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§2.8 对数与对数函数
考试要求 1.理解对数的概念及运算性质，能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常
用对数.2.通过实例，了解对数函数的概念，会画对数函数的图象，理解对数函数的单调性与
特殊点.3.了解指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝log x(a>0，且a≠1)互为反函数．
a
知识梳理
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1．对数的概念
一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作 x ＝ log N，其中
a
a 叫做对数的底数，N 叫做真数．
以10为底的对数叫做常用对数，记作 lg N .
以e为底的对数叫做自然对数，记作 ln N .
2．对数的性质与运算性质
(1)对数的性质：log 1＝0，log a＝1， ＝N(a>0，且a≠1，N>0)．
a a
(2)对数的运算性质
如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：
①log (MN)＝log M ＋ log N；
a a a
②log ＝log M － log N；
a a a
③log Mn＝ n log M (n∈R)．
a a
(3)对数换底公式：log b＝(a>0，且a≠1；b>0；c>0，且c≠1)．
a
3．对数函数的图象与性质
a>1 0<a<1
图象
定义域 (0 ，＋ ∞ )
值域 R
过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0
性 当x>1时， y >0 ； 当x>1时， y <0 ；
质 当0<x<1时， y <0 当0<x<1时， y >0
在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数
4.反函数
指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数 y ＝ log x(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关
a
于直线 y ＝ x 对称．
常用结论
1．log b·log a＝1， ＝log b.
a b a
2．如图给出4个对数函数的图象
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则b>a>1>d>c>0，即在第一象限，不同的对数函数图象从左到右底数逐渐增大．
3．对数函数y＝log x(a>0，且a≠1)的图象恒过点(1,0)，(a,1)，.
a
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若M＝N，则log M＝log N.( × )
a a
(2)函数y＝log 2x(a>0，且a≠1)是对数函数．( × )
a
(3)对数函数y＝log x(a>0，且a≠1)在(0，＋∞)上是增函数．( × )
a
(4)函数y＝log x与y＝ 的图象重合．( √ )
2
教材改编题
1．若函数f(x)＝log (x＋1)的定义域是[0,1]，则函数f(x)的值域为( )
2
A．[0,1] B．(0,1)
C．(－∞，1] D．[1，＋∞)
答案 A
解析 根据复合函数单调性同增异减可知f(x)在[0,1]上单调递增，
因为0≤x≤1，所以1≤x＋1≤2，则log 1≤log (x＋1)≤log 2，
2 2 2
即f(x)∈[0,1]．
2．函数y＝log (x－2)＋2(a>0，且a≠1)的图象恒过点________．
a
答案 (3,2)
解析 ∵log 1＝0，令x－2＝1，∴x＝3，y＝2，∴函数的图象过定点(3,2)．
a
3．eln 2＋＝________.
答案 4
解析 eln 2＋＝2＋log 16＝2＋2＝4.
4
题型一 对数式的运算
例1 (1)若2a＝5b＝10，则＋的值是( )
A．－1 B. C. D．1
答案 D
解析 由2a＝5b＝10，
∴a＝log 10，b＝log 10，
2 5
∴＝lg 2，＝lg 5，
∴＋＝lg 2＋lg 5＝lg 10＝1.
(2)计算：log 35＋ －log －log 14＝________.
5 5 5
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答案 2
解析 原式＝log 35－log －log 14＋
5 5 5
＝log ＋
5
＝log 125－1＝log 53－1＝3－1＝2.
5 5
思维升华 解决对数运算问题的常用方法
(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简．
(2)将同底对数的和、差、倍合并．
(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及
变形应用．
跟踪训练1 (1)(2022·保定模拟)已知2a＝3，b＝log 5，则4a－3b＝________.
8
答案
解析 因为2a＝3，所以a＝log 3，
2
又b＝log 5，
8
所以b＝log 5，
2
所以a－3b＝log ，4a－3b＝ ＝.
2
(2)(lg 5)2＋lg 2lg 5＋lg 4－log 4×log 3＝________.
3 2
答案 －1
解析 原式＝lg 5(lg 5＋lg 2)＋ －×＝lg 5＋lg 2－2＝1－2＝－1.
题型二 对数函数的图象及应用
例2 (1)已知函数f(x)＝log (2x＋b－1)(a>0，且a≠1)的图象如图所示，则a，b满足的关系
a
是( )
A．0<a－1<b<1
B．0<b<a－1<1
C．0<b－1<a<1
D．0<a－1<b－1<1
答案 A
解析 由函数图象可知，f(x)为增函数，故a>1.
函数图象与y轴的交点坐标为(0，log b)，
a
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由函数图象可知－1<log b<0，
a
解得<b<1.
综上，0<a－1<b<1.
(2)(2023·佛山模拟)已知函数f(x)＝|ln x|，若0<a<b，且f(a)＝f(b)，则a＋2b的取值范围是
________．
答案 (3，＋∞)
解析 f(x)＝|ln x|的图象如图，
因为f(a)＝f(b)，
所以|ln a|＝|ln b|，
因为0<a<b，
所以ln a<0，ln b>0，
所以0<a<1，b>1，
所以－ln a＝ln b，
所以ln a＋ln b＝ln(ab)＝0，
所以ab＝1，则b＝，
所以a＋2b＝a＋，
令g(x)＝x＋(0<x<1)，
则g(x)在(0,1)上单调递减，
所以g(x)>g(1)＝1＋2＝3，
所以a＋2b>3，
所以a＋2b的取值范围为(3，＋∞)．
思维升华 对数函数图象的识别及应用方法
(1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、
最高点、最低点等)排除不符合要求的选项．
(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．
跟踪训练2 (1)已知lg a＋lg b＝0(a>0且a≠1，b>0且b≠1)，则函数f(x)＝ax与g(x)＝
的图象可能是( )
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答案 B
解析 ∵lg a＋lg b＝0(a>0且a≠1，b>0且b≠1)，
∴ab＝1，∴a＝，
∴g(x)＝ ＝log x，函数f(x)＝ax与函数g(x)＝ 互为反函数，
a
∴函数f(x)＝ax与g(x)＝ 的图象关于直线y＝x对称，且具有相同的单调性．
(2)(2023·濮阳模拟)已知a>0且a≠1，函数y＝ax的图象如图所示，则函数f(x)＝log (－x＋1)
a
的部分图象大致为( )
答案 D
解析 由函数y＝ax的图象可得a>1.
当a>1时，y＝log x经过定点(1,0)，为增函数．
a
因为y＝log x与y＝log (－x)关于y轴对称，所以y＝log (－x)经过定点(－1,0)，为减函数．
a a a
而f(x)＝log (－x＋1)可以看作y＝log (－x)的图象向右平移一个单位长度得到的，
a a
所以f(x)＝log (－x＋1)的图象经过定点(0,0)，为减函数．结合选项可知选D.
a
题型三 对数函数的性质及应用
命题点1 比较对数式的大小
例3 (2023·武汉质检)已知a＝log 0.5，b＝log π，c＝log 3，则a，b，c的大小关系是( )
3 3 4
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A．a<b<c B．b<a<c
C．a<c<b D．c<a<b
答案 C
解析 a＝log 0.5<log 1＝0，即a<0；
3 3
b＝log π>log 3＝1，即b>1；
3 3
0＝log 1<log 3<log 4＝1，即0<c<1，
4 4 4
∴a<c<b.
命题点2 解对数方程、不等式
例4 若log (a＋1)<log (2)<0(a>0，且a≠1)，则实数a的取值范围是________．
a a
答案
解析 由题意log (a＋1)<log (2)<log 1，
a a a
得或
解得<a<1.
命题点3 对数函数的性质及应用
例5 (2023·郑州模拟)设函数f(x)＝ln|x＋3|＋ln|x－3|，则f(x)( )
A．是偶函数，且在(－∞，－3)上单调递减
B．是奇函数，且在(－3,3)上单调递减
C．是奇函数，且在(3，＋∞)上单调递增
D．是偶函数，且在(－3,3)上单调递增
答案 A
解析 函数f(x)的定义域为{x|x≠±3}，
f(x)＝ln|x＋3|＋ln|x－3|＝ln|x2－9|，
令g(x)＝|x2－9|，
则f(x)＝ln g(x)，
函数g(x)的单调区间由图象(图略)可知，
当x∈(－∞，－3)，x∈(0,3)时，g(x)单调递减，
当x∈(－3,0)，x∈(3，＋∞)时，g(x)单调递增，
由复合函数单调性同增异减得单调区间．
由f(－x)＝ln|(－x)2－9|＝ln|x2－9|＝f(x)得f(x)为偶函数．
思维升华 求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三个问题：一
是定义域；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成．
跟踪训练3 (1)(2023·开封模拟)已知函数f(x)＝log (6－ax)(a>0，且a≠1)在(0,2)上单调递减，
a
则实数a的取值范围是( )
A．(1,3] B．(1,3)
C．(0,1) D．(1，＋∞)
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答案 A
解析 令t(x)＝6－ax，因为a>0，所以t(x)＝6－ax为减函数．
又由函数f(x)＝log (6－ax)在(0,2)上单调递减，
a
可得函数t(x)＝6－ax>0在(0,2)上恒成立，且a>1，
故有解得1<a≤3.
(2)(2022·惠州模拟)若函数 f(x)＝log (a>0，且 a≠1)有最小值，则实数 a 的取值范围是
a
________．
答案 (1，)
解析 令u(x)＝x2－ax＋＝2＋－，
则u(x)有最小值－，
欲使函数f(x)＝log 有最小值，
a
则有
解得1<a<，即实数a的取值范围为(1，)．
课时精练
1．函数f(x)＝的定义域为( )
A. B.
C. D．[1，＋∞)
答案 A
解析 由题意，要使函数f(x)＝有意义，则满足log (2x－1)≥0，
0.5
所以0<2x－1≤1，解得<x≤1，即函数f(x)的定义域为.
2．若函数f(x)＝log x(a>0，且a≠1)的反函数的图象过点(1,3)，则f(log 8)等于( )
a 2
A．－1 B．1 C．2 D．3
答案 B
解析 依题意，函数f(x)＝log x(a>0，且a≠1)的反函数，即函数y＝ax的图象过点(1,3)，
a
则a＝3，f(x)＝log x，于是得f(log 8)＝log (log 8)＝log 3＝1，
3 2 3 2 3
所以f(log 8)＝1.
2
3．函数f(x)＝log (|x|－1)的图象为( )
2
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答案 A
解析 函数f(x)＝log (|x|－1)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，排除B，C；
2
由f(－x)＝log (|－x|－1)＝log (|x|－1)＝f(x)，
2 2
可知函数f(x)为偶函数，其图象关于y轴对称，排除D.
4．按照“碳达峰”“碳中和”的实现路径，2030年为碳达峰时期，2060年实现碳中和，到
2060年，纯电动汽车在整体汽车中的渗透率有望超过 70%，新型动力电池迎来了蓬勃发展
的风口．Peukert于1898年提出蓄电池的容量C(单位：Ah)，放电时间t(单位：h)与放电电
流I(单位：A)之间关系的经验公式：C＝In·t，其中n为Peukert常数，为了测算某蓄电池的
Peukert常数n，在电池容量不变的条件下，当放电电流I＝20 A时，放电时间t＝20 h；当放
电电流I＝30 A时，放电时间t＝10 h．则该蓄电池的Peukert常数n大约为( )
(参考数据：lg 2≈0.30，lg 3≈0.48)
A. B. C. D．2
答案 B
解析 根据题意可得C＝20n·20，C＝30n·10，
两式相比得＝1，即n＝，
所以n＝ ＝＝≈＝.
5．已知函数f(x)＝log (x＋1)－|x|，则不等式f(x)>0的解集是( )
2
A．(－1,1) B．(0,1)
C．(－1,0) D．∅
答案 B
解析 不等式f(x)>0⇔log (x＋1)>|x|，
2
分别画出函数y＝log (x＋1)和y＝|x|的图象，
2
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由图象可知y＝log (x＋1)和y＝|x|的图象有两个交点，分别是(0,0)和(1,1)，
2
由图象可知log (x＋1)>|x|的解集是(0,1)，
2
即不等式f(x)>0的解集是(0,1)．
6．(多选)已知函数f(x)＝|log (x＋1)|(a>1)，下列说法正确的是( )
a
A．函数f(x)的图象恒过定点(0,0)
B．函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递减
C．函数f(x)在区间上的最小值为0
D．若对任意x∈[1,2]，f(x)≥1恒成立，则实数a的取值范围是(1,2]
答案 ACD
解析 将(0,0)代入函数f(x)＝|log (x＋1)|(a>1)，成立，故A正确；
a
当x∈(0，＋∞)时，x＋1∈(1，＋∞)，又a>1，所以f(x)＝|log (x＋1)|＝log (x＋1)，由复合函
a a
数单调性可知，当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝|log (x＋1)|＝log (x＋1)单调递增，故B错误；
a a
当x∈时，x＋1∈，所以f(x)＝|log (x＋1)|≥log 1＝0，故C正确；
a a
当x∈[1,2]时，f(x)＝|log (x＋1)|＝log (x＋1)≥1恒成立，所以由函数为增函数知log 2≥1，
a a a
解得1<a≤2，故D正确．
7．(2023·淮北模拟)计算：－2＋ ＝______.
答案 10
解析 －2＋ ＝4＋2＋4＝10.
8．函数f(x)＝ 的最小值为________．
答案 －
解析 依题意得f(x)＝log x·(2＋2log x)＝(log x)2＋log x＝2－≥－，当且仅当log x＝－，即x
2 2 2 2 2
＝时等号成立，所以函数f(x)的最小值为－.
9．已知f(x)＝
(1)若a＝2，求f(x)的值域；
(2)若f(x)在(1，＋∞)上单调递减，求a的取值范围．
解 (1)当a＝2时，f(x)＝ ，
令t＝x2－2x＋10＝(x－1)2＋9，
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∴t≥9，f(x)≤ ＝－2，
∴f(x)的值域为(－∞，－2]．
(2)令u(x)＝x2－ax＋5a，
∵y＝ (x)为减函数，
∴u(x)＝x2－ax＋5a在(1，＋∞)上单调递增，
∴
解得－<a≤2，
∴a的取值范围是.
10．(2023·南昌模拟)已知函数f(x)＝log (9x＋1)＋kx是偶函数．
3
(1)求k；
(2)解不等式f(x)≥log (7·3x－1)．
3
解 (1)∵f(x)是偶函数，
∴f(－x)＝f(x)，
即log (9－x＋1)－kx＝log (9x＋1)＋kx对任意x∈R恒成立，
3 3
∴2kx＝log (9－x＋1)－log (9x＋1)＝log ＝log 3－2x＝－2x，
3 3 3 3
∴k＝－1.
(2)由(1)得f(x)＝log (9x＋1)－x＝log (9x＋1)－log 3x＝log ＝log (3x＋3－x)，
3 3 3 3 3
则不等式f(x)≥log (7·3x－1)等价于3x＋3－x≥7·3x－1>0，
3
由7·3x－1>0，解得x>－log 7；
3
由3x＋3－x≥7·3x－1，
得6·(3x)2－3x－1≤0，
得0<3x≤，
即x≤－log 2，
3
综上，不等式的解集为(－log 7，－log 2]．
3 3
11．若非零实数a，b，c满足2a＝3b＝6c＝k，则( )
A.＋＝ B.＋＝
C.＋＝ D.＋＝
答案 A
解析 由已知，得2a＝3b＝6c＝k，
得a＝log k，b＝log k，c＝log k，
2 3 6
所以＝log2，＝log3，＝log6，
k k k
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而2×3＝6，所以＋＝.
12．(多选)关于函数f(x)＝log x＋log (4－x)，下列说法正确的是( )
2 2
A．f(x)的最大值为1
B．f(x)在区间(0,2)上为增函数
C．f(x)的图象关于直线x＝2对称
D．f(x)的图象关于点(2,0)对称
答案 BC
解析 函数f(x)＝log x＋log (4－x)＝log (4x－x2)(0<x<4)，
2 2 2
当x＝2 时，4x－x2 取到最大值4，
故此时f(x)＝log x＋log (4－x)取到最大值log 4＝2 ，A错误；
2 2 2
f(x)＝log (4x－x2)(0<x<4)可以看作是由函数y＝log u，u＝－x2＋4x(0<x<4) 复合而成，而y＝
2 2
log u是定义域上的增函数，
2
u＝－x2＋4x(0<x<4)在(0,2)上单调递增，在(2,4)上单调递减，
故f(x)在区间(0,2)上为增函数，在(2,4)上为减函数，故B正确；
因为函数f(4－x)＝log (4－x)＋log x＝f(x)，故f(x)的图象关于直线x＝2对称，C正确；
2 2
因为f(4－x)＝log (4－x)＋log x＝f(x)≠－f(x)，故f(x)的图象不关于点(2,0)对称，D错误．
2 2
13．已知函数f(x)的定义域为R，图象恒过点(0,1)，对任意x ，x∈R，x≠x ，都有>1，则
1 2 1 2
不等式f(ln(ex－1))<1＋ln(ex－1)的解集为( )
A．(ln 2，＋∞) B．(－∞，ln 2)
C．(ln 2,1) D．(0，ln 2)
答案 D
解析 因为>1，不妨设x>x，
1 2
则f(x)－x>f(x)－x，令g(x)＝f(x)－x，
1 1 2 2
则g(x)在R上单调递增，
又f(0)＝1，
则不等式f(ln(ex－1))<1＋ln(ex－1)，
等价于f(ln(ex－1))－ln(ex－1)<1＝f(0)－0，
即g(ln(ex－1))<g(0)，所以ln(ex－1)<0，
则0<ex－1<1，解得 0<x<ln 2.
14．(多选)已知函数f(x)＝若f(x)＝a有四个解x ，x ，x ，x 且满足x<x<x<x ，则下列命题
1 2 3 4 1 2 3 4
正确的是( )
A．0<a<1
B．x＋2x∈(3，＋∞)
1 2
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C．x＋x＋x＋x∈
1 2 3 4
D．x∈[4，＋∞)
4
答案 AC
解析 作函数f(x)＝的图象如图所示，
f(x)＝a有四个解，即y＝a与y＝f(x)的图象有4个交点x，x，x，x 且x<x<x<x，
1 2 3 4 1 2 3 4
可得0<a<1，故选项A正确；
由图象可得x·x＝1，则＝x，
1 2 2
∴x＋2x＝x＋，
1 2 1
∵<x<1，且1<x<2，对勾函数y＝x＋在区间上单调递减，故当<x<1时，x ＋2x ＝x ＋∈，
1 2 1 1 2 1
故B错误；
x＋x＝＋x，∵<x<1，∴＋x∈，
1 2 1 1 1
∵x＋x＝8，
3 4
∴x＋x＋x＋x∈，故选项C正确；
1 2 3 4
令x2－8x＋13＝0，解得x＝4±，
由图象可知x∈(4＋，6)，故选项D错误．
4
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