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文档内容
§2.9 指、对、幂的大小比较
指数与对数是高中一个重要的知识点，也是高考必考考点，其中指数、对数及幂的大小
比较是近几年的高考热点和难点，主要考查指数、对数的互化、运算性质，以及指数函数、
对数函数和幂函数的性质，一般以选择题或填空题的形式出现在压轴题的位置．
题型一 直接法比较大小
命题点1 利用函数的性质
例1 设a＝ ，b＝ ，c＝ ，则a，b，c的大小关系是( )
A．a>c>b B．a>b>c
C．c>b>a D．b>c>a
答案 C
解析 因为函数y＝x是增函数，
所以 < ，即ab>a.
命题点2 找中间值
例2 (2023·上饶模拟)已知a＝log 3，b＝ ，c＝7－0.5，则a，b，c的大小关系为( )
5
A．a>b>c B．a>c>b
C．b>a>c D．c>b>a
答案 C
解析 因为1＝log 5>log 3>log ＝log ＝，
5 5 5 5
即20＝1,7－0.5＝ < ＝，
即0a>c.命题点3 特殊值法
例3 已知a>b>1,0bc，故A错误；
abc＝4× ＝ ，bac＝2× ＝ ，
∴abc>bac，故B错误；
log c＝log ＝－1，log c＝log ＝－2，alog c＝－8，blog c＝－2，
a 4 b 2 b a
∴alog clog c，故C正确，D错误．
b a a b
思维升华 利用特殊值作“中间量”
在指数、对数中通常可优先选择“－1,0，，1”对所比较的数进行划分，然后再进行比较，
有时可以简化比较的步骤，也有一些题目需要选择特殊的常数对所比较的数的值进行估计，
例如log 3，可知1＝log 2b>c B．a>c>b
C．c>b>a D．c>a>b
答案 D
解析 因为y＝x0.6在(0，＋∞)上单调递增，
所以1.60.6>0.60.6>0，
又b＝lg 0.6a>b.
(2)已知a＝，b＝log 4，c＝3－0.1，则a，b，c的大小关系为( )
3
A．a>b>c B．c>b>a
C．b>a>c D．a>c>b
答案 A
解析 因为a＝＝log ， ＝34＝81>43＝64，且函数y＝log x在(0，＋∞)上单调递增，
3 3
所以log >log 4，即a>b.
3 3
又因为b＝log 4>log 3＝1，c＝3－0.1<30＝1，
3 3即b>c，所以a>b>c.
题型二 利用指数、对数及幂的运算性质化简比较大小
例4 (1)已知a＝ ，b＝ ，c＝ ，则a，b，c的大小关系为( )
A．a ＝1，
a＝ ＝ ＝ ，b＝ ＝ ，
因为y＝ 在(0，＋∞)上单调递增，且<，
所以ab>c B．b>a>c
C．b>c>a D．c>b>a
答案 B
解析 c＝930＝360，
a＝2100⇒lg a＝lg 2100＝100lg 2≈30.1，
b＝365⇒lg b＝lg 365＝65lg 3≈31.011 5，
c＝930⇒lg c＝lg 360＝60lg 3≈28.626，
所以lg b>lg a>lg c，即b>a>c.
(2)(2022·汝州模拟)已知a＝log 3，b＝log 4，c＝log 5，则( )
6 8 10
A．b>，
所以a0，当x∈(e，＋∞)时，f′(x)<0，
∴f(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减，
∴f(x) ＝f(e)＝＝c，
max∴a，
∴f(4)0，v(x)>0，w(x)>0.
①设f(x)＝ln[u(x)]－ln[v(x)]
＝ln x＋x－[ln x－ln(1－x)]
＝x＋ln(1－x)(00在(0,0.1]上恒成立，
所以h(x)在(0,0.1]上单调递增，
所以h(x)>h(0)＝(1－02)×e0－1＝0，
即g′(x)>0在(0,0.1]上恒成立，
所以g(x)在(0,0.1]上单调递增，
所以g(0.1)>g(0)＝0×e0＋ln(1－0)＝0，即g(0.1)＝u(0.1)－w(0.1)>0，
所以0.1e0.1>－ln 0.9，即a>c.
综上，cc>a B．c>b>a
C．a>c>b D．a>b>c
答案 D
解析 令f(x)＝(14－x)ln x，
则f′(x)＝－ln x＋－1.
因为y＝－ln x在(0，＋∞)上单调递减，y＝－1在(0，＋∞)上单调递减，
所以f′(x)＝－ln x＋－1在(0，＋∞)上单调递减．
而f′(5)＝－ln 5＋－1>0，f′(6)＝－ln 6＋－1<0，
所以当x∈(6，＋∞)时，f′(x)<0.
所以f(x)＝(14－x)ln x在(6，＋∞)上单调递减．
所以f(6)>f(7)>f(8)，
即8ln 6>7ln 7>6ln 8，
故68>77>86.故a>b>c.
(2)(2023·南昌模拟)设a＝e1.3－2，b＝4－4，c＝2ln 1.1，则( )
A．a33，
∴e1.3<2，∴a<0；
b－c＝4－4－2ln 1.1＝2(2－2－ln 1.1)，
令f(x)＝2－2－ln x，
∴f′(x)＝－＝，
∴当01时，f′(x)>0，f(x)单调递增，
∴f(x) ＝f(1)＝0，
min
∴f(1.1)>0，即2－2－ln 1.1>0，
∴c2ln 1＝0，
∴a1，且 <2＝b，
又c＝log log 4＝2log 2＝b，
3 3 3 3 3 3
a－c＝log 3＋log 2－2>2－2＝2－2＝0，
2 3
所以a>c，所以by>z B．y>x>z
C．z>x>y D．x>z>y
答案 A
解析 因为3x＝4y＝10，
所以x＝log 10>log 9＝2；1＝log 4y>1，而z＝logyy>z.
5．设x，y，z为正实数，且log x＝log y＝log z>1，则，，的大小关系是( )
2 3 5
A.<< B.<<
C.<< D.＝＝
答案 B
解析 由x，y，z为正实数，
设log x＝log y＝log z＝k>1，
2 3 5
可得x＝2k>2，y＝3k>3，z＝5k>5.
∴＝2k－1>1，＝3k－1>1，＝5k－1>1，
令f(x)＝xk－1，
∵f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
∴f(2)sin ＝>，
＝e3>24⇒ >2⇒ ＝>ln 2，
即b<，∴a>b；
∵ ＝＝，3＝，
∴ >，
∴c>b；
∵6＝， ＝＝，
∴> ，
∴a>c，∴b0时，f(x)＝1，c＝>＝1，且a45＝105，c45＝39＝3×94<105，
所以b，
∴5ln 4π>4ln 5π，∴a>b，
同理可得>，
∴4ln π>πln 4，
∴π4>4π，
∴5ln π4>5ln 4π，
∴c>a，∴bc>b B．c>a>b
C．b>a>c D．a>b>c
答案 D
解析 由题意a＝11.1ln 9.1，b＝10.1ln 10.1，c＝9.1ln 11.1，
令f(x)＝(10.1＋x)ln(10.1－x)，
则f′(x)＝ln(10.1－x)＋＝ln(10.1－x)＋1＋，
所以f′(x)在[－1,1]上单调递减，
又f′(1)＝ln 9.1＋1－＝ln 9.1－>0，
所以f′(x)>0在[－1,1]上恒成立，
所以f(x)在[－1,1]上单调递增，
所以f(1)>f(0)>f(－1)，即a>b>c.
10．(2022·全国甲卷)已知a＝，b＝cos ，c＝4sin ，则( )
A．c>b>a B．b>a>c
C．a>b>c D．a>c>b
答案 A
解析 因为b＝cos ＝1－2sin2，
所以b－a＝1－2sin2－＝－2sin2＝2.
令f(x)＝x－sin x，
则f′(x)＝1－cos x≥0，
所以函数f(x)在R上单调递增，
所以当x>0时，f(x)>f(0)＝0，
即有x>sin x(x>0)成立，
所以>sin ，得>sin2，所以b>a.
因为＝＝4tan ，
所以令g(x)＝tan x－x，
则g′(x)＝－1＝≥0，
所以函数g(x)在定义域内单调递增，
所以当x>0时，g(x)>g(0)＝0，
即有tan x>x(x>0)成立，
所以tan >，即4tan >1，
所以>1，又b>0，所以c>b.
综上，c>b>a.
