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】又 ，所以 ，所以 ，故D错误.
故选：C.
6．“ ”是“函数 在 上单调递增”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据幂函数的性质可得： ，然后根据充分、必要条件的判断即可求解.
【详解】由函数的性质可得： ，
因为由 一定能推出 ，但由 不一定能推出 ，
所以“ ”是“函数 在 上单调递增”的充分不必要条件，
故选： .
二、多选题
7．关于幂函数 是常数），结论正确的是（ ）
A．幂函数的图象都经过原点
B．幂函数图象都经过点
C．幂函数图象有可能关于 轴对称
D．幂函数图象不可能经过第四象限
【答案】BCD
【分析】根据幂函数的性质逐一判断.
【详解】对于A：幂函数 不经过原点 ，A错误
对于B：对于幂函数 是常数），当 时， ，经过点 ，B正确；
对于C：幂函数 的图像关于 轴对称，C正确；
对于D：幂函数图象不可能经过第四象限，D正确.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故选：BCD.
8．已知函数 的图象经过点 ，则（ ）
A． 的图象经过点（2，4） B． 的图象关于原点对称
C． 在 上单调递减 D． 在 内的值域为
【答案】BCD
【分析】由题意得 ，结合幂函数与反比例函数的图象与性质即可求解
【详解】将点 代入 ，可得 ，则 ，
f（x）的图象不经过点（2，4），A错误；
根据反比例函数的图象与性质可得B，C，D正确.
故选：BCD
三、填空题
9．已知幂函数 在 上单调递增，则m＝______．
【答案】4
【分析】根据幂函数的定义与性质列式求解.
【详解】由题意可得 ，解得
故答案为：4.
10．已知 是奇函数，且当 时， .若 ，则 __________.
【答案】-3
【分析】当 时 ， 代入条件即可得解.
【详解】因为 是奇函数，且当 时 ， ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】又因为 ， ，
所以 ，两边取以 为底的对数得 ，所以 ，即 ．
【点睛】本题主要考查函数奇偶性，对数的计算．渗透了数学运算、直观想象素养．使用
转化思想得出答案．
11．若函数 为奇函数，则 的取值范围为__________．
【答案】
【详解】分析： 中， ，由 在定义域内是一个偶函数，
，知 为奇函数，由此能求出 的取值范围.
详解： 中， ，
，
在定义域内是一个偶函数， ，
要使函数 为奇函数，则 为奇函数，
①当 时， ；
②当 时， ；
③当 时， .
只有定义域为 的子区间，且定义域关于0对称， 才是奇函数，
，即 ，
.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故答案为 .
点睛：本题考查函数的奇偶性的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意分类讨论思想
的灵活应用.
12．已知幂函数 为偶函数，且在区间 上是单调增函数，则
的值为_________．
【答案】
【详解】试题分析：因为幂函数 在区间 上是单调增函数，所以
，解得： ，因为 ，所以 或 或 ．因为幂函数
为偶函数，所以 是偶数，当 时， ，不符合，舍去；
当 时， ；当 时， ，不符合，舍去．所以
，故 ．
考点：1、幂函数的性质；2、函数值．
四、解答题
13．在同一坐标系内画出下列函数的图象，并加以比较：
（1） ， ；
（2） ， .
【答案】（1）答案解详解；（2）答案见详解.
【分析】（1）利用幂函数的图象与性质即可求解.
（2）利用幂函数的图象与性质即可求解.
【详解】（1）图象如图（1），
仅在 上存在图象，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】在 上存在图象，且在第一象限内，两图象交于点 ，
当 时， 的图象在 图象的上方，
当 时， 的图象在 图象的下方，
的图象在 图象的下方，
（2）图象如图（2），
仅图象在第一、三象限，
图象在第一、二象限内，且在第一象限内，两图象交于点 ，
当 时， 的图象在 图象的下方，
当 时， 的图象在 图象的上方，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】14．已知函数 为幂函数，且为奇函数.
（1）求 的值；
（2）求函数 在 的值域.
【答案】（1） ；（2）
【解析】（1）首先根据幂函数的定义得到 ，从而得到 或 ，再根
据 为奇函数，即可得到答案.
（2）首先根据题意得到 ，再利用换元法求值域即可.
【详解】（1）因为函数 为幂函数，
所以 ，解得 或 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】即 或 .
又因为函数 为奇函数，所以 ， .
（2） ，
设 ，因为 ，所以 ， .
所以 ，
当 时， ，当 时， ，故值域为 .
15．已知幂函数 （m为正整数）的图像关于y轴对称，且在 上是严格
减函数，求满足 的实数a的取值范围．
【答案】
【分析】根据函数为幂函数以及函数的性质，可确定参数m的取值，结合幂函数 的
单调性，分类讨论求解不等式，可得答案.
【详解】因为函数 在 上是严格减函数，所以 ，解得 ．
由m为正整数，则 或 ,
又函数 的图像关于y轴对称，得 是偶函数，
而当 时， ， 为奇函数，不符题意，
当 时， ， 为偶函数，于是 ．
因为 为奇函数，在 与 上均为严格减函数，
所以 等价于 或 或 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】解得 或 ，即 .
16．已知函数 为奇函数，其中
求 的值；
求使不等式 成立的 的取值范围.
【答案】（1） ， .（2）
【分析】（1）根据 ，可化简为 ，已知 ，解
出 的值；（2）根据（1）的结果，解不等式 ，求 的取值范围.
【详解】解： 因为 为奇函数，所以 对定义域内任意的 恒成立
即
化简得
故 ， ，解得 ， .
由 知
由 ，得
解得
综上，满足题意的 的取值范围是
【点睛】本题考查了对数型函数是奇函数求参数取值的问题，属于基础题型，当对数型函
数是奇函数时，经常利用 ，计算求解.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】提升题型训练
一、单选题
1．幂函数f（x）的图象过点 ，则f（x）的一个单调递减区间是（ ）
A．（0，+∞） B．[0，+∞） C．（﹣∞，0] D．（﹣∞，0）
【答案】A
【分析】设 ,根据 ,解出 ,根据幂函数的单调性可得答案.
【详解】设 ,则 ,即 ,
所以 ,所以 ,
所以 的递减区间为 ,
故选:A
【点睛】本题考查了求幂函数的解析式,考查了幂函数的单调性,属于基础题.
2．数学学习的最终目标：让学习者会用数学眼光观察世界，会用数学思维思考世界，会用
数学语言表达世界.“双11”就要到了，电商的优惠活动很多，某同学借助于已学数学知识对
“双11”相关优惠活动进行研究.已知2019年“双11”期间某商品原价为 元，商家准备在
节前连续2次对该商品进行提价且每次提价 ，然后在“双11”活动期间连续2次对该商
品进行降价且每次降价 .该同学得到结论：最后该商品的价格与原来价格 元相比.
A．相等 B．略有提高 C．略有降低 D．无法确定
【答案】C
【分析】先阅读题意，再列出现价，再比较大小即可.
【详解】解：设现价为 ，则 ，则 ，则该商品的价
格与原来价格相比略有降低，
故选C.
【点睛】本题考查了函数的实际应用，重点考查了阅读能力，属基础题.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】3．已知 是幂函数，且 、 ， 都有 ，
则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用函数 是幂函数且在 为增函数可求得 的值，将所求不等式变形为
，由此可得出关于实数 的不等式，由此可解得实数 的取值范围.
【详解】因为 是幂函数，所以 ，解得 或 .
又因为 、 ， 都有 ，
可设 ，则 ，所以，函数 是单调递增函数，
当 时， ，该函数在 上不单调，不合乎题意；
当 时， ，该函数在 上为增函数.
所以 等价于 ，所以 ，解得 .
故答案为： .
【点睛】本题考查利用函数的单调性求解函数不等式，同时也考查了利用幂函数求参数，
考查计算能力，属于中等题.
4．已知幂函数 为偶函数，则关于函数 的下列四个结论中
正确的是（ ）
A． 的图象关于原点对称 B． 的值域为
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】C． 在 上单调递减 D．
【答案】D
【分析】根据 为幂函数且为偶函数可得 ，进而得 ，根据奇偶性的判
断可判断A，根据单调性确定值域可判断B，C,代入计算 进而可判断D.
【详解】因为 是幂函数,所以 ,解得 或 ,
又 是偶函数,所以 ,故 ,
故 ;
对于A; ,故 是偶函数，图象关于 轴对称，故A错误，
对于B； ，由于 ，所以 ，故 ，故值域为
，故B错误,
对于C; ,由于 在 单调递增，故 在 单调递减，故
在 递增，故C错误，
对于D； 从而 ，故D正确，
故选：D
5．定义在R上的偶函数 在[0，＋∞)上是增函数，则方程 ＝ 的所有实
数根的和为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【分析】由函数 为R上的偶函数，由偶函数的性质 有f(|x|)＝f(|2x
－3|)，再结合函数在[0，＋∞)上是增函数，列方程|x|＝|2x－3|求解即可.
【详解】解:由于函数f(x)为偶函数，则f(|x|)＝f(|2x－3|)，又函数f(x)在[0，＋∞)上是增函
数，则|x|＝|2x－3|，整理得x2－4x＋3＝0，解得x＝1，x＝3，故x＋x＝4.
1 2 1 2
故选D.
【点睛】本题考查了偶函数的性质 及函数单调性，重点考查了函数的
性质，属基础题.
6．下列命题中，正确的有（ ）个
①对应： 是映射，也是函数；
②若函数 的定义域是（1,2），则函数 的定义域为 ；
③幂函数 与 图像有且只有两个交点；
④当 时，方程 恒有两个实根.
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】对于①，由映射和函数的定义判断即可；
对于②，由抽象函数的定义求解即可；
对于③，结合幂函数的性质作出图象即可判断；
对于④，将问题转化为 与 的图象交点个数的问题，作出图象即可判断.
【详解】解：对于①，对应： 是映射，也是函数；符合映射，
函数的定义，故①对；
对于②，若函数 的定义域是（1,2），则 故函
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】数 的定义域为 ，故②对
对于③，幂函数 为偶函数，在 上单调递增，在 上单调递减且图
像过 ， 为偶函数，在 上单调递减，在 上单调递增且图像过
所以两个图像有且只有两个交点；故③对；
于④，当 时， 单调递增，且函数值大于1，所以当 时，方程 只
有一个实根.故④错；
故选：C
二、多选题
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】7．已知函数f（x）=xa的图象经过点（ ，2），则（ ）
A．f（x）的图象经过点（2，4） B．f（x）的图象关于原点对称
C．f（x）在（0，+∞）上单调递增 D．f（x）在（0，+∞）内的值域为
（0，+∞）
【答案】BD
【分析】代入已知点坐标求得函数解析式，然后根据幂函数的性质判断．
【详解】将点 的坐标代入 ，可得 ，则 ， 的图象不经
过点 ，A错误. 在 上单调递减，C错误.根据反比例函数的图象与性质可得
B，D正确.
故选：BD．
8．设函数 ，则（ ）
A．存在实数 ，使 的定义域为R
B．函数 一定有最小值
C．对任意的负实数 ， 的值域为
D．若函数 在区间 上递增，则
【答案】ABD
【分析】对于A：当 时，
的定义域为R，所以A正确；
对于B： ，所以 一定有最小值，所以B正确；
对于C： 举例验证即可；
对于D：分两种情况，根据单调性求解，所以D正确；
【详解】对于A：当 ，即 时，若 ，定义域为 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】当 时，若 的定义域为R，则 ，即 ，即
， ，所以存在实数 ，使 的定义域为R，所以A正确；
对于B： ，所以 一定有最小值，所以B正确；
对于C：当 时， ，所以 的值域为 ，所
以C不正确；
对于D：当 ，即 时，若 ，满足函数 在区间 上递增，
当 时，若函数 在区间 上递增，则 ，解得 ，
综上 ，所以D正确；
故选：ABD.
三、填空题
9．已知幂函数f(x)=xa的图象过点(4,2),则a=_______
【答案】
【分析】直接把点的坐标代入幂函数的解析式即得解.
【详解】由题得
所以 .
故答案为
【点睛】本题主要考查幂函数的解析式中参数的求法，意在考查学生对该知识的理解掌握
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】水平.
10．实数 满足 ，则实数 的取值集合为__________.
【答案】
【分析】首先分析出幂函数 的定义域和单调性，然后可解出不等式.
【详解】 ，其定义域为 ，且在定义域上单调递减，
因为 ，所以 ，解得
故答案为：
11．已知幂函数 的图像关于直线 对称，且在 上单调递
减，则关于 的不等式 的解集为______．
【答案】
【分析】由幂函数单调递减得 ，结合图像关于 对称即为偶函数，
即可求得 ，利用幂函数 的单调性即可解不等式.
【详解】由 在 上单调递减得， ，故 ，
又 ，故 或2，当 时， ，满足条件；当 时， ，
图像不关于直线 对称，故 .
因为函数 在 为减函数，故由不等式 得，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】或 或 .
解得 或 ，综上： .
故答案为：
12．设函数 ，则使 成立的 的取值范围是___________.
【答案】
【详解】分析：首先判断函数 为偶函数，再判断 在 单调递
减，得到 在 单调递增，从而将原不等式转化为 求解即可.
详解：因为函数 ，所以 时， ,可得 在
单调递减， ，所以函数 为偶函数，所以 在
单调递增，又因为 ， ，
， ， ，故答案为 .
点睛：本题主要考查抽象函数的奇偶性与单调性的应用，属于难题.将奇偶性与单调性综合
考查是，一直是命题的热点，解这种题型往往是根据函数在所给区间上的单调性，根据奇
偶性判断出函数在对称区间上的单调性(偶函数在对称区间上单调性相反，奇函数在对称区
间单调性相同)，然后再根据单调性列不等式求解.
四、解答题
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】13．已知幂函数的图像经过点 ，求这个幂函数的解析式.
【答案】 .
【解析】设出幂函数的解析式，把点的坐标代入求出参数即可.
【详解】解：设幂函数 ，因为图像经过点 ，所以 ，所以 ，所以
.
【点睛】本题考查了已知幂函数图像过点求解析式问题，属于基础题.
14．已知幂函数 图像不经过第三象限；
(1)求 的值；
(2)求函数 的值域.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据幂函数的定义可知 ，再结合其图像不经过第三象限即可求
出；
（2）由（2）可知， ，定义域为 ，再换元 ，根据二
次函数的性质即可求出．
(1)
根据题意得 ， ，解得 或 ，又因为 的图象 不经过第
三象限，所以 ．
(2)
由题意得 ， .令 ， ，
在 单调递增，所以 的值域为 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】15．已知函数 .
（1）若 是实数集 上的奇函数，求 的值；
（2）用定义证明 在实数集 上的单调递增；
（3）若 的值域为 ，且[ ，求 的取值范围.
【答案】（1） ；（2）证明见解析；（3） .
【分析】（1）利用奇函数的定义，建立方程，即可求实数m的值；
（2）利用函数的单调性定义证明即可；
（3）由 可得 ，即 ，解之即可.
【详解】（1）∵f（x）是R上的奇函数，
∴f（x）+f（﹣x）=m﹣ +m﹣ =0，
即2m﹣（ + ）=0 2m﹣1=0，
⇒
解得m= .
（2）设 x1＜x2且x1，x2∈R，
则f（x1）﹣f（x2）=m﹣ ﹣（m﹣ ）= ，
∵x1＜x2∴ ，
，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），
∴f（x）在R上单调递增.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（3）由 ，所以m﹣1＜f（x）＜m，f（x）值域为D，
且 ，∴D=（m﹣1，m），
∵
∴ ， ∴m的取值范围是 ．
【点睛】本题考查了函数的奇偶性与单调性，考查了集合之间的包含关系，考查了推理能
力，属于中档题．
16．已知幂函数 满足 ．
(1)求函数 的解析式；
(2)若函数 ，是否存在实数 使得 的最小值为0？若存在，
求出 的值；若不存在，说明理由；
(3)若函数 ，是否存在实数 ，使函数 在 上的值域为
？若存在，求出实数 的取值范围；若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)存在 使得 的最小值为0
(3)存在，
【分析】（1）由题意可得 ，从而可求出 ，再由 可知幂函数为
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】增函数，从而可确定出函数解析式，
（2）由（1）可得 ，令 ，则 ， ，然后分 ，
和 三种情况求函数的最小值，
（3） ，由题意可得 ，令 ， ，则得
，求得 ， ，从而可求出范围
(1)
∵ 为幂函数，∴ ，∴ 或 ．
当 时， 在 上单调递减，
故 不符合题意．
当 时， 在 上单调递增，
故 ，符合题意．∴ ．
(2)
，令 ．∵ ，∴ ，
∴ ， ．
当 时， 时，函数有最小值，∴ ， ．
②当 时， 时，函数有最小值．∴ ， （舍）．
③当 时， 时，函数有最小值，
∴ ， （舍）．
∴综上 ．
(3)
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】，易知 在定义域上单调递减，
∴ ，即 ，
令 ， ，
则 ， ，
∴ ，∴ ，
∴ ．
∵ ，∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ．
∵ ，∴ ，∴ ，
∴ ．
∴ ．
【点睛】关键点点睛：此题考查幂函数的解析式的求法，考查二次函数的性质的应用，考
查函数值域的求法，考查数学分类思想，第（3）问解题的关键是由题意得 ，
换元令 ， ，进一步转化为求解得 ，从而可得 ，再
利用二次函数的性质可求得结果，属于较难题
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