文档内容
2.6 幂函数
思维导图
知识点总结
知识点一 幂函数的概念
一般地，函数 y ＝ x α 叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．
知识点二 五个幂函数的图象与性质
1．在同一平面直角坐标系内函数(1)y＝x；(2)y＝ ；(3)y＝x2；(4)y＝x－1；(5)y＝x3的图象
如图．
2．五个幂函数的性质
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x－1
定义域 R R R [0，＋∞) { x | x ≠ 0}
值域 R [0 ，＋ ∞ ) R [0 ，＋ ∞ ) { y | y ≠ 0}
奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇
在[0，＋∞) 上 在(0，＋∞)上
单调性 增 增， 增 增 减，
在(－∞，0] 上减 在(－∞，0)上减
知识点三 一般幂函数的图象特征
1．所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点 (1,1) ．
2．当α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数．特别地，当α>1
时，幂函数的图象下凸；当0<α<1时，幂函数的图象上凸．
3．当 α <0 时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数．
4．幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y＝x对称．
5．在第一象限，作直线x＝a(a>1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂
指数按从小到大的顺序排列．
典型例题分析
考向一 幂函数的概念
例1 (1)下列函数：
①y＝x3；②y＝x；③y＝4x2；④y＝x5＋1；⑤y＝(x－1)2；⑥y＝x；⑦y＝ax(a>1)．其中幂
函数的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 B
解析 幂函数有①⑥两个．
(2)已知 是幂函数，求m，n的值．
考点 幂函数的概念
题点 由幂函数定义求参数值
解 由题意得
解得或
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以m＝－3或1，n＝.
反思感悟 判断函数为幂函数的方法
(1)自变量x前的系数为1.
(2)底数为自变量x.
(3)指数为常数．
考向二 幂函数的图象及应用
例2 (1)已知幂函数f(x)＝xα的图象过点P，试画出f(x)的图象并指出该函数的定义域与单
调区间．
解 因为f(x)＝xα的图象过点P，
所以f(2)＝，即2α＝，
得α＝－2，即f(x)＝x－2，
f(x)的图象如图所示，
定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，单调减区间为(0，＋∞)，单调增区间为(－∞，0)．
(2)下列关于函数y＝xα与y＝αx的图象正确的是( )
答案 C
反思感悟 (1)幂函数图象的画法
①确定幂函数在第一象限内的图象：先根据α的取值，确定幂函数y＝xα在第一象限内的图
象．
②确定幂函数在其他象限内的图象：根据幂函数的定义域及奇偶性确定幂函数 f(x)在其他
象限内的图象．
(2)解决与幂函数有关的综合性问题的方法
首先要考虑幂函数的概念，对于幂函数y＝xα(α∈R)，由于α的取值不同，所以相应幂函数
的单调性和奇偶性也不同．同时，注意分类讨论思想的应用．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】考向三 比较幂值的大小
例3 比较下列各组数的大小．
(1)0.5与0.5；
(2)－1与－1；
(3) 与 .
解 (1)因为幂函数y＝x0.5在(0，＋∞)上是单调递增的，
又>，所以0.5>0.5.
(2)因为幂函数y＝x－1在(－∞，0)上是单调递减的，
又－<－，所以－1>－1.
(3)因为 在(0，＋∞)上是单调递增的，
所以 ＝1，
又 在(0，＋∞)上是单调递增的，
所以 ＝1，所以 .
反思感悟 此类题在构建函数模型时要注意幂函数的特点：指数不变．比较大小的问题主
要是利用函数的单调性，特别是要善于应用“搭桥”法进行分组，常数0和1是常用的中
间量．
考向四 幂函数性质的应用
例4 已知幂函数y＝x3m－9 (m∈N*)的图象关于y轴对称且在(0，＋∞)上单调递减，求满足
的a的取值范围．
考点 幂函数的性质
题点 利用幂函数的性质解不等式
解 因为函数在(0，＋∞)上单调递减，所以3m－9<0，
解得m<3.又因为m∈N*，所以m＝1,2.
因为函数的图象关于y轴对称，
所以3m－9为偶数，故m＝1.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】则原不等式可化为
因为 在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递减，
所以a＋1>3－2a>0或3－2a
