文档内容
第5讲 幂函数与二次函数
最新考纲 考向预测
以幂函数的图象与性质的应用为主，
1.了解幂函数的概念. 常与指数函数、对数函数交汇命题；
2.结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y 以二次函数的图象与性质的应用为
命题
＝，y＝x的图象，了解它们的变 主，常与方程、不等式等知识交汇命
趋势
化情况. 题，着重考查函数与方程、转化与化
3.掌握二次函数的图象和性质. 归及数形结合思想，题型一般为选
4.能用二次函数、方程、不等式 择、填空题，中档难度.
之间的关系解决简单问题. 核心
逻辑推理、直观想象
素养
1．幂函数
(1)定义
形如 y ＝ x α ( α ∈ R ) 的函数称为幂函数，其中底数x是自变量，α为常数．常见的
五类幂函数为y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝x－1.
(2)性质
①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；
②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增；
③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减．
2．二次函数
(1)二次函数解析式的三种形式
①一般式：f(x)＝ ax 2 ＋ bx ＋ c ( a ≠ 0) ；
②顶点式：f(x)＝ a ( x － m ) 2 ＋ n ( a ≠ 0) ；
③零点式：f(x)＝ a ( x － x )( x － x )( a ≠ 0) ．
1 2
(2)二次函数的图象和性质
f(x)＝ax2＋bx f(x)＝ax2＋bx
解析式
＋c(a>0) ＋c(a<0)
图象定义域 (－∞，＋∞) (－∞，＋∞)
值域
在上单调递减； 在上单调递增；
单调性
在上单调递增 在上单调递减
奇偶性 当 b ＝ 0 时为偶函数，当b≠0时为非奇非偶函数
顶点
对称性 图象关于直线x＝－成轴对称图形
常用结论
幂函数的图象和性质
常见误区
1．易忽视对二次函数的二次项系数的讨论；
2．幂函数定义不清晰，导致出错．
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y＝2x是幂函数．( )
(2)当n>0时，幂函数y＝xn在(0，＋∞)上是增函数．( )
(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈R)不可能是偶函数．( )
(4)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．( )
(5)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈[a，b]的最值一定是.( )
答案：(1)× (2)√ (3)× (4)√ (5)×
2．(易错题)已知幂函数y＝f(x)的图象经过点，则f(2)＝( )
A． B．4
C． D．
解析：选C.设f(x)＝xα，因为图象过点，所以f(4)＝4α＝，解得α＝－，所以f(2)＝
－
2 ＝.
3．已知函数f(x)＝x2＋4ax在区间(－∞，6)上单调递减，则a的取值范围是(
)A．[3，＋∞) B．(－∞，3]
C．(－∞，－3) D．(－∞，－3]
解析：选D.函数f(x)＝x2＋4ax的图象是开口向上的抛物线，其对称轴是x＝－
2a，由函数在区间(－∞，6)上单调递减可知，区间(－∞，6)应在直线x＝－2a的左
侧，所以－2a≥6，解得a≤－3，故选D.
4．函数f(x)＝x2－2x＋3在闭区间[0，3]上的最大值为________，最小值为
________．
解析：f(x)＝(x－1)2＋2，0≤x≤3，
所以当x＝1时，f(x) ＝2；当x＝3时，f(x) ＝6.
min max
答案：6 2
5．已知函数f(x)＝ax2＋x＋5的图象在x轴上方，则a的取值范围是________．
解析：因为函数f(x)＝ax2＋x＋5的图象在x轴上方，所以解得a>.
答案：
幂函数的图象及性质
[题组练透]
1．已知幂函数f(x)＝mxn的图象过点(，2)，设a＝f(m)，b＝f(n)，c＝f(ln 2)，则(
)
A．cm>ln 2，故
c0时，y＝xα在(0，＋∞)上为增函数，且0<α<1时，
图象上凸，所以00，若在(0，＋∞)上单调递减，
则α<0.
二次函数的解析式
(一题多解)已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大
值是8，试确定此二次函数的解析式．
【解】 方法一(利用一般式)：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．由题意得
解得所以所求二次函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.
方法二(利用顶点式)：
设f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．因为f(2)＝f(－1)＝－1，所以抛物线的对称轴为x
＝＝.所以m＝.又根据题意函数有最大值8，所以n＝8，所以f(x)＝a＋8.因为f(2)＝
－1，
所以a＋8＝－1，解得a＝－4，
所以f(x)＝－4＋8＝－4x2＋4x＋7.
方法三(利用零点式)：
由已知得f(x)＋1＝0的两根为x ＝2，x ＝－1，
1 2
故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)，
即f(x)＝ax2－ax－2a－1.
又函数有最大值8，即＝8.
解得a＝－4或a＝0(舍去)，
所以所求函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.
求二次函数解析式的方法
根据已知条件确定二次函数的解析式，一般用待定系数法，选择规律如下：
1．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋5的图象过点P(－1，11)，且其对称轴是直线
x＝1，则a＋b的值是( )
A．－2 B．0
C．1 D．2
解析：选A.因为二次函数f(x)＝ax2＋bx＋5的图象的对称轴是直线x＝1，所以
－＝1①.又f(－1)＝a－b＋5＝11，所以a－b＝6②.联立①②，解得a＝2，b＝－4，
所以a＋b＝－2，故选A.2．已知二次函数f(x)有两个零点0和－2，且它有最小值－1，则f(x)的解析式
为f(x)＝________．
解析：由二次函数f(x)有两个零点0和－2，可设f(x)＝a(x＋2)x，则f(x)＝a(x2＋
2x)＝a(x＋1)2－a.
又f(x)有最小值－1，则a＝1.所以f(x)＝x2＋2x.
答案：x2＋2x
二次函数的图象与性质
角度一 二次函数图象的识别问题
如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象过点A(－3，0)，对称
轴为x＝－1.给出下面四个结论：①b2>4ac；②2a－b＝1；③a－b＋c＝0；④5a0，即b2>4ac，①
正确；对称轴为x＝－1，即－＝－1，2a－b＝0，②错误；结合图象，当x＝－1时，
y>0，即a－b＋c>0，③错误；由对称轴为x＝－1知，b＝2a，又函数图象开口向下，
所以a<0，所以5a<2a，即5a|－1|>|－1|，
所以f()0时，函数f(x)在区间[－1，2]上是增函数，最大值为f(2)＝8a＋1＝4，
解得a＝；
(3)当a<0时，函数f(x)在区间[－1，2]上是减函数，最大值为f(－1)＝1－a＝4，
解得a＝－3.
综上可知，a的值为或－3.
二次函数最值问题的类型及求解策略
(1)类型：①对称轴、区间都是给定的；②对称轴动、区间固定；③对称轴定、区
间变动．
(2)求解策略：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一
轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成．
1．函数f(x)＝ax2－2x＋3在区间[1，3]上为增函数的充要条件是( )
A．a＝0 B．a<0
C．0f(2)>f(0)．故选A.
3．若函数f(x)＝x2－2x＋1在区间[a，a＋2]上的最小值为4，则a的取值集合为
________．
解析：因为函数f(x)＝x2－2x＋1＝(x－1)2，所以对称轴为x＝1.
因为f(x)在区间[a，a＋2]上的最小值为4，
所以当1≤a时，f(x) ＝f(a)＝(a－1)2＝4，解得a＝－1(舍去)或a＝3，
min
当a＋2≤1，即a≤－1时，f(x) ＝f(a＋2)＝(a＋1)2＝4，解得a＝1(舍去)或a＝
min－3，
当a<1，所以只有B选项符合题意．
3．有下列四个幂函数，某同学研究了其中的一个函数，并给出这个函数的三个
性质：(1)是偶函数；(2)值域是{y|y∈R，且y≠0}；(3)在(－∞，0)上单调递增．如果
给出的三个性质中，有两个正确，一个错误，则该同学研究的函数是( )
A．y＝x－1 B．y＝x－2
C．y＝x3 D．y＝x
解析：选B.对于A，y＝x－1是奇函数，值域是{y|y∈R，且y≠0}，在(－∞，0)上
单调递减，三个性质中有两个不正确；对于B，y＝x－2是偶函数，值域是{y|y∈R，且
y>0}，在(－∞，0)上单调递增，三个性质中有两个正确，符合条件；同理可判断C，
D中的函数不符合条件．
4．(多选)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x－x2，则下列
说法正确的是( )
A．f(x)的最大值为
B．f(x)在(－1，0)上是增函数
C．f(x)>0的解集为(－1，1)
D．f(x)＋2x≥0的解集为[0，3]
解析：选AD.因为x≥0时，f(x)＝x－x2＝－＋，
所以f(x)的最大值为，A正确；
f(x)在上是减函数，B错误；
f(x)>0的解集为(－1，0)∪(0，1)，C错误；
当x≥0时，f(x)＋2x＝3x－x2≥0的解集为[0，3]，
当x<0时，f(x)＋2x＝x－x2≥0无解，故D正确．
5．已知f(x)＝－2x2＋bx＋c，不等式f(x)>0的解集为(－1，3)．若对任意的
x∈[－1，0]，f(x)＋m≥4恒成立，则m的取值范围是( )
A．(－∞，2] B．[4，＋∞)
C．[2，＋∞) D．(－∞，4]
解析：选B.因为f(x)>0的解集为(－1，3)，所以－2x2＋bx＋c＝0的两个根为－
1，3，所以得令g(x)＝f(x)＋m，则g(x)＝－2x2＋4x＋6＋m＝－2(x－1)2＋8＋m.当
x∈[－1，0]时，g(x) ＝m，因为g(x)≥4在[－1，0]上恒成立，所以m≥4，故选B.
min
6．(2021·四川攀枝花模拟)已知幂函数y＝mxn(m，n∈R)的图象经过点(4，2)，则
m－n＝________．
解析：函数y＝mxn(m，n∈R)为幂函数，则m＝1；又函数y＝xn的图象经过点(4，2)，则4n＝2，解得n＝.所以m－n＝1－＝.
答案：
7．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，确定下列各式的正负：
b________0，ac________0，a－b＋c________0.(填“＞”“＜”或“＝”)
解析：因为a<0，－>0，c>0，所以b>0，ac<0.
设y＝f(x)＝ax2＋bx＋c，
则a－b＋c＝f(－1)<0.
答案：> < <
8．如果函数f(x)＝x2－ax－a在区间[0，2]上的最大值为为1，那么实数a＝
________．
解析：因为函数f(x)＝x2－ax－a的图象为开口向上的抛物线，所以函数的最大
值在区间的端点取得．
因为f(0)＝－a，f(2)＝4－3a，所以或解得a＝1.
答案：1
9．已知函数f(x)＝x2＋2ax＋2，x∈.
(1)当a＝－1时，求函数f(x)的最大值和最小值；
(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－5，5]上是单调函数．
解：(1)当a＝－1时，f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[－5，5]，
所以当x＝1时，f(x)取得最小值1；
当x＝－5时，f(x)取得最大值37.
(2)函数f(x)＝(x＋a)2＋2－a2的图象的对称轴为直线x＝－a，
因为y＝f(x)在区间[－5，5]上是单调函数，
所以－a≤－5或－a≥5，即a≤－5或a≥5.故实数a的取值范围是(－∞，－
5]∪[5，＋∞)．
10．(2021·山西平遥中学第一次月考)已知二次函数f(x)满足f(x)＝f(－4－x)，
f(0)＝3，若x ，x 是f(x)的两个零点，且|x －x |＝2.
1 2 1 2
(1)求f(x)的解析式；
(2)若x>0，求g(x)＝的最大值．
解：(1)因为二次函数满足f(x)＝f(－4－x)，所以f(x)的图象的对称轴为直线x＝－2.
因为x ，x 是f(x)的两个零点，且|x －x |＝2.
1 2 1 2
所以或
设f(x)＝a(x＋3)(x＋1)(a≠0)．
由f(0)＝3a＝3得a＝1，所以f(x)＝x2＋4x＋3.
(2)由(1)得g(x)＝＝＝(x>0)，
因为x>0，所以≤＝1－，当且仅当x＝，即x＝时等号成立．
所以g(x)的最大值是1－.
[B级 综合练]
11．(多选)设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，对任意实数t都有f(4＋t)＝f(－t)成
立，则在函数值f(－1)，f(1)，f(2)，f(5)中，最小的可能是( )
A．f(－1) B．f(1)
C．f(2) D．f(5)
解析：选ACD.因为对任意实数t都有f(4＋t)＝f(－t)成立，所以函数f(x)＝ax2
＋bx＋c(a≠0)的对称轴是x＝2.当a>0时，函数值f(－1)，f(1)，f(2)，f(5)中，最小的
是f(2)；当a<0时，函数值f(－1)，f(1)，f(2)，f(5)中，最小的是f(－1)和f(5)．故选
ACD.
m2＋m－3
12．函数f(x)＝(m2－m－1)x 是幂函数，对任意x ，x ∈(0，＋∞)，且
1 2
x ≠x ，满足>0，若a，b∈R，且f(a)＋f(b)的值为负值，则下列结论可能成立的是(
1 2
)
A．a＋b>0，ab<0 B．a＋b>0，ab>0
C．a＋b<0，ab<0 D．以上都可能
解析：选C.由于函数f(x)为幂函数，故m2－m－1＝1，解得m＝－1或m＝2.当
m＝－1时，f(x)＝，当m＝2时，f(x)＝x3.由于“对任意x ，x ∈(0，＋∞)，且x ≠x ，
1 2 1 2
满足>0”，故函数在(0，＋∞)上为增函数，故f(x)＝x3.由于f(－x)＝－f(x)，故函数是
单调递增的奇函数．由f(a)＋f(b)<0可知f(a)<－f(b)＝f(－b)，所以a<－b，即b<－
a，所以a＋b<0.当a＝0时，b<0，ab＝0；当a>0时，b<0，ab<0；当a<0时，
ab<0(00(b<0)均有可能成立．故选C.
13．已知函数f(x)＝x2＋(2a－1)x－3.
(1)当a＝2，x∈[－2，3]时，求函数f(x)的值域；
(2)若函数f(x)在[－1，3]上的最大值为1，求实数a的值．
解：(1)当a＝2时，f(x)＝x2＋3x－3，x∈[－2，3]，对称轴为x＝－∈[－2，3]，
所以f(x) ＝f＝－－3＝－，
min
f(x) ＝f(3)＝15，
max
所以函数f(x)在[－2，3]上的值域为.
(2)对称轴为x＝－.
①当－≤1，即a≥－时，
f(x) ＝f(3)＝6a＋3，
max
所以6a＋3＝1，即a＝－满足题意；
②当－>1，即a<－时，
f(x) ＝f(－1)＝－2a－1，
max
所以－2a－1＝1，
即a＝－1满足题意．
综上可知，实数a的值为－或－1.
14．已知函数f(x)＝x2－2ax＋5(a>1)．
(1)若函数f(x)的定义域和值域均为[1，a]，求实数a的值；
(2)若f(x)在区间(－∞，2]上是减函数，且对任意的x ，x ∈[1，a＋1]，总有|f(x )
1 2 1
－f(x )|≤4，求实数a的取值范围．
2
解：(1)因为f(x)＝x2－2ax＋5在(－∞，a]上为减函数，
所以f(x)＝x2－2ax＋5(a>1)在[1，a]上单调递减，
即f(x) ＝f(1)＝a，f(x) ＝f(a)＝1，所以a＝2或a＝－2(舍去)．即实数a的值
max min
为2.
(2)因为f(x)在(－∞，2]上是减函数，所以a≥2.
所以f(x)在[1，a]上单调递减，在[a，a＋1]上单调递增，
又函数f(x)的对称轴为直线x＝a，所以f(x) ＝f(a)＝5－a2，f(x) ＝max{f(1)，
min max
f(a＋1)}，
又f(1)－f(a＋1)＝6－2a－(6－a2)＝a(a－2)≥0，
所以f(x) ＝f(1)＝6－2a.
max
因为对任意的x ，x ∈[1，a＋1]，总有|f(x )－f(x )|≤4，
1 2 1 2
所以f(x) －f(x) ≤4，即6－2a－(5－a2)≤4，解得－1≤a≤3.又a≥2，所以
max min
2≤a≤3.即实数a的取值范围为[2，3]
[C级 创新练]
15．(多选)已知函数f(x)＝2x，g(x)＝x2－ax，对于不相等的实数x ，x ，设m＝，n
1 2＝，现有如下说法，其中正确的是( )
A．对于不相等的实数x ，x ，都有m＞0
1 2
B．对于任意实数a及不相等的实数x ，x ，都有n＞0
1 2
C．对于任意实数a及不相等的实数x ，x ，都有m＝n
1 2
D．存在实数a，对任意不相等的实数x ，x ，都有m＝n
1 2
解析：选AD.任取x ≠x ，则m＝＝＝2>0，A正确；
1 2
由二次函数的单调性可得g(x)在上单调递减，
在上单调递增，可取x ＝0，x ＝a，
1 2
则n＝＝＝＝0，B错误；
m＝2，n＝＝
＝
＝x ＋x －a，则m＝n不恒成立，C错误；
1 2
m＝2，n＝x ＋x －a，若m＝n，则x ＋x －a＝2，
1 2 1 2
只需x ＋x ＝a＋2即可，D正确．
1 2
16．定义：如果在函数y＝f(x)定义域内的给定区间[a，b]上存在x (a
