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专题17 分式的基本性质重难点题型专训（9大题型）
【题型目录】
题型一 判断分式变形是否正确
题型二 求使分式变形成立的条件
题型三 利用分式的基本性质判断分式值的变化
题型四 将分式的分子分母的最高次项化为整数
题型五 将分式的分子分母各项系数化为整数
题型六 最简分式
题型七 约分
题型八 最简公分母
题型九 通分
【知识梳理】
【知识点1 分式的基本性质】
分式的分子与分母乘(或除以)同一个不等于0的整式，分式的值不变。
A A⋅C
=
B B⋅C
； （C≠0）。
【经典例题一 判断分式变形是否正确】
1．（2023上·山东淄博·八年级周村二中校考阶段练习）下列等式从左到右的变形正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据分式的基本性质分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为 的整式，
分式的值不变，解决即可．
【详解】 、 ，此变形错误，不符合题意；
、 ，此变形正确，符合题意；
、 ，此变形错误，不符合题意；
、 ，此变形错误，不符合题意；故选： ．
【点睛】此题考查了分式的基本性质，解决本题的关键是熟练掌握分式的基本性质及其应用．
2．（2023下·山西运城·八年级统考期末）下列分式的变形正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据分式的基本性质依次判断即可．
【详解】A. ，故此选项不符合题意；
B. 是最简分式，不能再约分，故此选项不符合题；
C. 是最简分式，不能再约分，故此选项不符合题意；
D. ，正确，故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了分式的基本性质和最简分式，分子分母不含公因式的分式叫做最简分式．熟练掌
握分式的基本性质是解题的关键．
3．（2022上·辽宁盘锦·八年级校考阶段练习）下列分式的变形中：① （c≠0）② ＝ ，③
④ ，错误的是 ．（填序号）
【答案】③④
【分析】根据分式的基本性质即可求出答案．
【详解】解：③原式= ，故③错误；
④原式= ，故④错误；故答案为③④．
【点睛】本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质，本题属于基础题型．
4．（2022·北京石景山·八年级统考期末）分式变形 中的整式A= ，变形的依据是 ．
【答案】 x2﹣2x, 分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．
【分析】依据x2-4=（x+2）（x-2），即可得到分式变形 = 中的整式A=x（x-2）=x2-2x．
【详解】∵x2-4=（x+2）（x-2），
∴分式变形 = 中的整式A=x(x−2)=x2−2x，
依据是分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变.
故答案为x2−2x,分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变.
【点睛】本题考查了分式的基本性质，解题的关键是熟练的掌握分式的基本性质.
5．（2023上·八年级课时练习）下列等式的右边是怎样从左边得到的？
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
【答案】(1)分子、分母同乘
(2)分子、分母同除以
(3)分子、分母同除以
(4)分子、分母同乘
【分析】根据分式的基本性质逐一解答即可．【详解】（1）解：分子、分母同乘 ，
；
（2）解：分子、分母同除以 ，
；
（3）解：分子、分母同除以 ，
；
（4）解：分子、分母同乘 ，
．
【点睛】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的分子和分母同时乘或除一个不等于零的数，分式的
值不变是解题的关键．
【经典例题二 求使分式变形成立的条件】
1．（2023下·河南南阳·八年级统考期中）当 时， 代表的代数式是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据分式的性质，分子分母同时乘以 ，即可求解．
【详解】解：∵
∴ ，故选：B．
【点睛】本题考查了分式的性质，熟练掌握分式的性质是解题的关键．
2．（2023下·浙江·七年级专题练习）已知 ，则分式 的值为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【分析】先根据等式的性质，等式两边同除以 ，可得 ，再把等式两边平方可得 ，然后
把原式分子分母同时除以 ，整体代入即可得出结果．
【详解】解：∵ 且 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴原式 ．
故选：A．
【点睛】此题考查了等式的性质，分式的性质，完全平方公式，整体代入思想方法，熟练掌握完全平方公
式是解本题的关键
3．（2022上·全国·八年级专题练习）根据分式的基本性质填空： ．
【答案】
【分析】根据分式的基本性质，分式的分子、分母同时乘以 ，即可求得．
【详解】解： ，
．故答案为： ．
【点睛】本题考查了分式的基本性质，完全平方公式，单项式乘以多项式法则，熟练掌握和运用分式的基
本性质是解决本题的关键．
4．（2020下·八年级统考课时练习）当分式 与分式 的值相等时， 需满足 ．
【答案】x≠±1
【分析】先化简 ，可知两式相等的条件是两个分式都有意义据此可求．
【详解】解:
因而两式相等的条件是两个分式都有意义．
∴x2-1≠0，
∴x≠±1．
故答案是: x≠±1．
【点睛】本题主要考查分式的化简，以及分式有意义的条件：分母不等于0．
5．（2023下·江苏扬州·八年级校考阶段练习）已知分式 ；试解答下列问题：
阅读材料：若分式 的值大于0（即 ），则 或
(1)根据上面这段阅读材料，若分式 ，求x的取值范围
(2)根据以上内容，自主採究：若分式 ，求x的取值范围（要求：写出探究过程）．
【答案】(1)
(2) 或
【分析】（1）仿照题意得到 或 ，然后解不等式组即可得到答案；
（2）仿照题意得到 或 ，然后解不等式组即可得到答案．【详解】（1）解：∵ ，
∴ 或 ，
解不等式组 得 ，解不等式组 得 ，即不等式组无解，
∴ ；
（2）解：∵ ，
∴ 或 ，
解不等式组 得 ，解不等式组 得 ，
∴ 或 ．
【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，分式的性质，正确理解题意是解题的关键．
【经典例题三 利用分式的基本性质判断分式值的变化】
1．（2023上·北京延庆·八年级统考期中）如果把分式 中的 和 的值同时扩大为原来的 倍，那么
分式的值（ ）
A．扩大为原来的 倍 B．缩小为原来的 倍
C．不改变 D．扩大为原来的 倍
【答案】A
【分析】依题意分别用 和 去代换原分式中的 和 ，利用分式的基本性质化简即可．
【详解】由 ，
∴扩大为原来的 倍，
故选： ．【点睛】此题考查了分式的基本性质，解题的关键是抓住分子、分母变化的倍数，解此类题首先把字母变
化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论．
2．（2022上·北京东城·八年级北京二中校联考期末）如图，对于分式中的四个符号，任意改变其中的两个，
分式的值不变的是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．②④
【答案】A
【分析】根据分式的基本性质得出分式本身的符号，分子的符号，分母的符号，改变其中的两个符号，分
式本身的值不变，再逐个判断即可．
【详解】解：因为分式本身的符号，分子的符号，分母的符号，改变其中的两个符号，分式的值不变，
所以同时改变①（分式本身的符号）和②（分母的符号），分式的值不变，
故选： ．
【点睛】本题考查了分式的基本性质，能熟记分式的符号变化规律，分式本身的符号，分子的符号，分母
的符号，改变其中的两个符号，分式本身的值不变是解此题的关键．
3．（2023下·江苏南京·八年级校联考期末）若分式 的值为6，当x、y都扩大2倍后，所得分式的值
是 ．
【答案】12
【分析】将原分式中的x、y用 、 代替，化简，再与原分式进行比较即可．
【详解】将分式 中x、y都扩大2倍后所得式子为
，
若分式 的值为6，
则所得分式的值是 ．故答案为：12．
【点睛】本题考查了分式的基本性质．解题的关键是抓住分子，分母变化的倍数．解此类题目首先把字母
变化后的值带入式子中，然后约分，再与原式比较最终得出结论．
4．（2020上·贵州黔西·八年级统考期末）已知 ，则分式 的值为 ．
【答案】
【分析】先根据题意得出x-y=4xy，然后代入所求的式子，进行约分就可求出结果．
【详解】∵ ，
∴x-y=4xy，
∴原式= ，
故答案为： ．
【点睛】此题考查分式的基本性质，正确对已知式子进行化简，约分，正确进行变形是关键．
5．（2022上·八年级单元测试）如图所示的是小婷同学的数学日记，请仔细阅读，并回答相应的问题：
×年×月×日，星期日
整体代入法求分式的值
今天我在一本数学课外书上看到这样一道题：已知 求分式 的值．该题没有给
出x，y的值，怎样求出分式的值？数学课外书上介绍了这两种方法：
方法1： ，∴ ∴y﹣x＝2xy，∴x﹣y＝﹣2xy，
∴原式＝
方法2：x y≠0，将分式的分子、分母同时除以x y得，
原式＝
(1)“方法一”中运用了“分式”这一章的数学依据是 ．
(2)请你将“方法2”中的剩余解题过程补充完整．(3)若 （a，b都不为0），请直接写出 的值．
【答案】(1)分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．
(2)见解析
(3)1
【分析】（1）根据分式的基本性质求解；
（2）将分式的分子、分母同时除以 得原式 ，然后利用整体代入的方法计算；
（3）把 代入分式中化简即可．
【详解】（1）“方法一”中运用了“分式”这一章的数学依据是分式的分子与分母同乘（或除以）一个
不等于0的整式，分式的值不变．
故答案为：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．
（2）∵ ，
∴原式＝
＝
＝ ，
∵ ，
∴ ，
∴原式= ；
（3）∵ ，
∴ ，∴ =1．
【点睛】本题考查了分式的基本性质：灵活运用分式的基本性质是解决问题的关键．也考查了整体代入的
方法．
【经典例题四 将分式的分子分母的最高次项化为整数】
1．（2023下·河南新乡·八年级统考阶段练习）不改变分式 的值，使分式的分子、分母中x的
最高次项的系数都是正数，应该是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据分式的基本性质即可求解．
【详解】解：由题意可知将分式的分子分母同时乘 得：
，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，掌握分式的基本性质是解题的关键，分式的基本性质是分手的
分子分母同时乘或除以同一个不为0的整式，分式的值不变．
2．（2023下·江苏徐州·八年级统考期中）不改变分式的值，使分式 的分子、分母中的最高次
项的系数都是正数，则分式可化为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据添括号法则，对所求式子添括号，根据分式基本性质进行化简即可．
【详解】解： ．
故选B．
【点睛】考查了分式的基本性质以及添括号法则，注意当括号前面加“-”时，括号里的各项都改变正负号．3．（2022上·山东烟台·八年级统考期中）不改变分式的值，使分子、分母的第一项系数都是正数，则
．
【答案】
【分析】把分子分母同时除以 ，即可求解．
【详解】解： ．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的分子分母同时乘以或除以同一个不为0的整式，
分式的值不变是解题的关键．
4．（2021下·江苏·八年级专题练习）若不改变分式的值，使分子与分母的最高次项的符号为正，则
＝ ．
【答案】
【分析】根据分式的基本性质解答．
【详解】原式＝ ．
【点睛】本题考查分式的应用，熟练掌握分式的基本性质是解题关键．
5．（2022上·八年级课时练习）不改变分式的值，使下列分式的分子、分母的最高次项系数化为正数
（1） （2）
【答案】（1） （2）
【分析】（1）观察可知分式的分子和分母最高次项的系数都为负数，需要给分子和分母同时提取-1，据此
变形即可；
（2）观察可知分式的分母的最高项的系数为负数，分子的最高项的系数为正数，故需改变分式本身的符
号和分母的符号.【详解】（1）
（2）
【点睛】考查分式的符号法则,分式的分子、分母以及本身的符号，任意改变其中的两个，分式的值不变.
【经典例题五 将分式的分子分母各项系数化为整数】
1．（2023上·山东滨州·八年级统考期末）下列说法正确的是（ ）
A．分式 的值为零，则 的值为
B．根据分式的基本性质，等式
C．把分式 的分子与分母的各项系数都化为整数的结果为
D．分式 是最简分式
【答案】D
【分析】根据分式的值为0的条件，分式的基本性质，最简分式的定义，逐一进行判断即可．
【详解】解：A、分式 的值为零，则 的值为 ，选项错误，不符合题意；
B、当 时， 没有意义， ，选项错误，不符合题意；
C、把分式 的分子与分母的各项系数都化为整数的结果为 ，选项错误，不符合题意；
D、分式 是最简分式，选项正确，符合题意；故选D．
【点睛】本题考查分式的值为0的条件，分式的基本性质，最简分式．熟练掌握相关知识点，是解题的关
键．
2．（2022上·广东江门·八年级江门市第一中学校考期中）把方程 的分母化为整数的
方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据分式的基本性质，将方程的分母化为整数即可．
【详解】解： ，
整理，得： ；
故选C
【点睛】本题考查分式的基本性质．熟练掌握分式的分子和分母同乘同一个不为0的数，分式的值不变，
是解题的关键．
3．（2023下·山东枣庄·八年级校考阶段练习）使分式 的各字母系数都变成整数，其结果是
．
【答案】
【分析】要将分式的分子和分母的各项系数都化为整数，同时不改变分式的值，可将分式的分子和分母同
乘以一个相同的数．观察该题，可同乘以10．
【详解】解：要想将分式分母各项系数都化为整数，可将分式分母同乘以10，
即 ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，解题的关键是熟记分式的基本性质．
4．（2023上·八年级课时练习）不改变分式的值，使得分式的分子和分母的各项系数都是整数．（1） ；（2） ；（3） ．
【答案】
【分析】（1）利用分式的基本性质解答，即可求解；
（2）利用分式的基本性质解答，即可求解；
（3）利用分式的基本性质解答，即可求解．
【详解】解：（1） ；
故答案为：
（2） ；
故答案为：
（3）
故答案为：
【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．
5．（2023上·八年级课时练习）不改变分式的值，把下列各式的分子、分母中各项的系数都化为整数．
(1) ；
(2) ．
【答案】(1) ；
(2) ．【分析】（1）把分式的分子、分母同时乘以10即可得出结论；
（2）把分式的分子、分母同时乘以30即可得出结论．
【详解】（1）解：原式
．
（2）解：原式
．
【点睛】本题考查分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．
【经典例题六 最简分式】
1．（2023上·河北石家庄·八年级校联考期中）若分式 是最简分式，则 可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查最简分式，关键是掌握最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简
分式，由此即可判断．
【详解】解：A、若 ，则 ，不是最简分式，故此选项不
符合题意；
B、若 ，则 ，不是最简分式，故此选项不符合题意；
C、若 ，则 ，不是最简分式，故此选项不符合
题意；D、若 ，则 ，是最简分式，故此选项符合题意；
故选：D．
2．（2023上·河北沧州·八年级校考期中）有下列分式：① ；② ；③ ；④ ．其
中最简分式有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】利用约分可对各分式进行判断．本题考查了最简分式：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫
最简分式．
【详解】① 是最简分式；
② ，故不是最简分式；
③ ，故不是最简分式；
④ 是最简分式．
所以，最简分式有2个，
故选：B．
3．（2023上·八年级课时练习）已知三张卡片上面分别写有6， ， ，从中任选两张卡片，组成了
三个不同的式子： ， ， ．其中是最简分式的有 个．
【答案】1
【分析】直接利用分式的基本性质以及最简分式的定义形如 ，A、B是整式，B中含有字母且B不等于0
的式子叫做分式，一个分式的分子与分母没有非零次的公因式时叫最简分式分析得出答案．
【详解】解： 分母中不含字母，不是分式，，不是最简分式，
其中是最简分式的有： ，共1个．
故答案为：1．
【点睛】本题主要考查了最简分式的定义，熟知相关定义是解题的关键．
4．（2023下·江苏扬州·八年级统考期中）给出下列3个分式：① ，② ，③ ．其中的最简
分式有 （填写出所有符合要求的分式的序号）
【答案】 /
【分析】①根据②最②简①分式的定义即可求出答案．
【详解】解：∵ ，∴③不是最简分式，
∴其中的最简分式有：① ，② ．
故答案为：①②．
【点睛】本题考查了最简分式：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式．掌握最简分式定义是
解题的关键．
5．（2023·上海·七年级假期作业）下列分式中，哪些是最简分式？若不是最简分式，请化为最简分式．
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)不是最简分式，化简见解析
(2)不是最简分式，化简见解析
【分析】最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．据此即可求解.
【详解】（1）解： ；
则 不是最简分式；（2）解： ．
则 不是最简分式．
【点睛】本题考查了最简分式，利用分式的基本性质对分式进行化简．最简分式判断的方法是把分子、分
母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约
分．
【经典例题七 约分】
1．（2023上·河北邢台·八年级统考期中）将分式 约分时，分子分母同时除以（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了分式的约分．根据分式的基本性质，即可求解．
【详解】解：∵ ，
∴将分式 约分时，分子分母同时除以 ．
故选：C
2．（2023上·山东淄博·八年级统考期中）若分式 可以进行约分化简，则该分式中的A不可以
是（ ）
A．1 B．x C． D．4
【答案】C
【分析】本题主要考查了分式的约分．分别令 ， ， ， ，逐项判断，即可求解．
【详解】解：A、若 ，则 ，能约分，故本选项不符合题意；B、若 ，则 ，能约分，故本选项不符合题意；
C、若 ，则 ，不能约分，故本选项符合题意；
D、若 ，则 ，能约分，故本选项不符合题意；
故选：C．
3．（2023上·天津滨海新·八年级天津经济技术开发区第一中学校考期中）分式 约分为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查分式的约分，找到分母分子的公因式是解题的关键．
【详解】解：原式 ，
故答案为：
4．（2023上·北京昌平·八年级校联考期中）化简： ．
【答案】
【分析】分子分母因式分解后约分即可．
【详解】解： ，
故答案为：
【点睛】此题考查了分式的化简，熟练掌握因式分解和分式的基本性质是解题的关键．
5．（2023上·八年级课时练习）约分：
(1) ；(2) ；
(3) ；
(4) ．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】找到分子和分母的公因式，然后约分即可得到答案．
【详解】（1）解： ；
（2）解： ；
（3）解： ；
（4）解： ．
【点睛】本题主要考查了分式的约分，正确找到对应分子和分母的公因式是解题的关键．
【经典例题八 最简公分母】
1．（2022上·河北石家庄·八年级校联考期中）分式 与 的最简公分母是( )A． B． C． D．
【答案】A
【分析】将分式的分母分解因式后利用分式的混合运算法则计算即可，确定最简公分母的方法是：取各分
母系数的最小公倍数，凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式，同底数幂取次数最高
的，得到的因式的积就是最简公分母；
【详解】解：将第一个分式的分母可分解为 ，
所以最简公分母是 ，
故选：A．
【点睛】本题考查了最简公分母的知识，通分的关键是准确求出各个分式中分母的最简公分母，确定最简
公分母的方法一定要掌握．
2．（2023上·湖南岳阳·八年级校考阶段练习）分式 ， ， 的最简公分母是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据最简公分母确定方法解答．
【详解】解：分式 ， ， 的最简公分母是 ，
故选：D．
【点睛】此题考查了确定分式最简公分母，确定最简公分母的方法是：①取各分母系数的最小公倍数；②
凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；③同底数幂取次数最高的，得到的因式的积
就是最简公分母．
3．（2023上·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市虹桥初级中学校校考期中）分式 ， ， 的最
简公分母是 ．
【答案】 或
【分析】本题考查了分式的最简公分母，对分式的分母进行因式分解后即可得出答案，解题的关键是理解
分式的最简公分母的定义．【详解】解：∵ ，
∴的最简公分母是 或 ，
故答案为： 或 ．
4．（2023上·湖南郴州·八年级校考期中）分式 与 的最简公分母是 ．
【答案】
【分析】本题考查最简公分母，取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的
公分母叫做最简公分母．当各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数，相同字母的最
高次幂，所有不同字母都写在积里．
【详解】解：在分式 与 中，取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积即最简公分
母为：
故选： ．
5．（2022上·八年级单元测试）求下列各式的最简公分母，并通分．
(1) ， ， ；
(2) ， ， ．
【答案】(1)最简公分母为 ；通分后为 ， ，
(2)最简公分母为 ，通分后为 ， ，
【详解】（1） ， ， 的最简公分母是
∵
通分后为 ， ，
∴故答案为：最简公分母为 ；通分后为 ， ，
（2） ， ，
∵
， ， ，最简公分母为 ，通分后为 ， ，
∴
【点睛】本题考查分式的通分，正确进行因式分解和找到最简公分母是解题的关键
【经典例题九 通分】
1．（2023上·河北邢台·八年级校考期中）若将分式 与分式 通分后，分式 的分母变
为 ，则分式 的分子应变为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用分式的性质分别进行通分把分母变为 ，即可求解．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴分式 的分子应变为 ，
故选：A．2．（2023上·河北石家庄·八年级校考阶段练习）已知 ，其中 ，则 与
的关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】化简分式B，再与A比较，得出A与B的关系即可．
【详解】解： ，
已知： ，
．
故选：B．
【点睛】本题考查分式的通分，掌握分解因式和通分方法是解题关键．
3．（2023下·浙江·七年级专题练习）根据分式的基本性质，完成下列各等式．
（1） ，横线上应填 ；
（2） ，横线上应填 ；
（3） （b≠0），横线上应填 ；
（4） ，横线上应填 ；
（5）3x﹣2＝ ，横线上应填 ；
（6） ，横线上应填 ．
【答案】 b y x
【分析】根据分式的基本性质，分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变，从而求出答案．
【详解】解：（1） ；
（2） ；
（3） （b≠0）；
（4） ；
（5） ；
（6） ；
故答案为；b，y， ，x， ， ；
【点睛】此题考查了分式的基本性质，一定要熟练掌握分式的基本性质是解题的关键，是一道基础题．
4．（2022上·湖南娄底·八年级校考期中）把 ， 通分，则 = ， = .
【答案】
【分析】先找出 ， 的最简公分母 ，再利用分式的性质将 ， 的分母均化为 即可．
【详解】解： ， ，
故答案为： ， ．
【点睛】本题考查分式通分，解题的关键是熟练掌握分式的基本性质．分式的分子和分母同时乘以或除以
同一个不为0的整式，分式的值不变．5．（2023上·八年级课时练习）通分：
(1) 与 ；
(2) 与 ．
【答案】(1) ，
(2) ，
【分析】（1）最简公分母是 ，通分即可；
（2）先把每个分母因式分解，最简公分母是 ，通分即可．
【详解】（1）解：最简公分母是 ，
，
；
（2）解：最简公分母是 ，
，
．
【点睛】本题考查了分式的通分，解题关键是找准最简公分母．
【重难点训练】
1．（2023上·湖南怀化·八年级统考期中）下列各式变形正确的是（ ）
A． B．C． D．
【答案】A
【分析】本题考查运用分式性质变形，涉及分式性质、因式分解、约分等知识，熟记分式性质是解决问题
的关键．
【详解】解：A、 ，该选项正确，符合题意；
B、 ，该选项错误，不符合题意；
C、 ，该选项错误，不符合题意；
D、 ，该选项错误，不符合题意；
故选：A．
2．（2022上·山东淄博·八年级淄博市张店区实验中学校考阶段练习）把分式 中的a和b都扩大为原
来的3倍，则分式的值（ ）
A．不变 B．扩大为原来的3倍
C．缩小为原来的 D．扩大为原来的9倍
【答案】C
【分析】根据分式的基本性质，进行计算即可解答．
【详解】解：由题意得： ，
∴把分式 中的 和 都扩大为原来的3倍，则分式的值缩小为原来的 ，
故选：C．
【点睛】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．
3．（2023下·河南南阳·八年级统考期中）若x、y的值均扩大为原来的3倍，则下列分式的值保持不变的
是（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】将x、y的值均扩大为原来的3倍分别代入各选项进行计算、辨别．
【详解】解：A、 ，故该选项错误；
B、 ，故该选项错误；
C、 ，故该选项错误；
D、 ，故该选项正确；
故选：D．
【点睛】此题考查了分式基本性质的应用能力，关键是能准确理解并运用以上知识进行计算、求解．
4．（2023·河北保定·校考模拟预测）如图，若x为正整数，则表示分式 的值落在（ ）
A．段①处 B．段②处 C．段③处 D．段④处
【答案】C
【分析】先化简分式，再确定分式值的范围即可．
【详解】解： ，
∵x为正整数，
∴x的最小值为1，
∴当 时， ，
∴ ，∴分式 的值落在段③处，
故选：C．
【点睛】本题考查了分式的化简，解题关键是能够运用分式的基本性质进行化简并确定分式值的范围．
5．（2023下·全国·八年级专题练习）已知 ．则分式 的值为（ ）
A．8 B．3 C． D．4
【答案】B
【分析】由 可得 ，然后再对分式进行变形，最后代入计算即可解答．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴
＝
＝
＝
＝3．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了代数式求值、通分、约分等知识点，根据题意得出 是解本题的关键．
6．（2023下·江苏镇江·八年级校考阶段练习）分式 和 的最简公分母是 ．
【答案】
【分析】根据确定最简公分母的方法得到答案．
【详解】解： 和 的最简公分母是 ，故答案为： ．
【点睛】本题主要考查确定最简公分母的方法，熟练掌握确定最简公分母的方法是解题的关键．
7．（2023上·八年级课时练习）将分式 ， ， 通分，分母所乘的单项式依次为 ，
， ．
【答案】
【分析】求出分式 ， ， 的最简公分母为 ，即可求解．
【详解】解：分式 ， ， 的最简公分母为 ，
， ，
故答案为： ； ； ．
【点睛】本题考查了通分的定义：把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，这样
的分式变形叫做分式的通分，通分的关键是确定最简公分母．
8．（2023上·福建厦门·七年级厦门五缘实验学校校考阶段练习）已知m、n为有理数，那么 可看成
数轴上表示数m和数n的两点之间的距离，若有理数x在数轴上的位置如图所示，则 型的值为
．
【答案】
【分析】由数轴上表示x的点的位置，得到 ，可得出 小于0，利用绝对值的代数意义：负数
的绝对值等于它的相反数化简，即可得到结果．
【详解】解：由数轴上表示x的点的位置，得： ，
，
，
故答案为： ．【点睛】本题考查了数轴，绝对值及分式的化简，熟练掌握绝对值的化简是解本题的关键．
9．（2022上·北京·八年级校考阶段练习）如图，大正方形的边长均为 ，图（1）中白色小正方形的边长
为 ，图（2）中白色长方形的宽为 ，设 ，则 的取值范围为 ．
【答案】
【分析】分别表示出图（1）和图（2）中的阴影部分的面积，再进行分析即可．
【详解】解：图（1）的阴影部分的面积为： ，
图（2）的阴影部分的面积为： ，
∴
＝ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查平方差公式的几何背景，解答的关键是表示出相应的阴影部分的面积．
10．（2021上·八年级课时练习）把分式 化为最简分式为 ．【答案】
【分析】根据分式的性质，进行约分即可，最简分式定义，一个分式的分子与分母没有非零次的公因式或
公因数时叫最简分式．
【详解】
故答案为：
【点睛】本题考查了最简分式，掌握分式的约分，因式分解是解题的关键．
11．（2021上·陕西渭南·八年级校考阶段练习）约分：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据分式的基本性质，分子、分母同时除以即可得出答案；
（2）首先把分子分母分解因式，再约去公因式即可．
【详解】（1）解：原式 ；
（2）原式 ．
【点睛】此题主要考查了约分，熟练掌握约分的方法是解题关键．
12．（2023·广东广州·统考中考真题）已知 ，代数式： ， ， ．(1)因式分解A；
(2)在A，B，C中任选两个代数式，分别作为分子、分母，组成一个分式，并化简该分式．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】（1）先提取公因式，再根据平方差公式进行因式分解即可；
（2）将选取的代数式组成分式，分子分母进行因式分解，再约分即可．
【详解】（1）解： ；
（2）解：①当选择A、B时：
，
；
②当选择A、C时：
，
；
③当选择B、C时：
，
．
【点睛】本题主要考查了因式分解，分式的化简，解题的关键是掌握因式分解的方法和步骤，以及分式化
简的方法．
13．（2023上·全国·八年级课堂例题）通分：
(1) ；(2) 与 ；
(3) 与 ．
【答案】(1) ， ，
(2) ，
(3) ， ，
【分析】先确定分式的最简公分母，再通分即可．
【详解】（1） ，
，
（2） ，
（3） ，
，
【点睛】本题考查的是分式的通分以及公分母确定的方法，把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分．
14．（2023上·全国·八年级课堂例题）不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“-”号：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）根据分式的性质：分式分子分母分式前三个位置任意改变两个位置的符号分式值不变直接
计算即可得到答案；
（2）根据分式的性质：分式分子分母分式前三个位置任意改变两个位置的符号分式值不变直接计算即可
得到答案；
（3）根据分式的性质：分式分子分母分式前三个位置任意改变两个位置的符号分式值不变直接计算即可
得到答案；
（4）根据分式的性质：分式分子分母分式前三个位置任意改变两个位置的符号分式值不变直接计算即可
得到答案；
【详解】（1）解：原式 ；
（2）解：原式 ；
（3）解：原式 ；
（4）解：原式 ；【点睛】本题考查分式的性质：分式分子分母分式前三个位置任意改变两个位置的符号分式值不变．
15．（2023上·八年级课时练习）“探究比例的性质”
【描述定义】如果两个数 与 的比等于另外两个数 与 的比，则称这四个数 ， ， ， 成比例．记
作 ，或 ．其中 与 称为比例的外项， 与 称为比例的内项．
【活动目的】通过具体数的计算到式的计算，让学生体会两者之间的联系；由特殊到一般得出比例的性质
的猜想，再进行有关的验证．培养学生的逻辑思维能力和转化能力：
【理论支撑】等式的性质，分式的运算．
【进程跟踪】在小学，学生已学过比例的基本性质，此性质是在具体的数的基础上得出的．提出问题如何
进行证明?
（1）已知： ．求证： ．
【证明】 ，
等式两边同乘 得， ．
（2）由等比式得出等积式，由等积式能得出等比式吗?你能得出几种式子?
除了 外还有
①反比性质：在比例式中，把比的前项和后项交换后的比例式仍然成立．若 ，则 ．
②更比性质：在比例式中，更换两个内项和外项，比例式仍然成立．若 ，则 ， ．
（3）除了上述结论还有哪些结论?
③合比性质：已知： ．求证： ．
【证明】设 ，则 ， ，
， ，
．
请用上面的证明方法证明下面三个结论：
①分比性质： ．②和分比性质： ．
③等比性质：若 ，
则 ．
实践应用
已知 ，则 ___________．
【答案】（3）见解析；【实践应用】
【分析】根据等式的性质及材料提供的方法即可．
【详解】（3）④设 ，则 ， ，
， ，
．
⑤设 ，则 ， ，
， ， ．
（6）设 ，
则 ， ，…， ，
，
．
【实践应用】解： ，设 ，
．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了等式的性质，分式的运算，熟练运用等式的性质是本题的关键．
